2022年湖北省鄂州市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考測試卷(含答案)

2022年湖北省鄂州市普通高校對口單招高等數(shù)學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.

3.微分方程yy'=1的通解為A.A.y=x2+C

B.y2=x+C

C.1/2y2=Cx

D.1/2y2=x+C

4.方程y'-3y'+2y=xe2x的待定特解y*應(yīng)取()．A.A.Axe2x

B.(Ax+B)e2x

C.Ax2e2x

D.x(Ax+B)e2x

5.設(shè)f(x)=e3x，則在x=0處的二階導數(shù)f"(0)=A.A.3B.6C.9D.9e

6.A.

B.

C.

D.

7.

8.

9.設(shè)函數(shù)f(x)=arcsinx，則f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

10.

11.A.有一個拐點B.有兩個拐點C.有三個拐點D.無拐點

12.

13.（）A.A.1B.2C.1/2D.-1

14.

A.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與a有關(guān)

15.

16.設(shè)f'(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于()A.A.

B.

C.

D.

17.方程x2+2y2-z2=0表示的曲面是A.A.橢球面B.錐面C.柱面D.平面

18.函數(shù)y=ex+arctanx在區(qū)間[-1,1]上

A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.無最大值D.無最小值

19.設(shè)函數(shù)f(x)在(0，1)內(nèi)可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內(nèi)（）A.A.單調(diào)減少B.單調(diào)增加C.為常量D.不為常量，也不單調(diào)

20.下列運算中正確的有()A.A.

B.

C.

D.

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.已知當x→0時，-1與x2是等價無窮小，則a=________。

28.

29.

30.

31.微分方程dy＋xdx=0的通解為y=__________．

32.設(shè)，則y'=______。

33.設(shè)z=x2+y2-xy，則dz=__________。

34.設(shè)是收斂的，則后的取值范圍為______．

35.

36.

37.

38.

39.

40.

三、計算題(20題)41.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)．

42.

43.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a>0．

44.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

45.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

46.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則

47.求微分方程的通解．

48.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

49.

50.

51.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值．

52.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

53.證明：

54.

55.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m．

56.

57.

58.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

59.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

60.

四、解答題(10題)61.求曲線y=x2在(0，1)內(nèi)的一條切線，使由該切線與x=0、x=1和y=x2所圍圖形的面積最小。

62.

63.

64.

65.求由曲線xy=1及直線y=x，y=2所圍圖形的面積A。

66.

67.

68.

69.

70.

五、高等數(shù)學(0題)71.已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為

問：若使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?

六、解答題(0題)72.求y=xex的極值及曲線的凹凸區(qū)間與拐點．

參考答案

1.C解析：

2.D

3.D

4.D本題考查的知識點為二階常系數(shù)線性非齊次微分方程特解y*的取法：

若自由項f(x)=Pn(x)eαx，當α不為特征根時，可設(shè)特解為

y*=Qn(x)eαx，

Qn(x)為x的待定n次多項式．

當α為單特征根時，可設(shè)特解為

y*=xQn(x)eαx，

當α為二重特征根時，可設(shè)特解為

y*=x2Qn(x)eαx．

所給方程對應(yīng)齊次方程的特征方程為

r2-3r+2=0．

特征根為r1=1，r2=2．

自由項f(x)=xe2x，相當于α=2為單特征根．又因為Pn(x)為一次式，因此應(yīng)選D．

5.Cf(x)=e3x，f'(x)=3e3x，f"(x)=9e3x，f"(0)=9，因此選C。

6.A

7.C

8.B解析：

9.C解析：本題考查的知識點為基本導數(shù)公式．

可知應(yīng)選C．

10.D

11.D

12.D

13.C由于f'(2)=1，則

14.A

本題考查的知識點為級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念．

15.C

16.C本題考查的知識點為牛-萊公式和不定積分的性質(zhì)．

可知應(yīng)選C．

17.B

18.B本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的知識點，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0處處成立,于是函數(shù)在(-∞,+∞)內(nèi)都是單調(diào)增加的，故在[-1,1]上單調(diào)增加。

19.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加．因此選B．

20.C本題考查的知識點為重要極限公式．

所給各極限與的形式相類似．注意到上述重要極限結(jié)構(gòu)形式為

將四個選項與其對照?？梢灾缿?yīng)該選C．

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.當x→0時，-1與x2等價，應(yīng)滿足所以當a=2時是等價的。

28.(03)(0,3)解析：

29.1/2本題考查了對∞-∞型未定式極限的知識點，

30.

31.

32.本題考查的知識點為導數(shù)的運算。

33.(2x-y)dx+(2y-x)dy

34.k＞1本題考查的知識點為廣義積分的收斂性．

由于存在，可知k＞1．

35.

36.e；本題考查的知識點為極限的運算．

注意：可以變形，化為形式的極限．但所給極限通常可以先變形：

37.

本題考查的知識點為定積分的換元法．

38.2

39.00解析：

40.1/2

41.

42.

43.

44.

45.

46.由等價無窮小量的定義可知

47.

48.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％

49.

50.

51.函數(shù)的定義域為

注意

52.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或?qū)憺?x+y-5=0．

如果函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

53.

54.

則

55.由二重積分物理意義知

56.

57.

58.解：原方程對應(yīng)的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

59.

列表：

說明

60.由一階線性微分方程通解公式有

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

∴x=1000(件)平均成本取最小值。

∴x=1