數(shù)學(xué)物理方法-優(yōu)第7章

第二篇數(shù)學(xué)物理方程1.這些問題的幾種常用解法這往往導(dǎo)致以時(shí)間為自變數(shù)的常微分方程(質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、電路微分方程但是以及它怎樣隨著時(shí)間而變化這些問題中的自變數(shù)就不僅僅是時(shí)間,而且還有空間坐標(biāo)解決這些問題在空間中的分布規(guī)律和在時(shí)間中的變化規(guī)律例如在半導(dǎo)體擴(kuò)散工藝中在這兩種情況下定義邊界條件例如一根在薄刀背敲擊下發(fā)出比較刺耳另一根在寬錘敲擊下或手指的彈撥下發(fā)出比較和諧,定義初始條件不過是物理量u它是物理量uu在任意地點(diǎn)(x,y,z)和任意時(shí)刻t的值u(x,y,z,t).它的直接表現(xiàn)只能是u首先當(dāng)然要確定研究哪一個(gè)物理量它們分別屬于三種類型,對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)的三類偏微分方程 實(shí)際上振動(dòng)總是到整根弦,弦的各處都振動(dòng)起來就取這直線作為x軸(圖7-1).把弦上各點(diǎn)的橫向位移記作這樣,橫向位移u是和t的函數(shù),記作要推導(dǎo)的就是u機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的所以F=ma對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)即每個(gè)小段可以應(yīng)用拿區(qū)間(x,x+dxBB它就只受到鄰段AC的拉力T1和弦的每小段都沒有縱向(即x所以作用于B的縱向合力應(yīng)為零,弦的橫向加速度記作utt(這是記號(hào)2ut2按照F=ma,小段B的縱向和橫向運(yùn)動(dòng)方程分別為T2cosα2T1cosα1 ds為小段B的弧長(zhǎng),

這時(shí)α1,α2為小量, 如果忽略α2,α2以上的高階小 1 cosα11α2/2!1,cosαsinα1α1α3/3!α1tanα1,sinα2α1

ds

1(ux)2dxdx(其中uxuxtanαα又tanα1ux|x,tanα2ux這樣,T2cosα2T1cosα1 T2sinα2T1sinα1 簡(jiǎn)化 TT簡(jiǎn)化 T2ux|xdxT1ux|xuttρdx.因此T2T1X在振動(dòng)過程中的每個(gè)時(shí)刻都有長(zhǎng)度ds即長(zhǎng)度ds所以作用于B弦中張力既跟x無關(guān),又跟t無關(guān),T2ux|xdxT1ux|xuttρdx(7.1.4)成為T(ux|xdxux|x由于dxx(其中uxxux2ux22x這樣,BρuttTuxx0其實(shí),作為代表的B所以方程ρuttTuxx07.1.5)適用于弦上各處,對(duì)于均勻弦,ρρuttTuxx07.1.5)通常改寫為utta2uxx0其中a2T/p.以后會(huì)看到a就是振動(dòng)在弦上的速度質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程也就是以時(shí)間t而弦的位移u是時(shí)間t和坐標(biāo)x兩個(gè)自變數(shù)的函數(shù),弦的運(yùn)動(dòng)方程那么是以x和t質(zhì)點(diǎn)之間的牽連反映在uxx每單位長(zhǎng)度弦所受橫向力F(xt),那么應(yīng)將T2

T1sinα1

T2sinα2T1sinα1F(xt)dx(ρds)uttutta2uxx0(7.1.6)修改為u

f(x,t). 式中f(x,tF(x,tρ為tx這里要推導(dǎo)的是桿上各點(diǎn)沿桿長(zhǎng)方向的縱向位移u(x,t) 拿區(qū)間(x,x+dxB7-2在振動(dòng)過程中,B兩端的位移分別記作u(x,t)和u(xdxtudu|tB段的伸長(zhǎng)即是u(xdxtu(xtdu|tu而相對(duì)伸長(zhǎng)那么是[u(xdxtu(xtdxdu|t/dxuxdxdxu相對(duì)伸長(zhǎng)ux還隨地點(diǎn)而異在B分別是ux|x和ux|xdx.如果桿的材料的楊氏模量是根據(jù)胡克定律,BEux|x和Eux|xdx于是,寫出B段的運(yùn)動(dòng)方程ρ(Sdx)uttESux|xdxESux|xESux式中ρ為桿的密度,SSdxputtEuxx0對(duì)于均勻桿,E和ρputtEuxx0.(7.1.8)可以改寫成u 0,(7.1.9)其中a2E/ρ 這跟弦振動(dòng)方程utta2uxx0(7.1.6a也就是縱振動(dòng)在桿中的速度桿的受迫縱振動(dòng)方程也跟弦的受迫振動(dòng)方程utta2uxxf(xt(7.1.7只是其中F(x,t)____7-取x與x+dx分別記作R,G,C和L.我們所研究的小段可以看作是分立的電阻Rdx和自感Ldx串接路中,分立的電容Cdx和漏電電阻(1/G)dx跨接在兩線之間,7-還有兩線之間的電容Cdx這是由于導(dǎo)線電阻Rdx和兩線之間的電感Ldx上的感生電動(dòng)勢(shì)(Ldx)j 即jxGvCvtvxRjL亦即

j(GC)v

(RLt)Jxv以x作用于(7.1.11的第一式,以GC/t)作用于第二式,兩者相減就消去v,得j(x,t)的方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0以(RLt作用于

j(GC)v

(7.1.11 (RLt)Jxv以/x作用于其第二式兩者相減就消去入得v(x,t)的方程LCvttvxx(LGRC)vtRGv0導(dǎo)線電阻RGLCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12LCvttvxx(LGRC)vtRGv0.jtta2jxx0和vtta2vxx0其中a21LC14.23,1/LC方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0和LCvttvxx(LGRC)vtRGv0以及它們的特例vtta2vxx0(7.1.14)傳輸線方程vtta2vxx07.1.14)跟弦振動(dòng)方程utta2uxx07.1.6桿縱振動(dòng)方程(7.1.9是完全一樣,xyxy膜上各點(diǎn)的橫向位移記為u(x,y,t).如果在膜上劃一直線(參看圖7-4a),直線上任一點(diǎn)的張力T記張力Txyα7-α0所以,張力T的橫向分量TsinαTtanαTunTxy即直線在xy平面的投影的法線方向,拿x與x+dx之間,y與y+dy7-4b先看x和x+dx張力的橫向分力分別是Tux|x和Tux這樣,這小塊膜在x和x+dx[Tux|xdxTux|x]dy同理,在y和y+dy兩邊所受橫向作用力是用ρ即ρuttT(uxxuyy02/x22/y2叫作二維拉斯算符,通常記作或者為了強(qiáng)調(diào)二維而記作

7.1.15puttTΔ2uρuttT(uxxuyy0(7.1.15utta2Δ2u0式中常數(shù)a2T/ρ,a為膜上振動(dòng)的速度記單位面積上的橫向外力為那么得薄膜的受迫振動(dòng)方程utta2Δ2uf(xy,t其中f(xytF(xytρ流體力學(xué)中研究的物理量是流體的流動(dòng)速度v、壓強(qiáng)p和,密度ρ相應(yīng)地要研究空氣質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近的振動(dòng)速度vp和密度ρ這種疏密相間狀態(tài)向周圍的形成聲波記空氣處于平衡狀態(tài)時(shí)的壓強(qiáng)和密度分別為p0并把聲波中的空氣密度相對(duì)變化量(ρρ0)/ρ0記為sρρ0,ρρ(1ρ0ρ0由于空氣的振動(dòng)速度|v|聲速,v是很小的量,且假定：聲振動(dòng)不過分劇烈,s也是很小的量在不受外力的情況下,略去v和s的二次以上的小量可以導(dǎo)出聲波方程(其推導(dǎo)本書從略sa2Δs0(a2γρ0)(7.1.18 其中γ為空氣定壓比熱容與定容比熱容的比假設(shè)在聲波過程中,空氣是無旋的,即v由于對(duì)任何存在二階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)φ(xy,z),有φ總可以找到一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u(x,y,z,t滿足v(x,y,z,t)u(x,u稱為速度勢(shì)進(jìn)而可得u從的聲波方程為ua2Δu0(a2γρ0ρ ρ0跟方程

a2Δs0(a2γρ0

7.1.18)形式相同 (六)電磁波方在國(guó)際單位制下,方程為Etta2Δ3E0和Htta2Δ3H0其中a21μ0ε0光速平方E、H為真空中電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度,(七)擴(kuò)散方這種現(xiàn)象叫作擴(kuò)散擴(kuò)散現(xiàn)象廣泛存在于氣體、液體和固體中制做半導(dǎo)體器件就常用擴(kuò)散法把硅片放在擴(kuò)散爐里,雜質(zhì)就向硅片里面擴(kuò)散這種只沿某一方向進(jìn)行的擴(kuò)散叫作一維的擴(kuò)散,在擴(kuò)散問題中研究的是濃度u在空間中的分布和在時(shí)間中的變化u(x,擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的是濃度的不均勻濃度不均勻的程度可用濃度梯度u表示,擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)弱可用擴(kuò)散流強(qiáng)度q,即單位時(shí)間里通過單位橫截面積的原子數(shù)或分子數(shù)或質(zhì)量表根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,擴(kuò)散現(xiàn)象遵循的擴(kuò)散定律即斐克定律是qDu.或?qū)懗煞至啃问絨Du

,Du,qDu

比例系數(shù)D叫作擴(kuò)散系數(shù),不同物質(zhì)的擴(kuò)散系數(shù)備不一樣拿x與x+dx之間,y與y+dy之間,z與z+dz7-5先單位時(shí)間內(nèi)x方向的擴(kuò)散流在左表面,流量qx|xdydz是流入平行六面體的；在右表面,流量qx|xdxdydz那么是流出的,由于dx取得很小,q q|qxdx.出入相抵x x 單位時(shí)間內(nèi)x方向凈流入流量(qx|xdxqx|xx(Dyz單位時(shí)間內(nèi)y方向凈流入流量

(D 單位時(shí)間內(nèi)z方向凈流入流量

(D 即udxdydvar(Du

(Du)

(D

其中ut于是得三維擴(kuò)散方程u[(Du

(Du)

(Du)]0.

如果僅在x那么一維擴(kuò)散方程為uta2uxx0(a2D現(xiàn)在說一說有源或匯的擴(kuò)散問題,兩種情況擴(kuò)散源的強(qiáng)度(單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù))為F(xy,z,t與濃度u無關(guān),

[(Du)

(Du)

tuta2ΔuF(x,y,z,t)(a2D).擴(kuò)散源的強(qiáng)度與濃度u例如235U原子核的鏈?zhǔn)椒磻?yīng)使中子數(shù)增

中子濃度增殖的時(shí)間變化率為b2ub2即與中子濃度u一維和三維擴(kuò)散方程應(yīng)分別修改為uta2uxxb2u

ua2Δub2u0uueλtλ(λ00即u02ueλτ所以λ(ln2τ00于是uue(ln2)t/τ0對(duì)t但比例系數(shù)別修改為λ(ln2τu ln2u相應(yīng)地,一維和三維擴(kuò)散方程應(yīng)分別修改為 2

tuaΔut

τu在熱傳導(dǎo)問題中研究的是溫度在空間中的分布和在時(shí)間中的變化熱傳導(dǎo)的是溫度的不均勻溫度不均勻的程度可用溫度梯度u示,熱傳導(dǎo)的強(qiáng)弱可用熱流強(qiáng)度q,即傅里葉定律是qku,比例系數(shù)k可導(dǎo)出沒有熱源和熱匯的一維和三維熱傳導(dǎo)方程

(ku)0,

[(ku)

(ku)

(ku)]0,

其中c是比熱容,ρ對(duì)于均勻物體,k,c,p上式成為uta2uxx0,(a2k

ua2Δu 跟擴(kuò)散方程uta2uxx0(a2D熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位體積中產(chǎn)生的熱量)為F(x熱傳導(dǎo)方程cρu(ku)0,tcρu[(ku)

(ku)

(ku0,(7.1.32應(yīng)修改為

(ku)F(x,t),

[(ku)

(ku)

(ku)]F(x,y,z,t).

cρu(ku)F(x,t), 和

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36

uta2uxx (a2k

ua2Δuf(x,y,z, 其中f(xt)F(xtcρ,f(xyzt)F(xyzt如果擴(kuò)散源強(qiáng)度F(xy,z空間中各點(diǎn)的濃度不再隨時(shí)間變化,即ut如D是常數(shù),有DΔuF(xy,z(7.1.39這是泊松方程,如沒有源,那么是拉斯方程Δu0.(7.1.40)DΔuF(xy,z(7.1.39Δu07.1.40如果熱源強(qiáng)度F(xy,z空間中各點(diǎn)的溫度不再隨時(shí)間變化,即ut0,

[(ku)

(ku)

(ku)]F(xyzt(7.1.36成為(kuF(xy

如kkΔuF(xyx(7.1.41也是泊松方程,如沒有熱源,也簡(jiǎn)化為拉斯方程Δu0.kΔuF(xyx(7.1.41)和Δu0(7.1.42高斯定理可以表述為：穿過閉合曲面向外的電場(chǎng)強(qiáng)度通量等于閉合曲面所圍空間T中電量的1/ε0ε0為真空介電常數(shù)EdS1 ε0EdV1 ε0上式對(duì)任意的空間TE1ρ.E是無旋的,即E0(7.1.44)E1ρ7.1.43E07.1.44)DεoE,B0Dρ和EBt由E1ρ(7.1.43存在電勢(shì)函數(shù)V(x使EV將EV.(7.1.45)代入E1ρ(7.1.43ΔV1ρ 這就是靜電場(chǎng)的電勢(shì)函數(shù)VE是矢量,而V求解方程ΔV1ρ(7.1.46如果在靜電場(chǎng)的某一區(qū)域里沒有電荷,即ρ那么電勢(shì)函數(shù)V的靜電場(chǎng)方程ΔV1ρ在該區(qū)域上簡(jiǎn)化為拉斯方程ΔV0其中EIρ方程中出現(xiàn)關(guān)于空間坐標(biāo)x如果單位長(zhǎng)度桿上外加橫向力是F(x那么相應(yīng)的方程為utta2uxxxxF(x,tρf(x,t其中f(x,t)微觀粒子在勢(shì)場(chǎng)V(xy,z,t中,波函數(shù)u這里用u滿足薛定諤方程

勢(shì)能V不顯含時(shí)間t對(duì)于定態(tài),方程的

ΔuVu(7.1.65)簡(jiǎn)化為定態(tài)薛定諤方程

ΔuVuEu對(duì)于隨著時(shí)間而發(fā)展變化的問題對(duì)于輸運(yùn)過程(擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)u的初始分布(初始濃度分布、初始溫度分布).因此,初始條件是u(xyzt|t=0φ(xyz)(7.2.1)其中φ(xy,z)是已知函數(shù)對(duì)于振動(dòng)過程(弦、桿、膜的振動(dòng),較高頻率交變電流沿傳輸線u(xyzt|t0φ(xyz(7.2.2)是不夠的ut(xyzt|t0ψ(xyz從數(shù)學(xué)的角度看,t這個(gè)自變數(shù)而言輸運(yùn)過程的泛定方程只出現(xiàn)一階的導(dǎo)數(shù)ut是一階微分方程所以只需一個(gè)初始條件u(xyzt|t=0φ(xyzutt是二階微分方程,需要兩個(gè)初始條件u(xyzt|t0φ(xyz)(7.2.2)_和ut(xyzt|t0ψ(xyz_例如,l而兩端固定的弦h(7-然后放手任其振動(dòng)所謂初始時(shí)刻就是放手的那個(gè)瞬間初始速度顯然為零,即ut(xt|t00,至于初始位移如寫成u(xt|t0那就錯(cuò)了,h只是弦的中點(diǎn)的初始位移,其他各點(diǎn)的位移并不是h.考慮到弦的初始形狀是由兩段直線銜接而成初始位移應(yīng)是x的分段函數(shù)u(x,t) (2h/

(在[ l/2]上

l]上自由輸運(yùn)就衰減到可以認(rèn)為已沒有外加力只是由于初始偏離或初始速度引起的振動(dòng)叫作自由振動(dòng)上節(jié)推導(dǎo)自由振動(dòng)方程時(shí)沒有計(jì)及阻尼作用(3要求計(jì)及阻尼作用),初始條件引起的自由輸運(yùn)或自由振動(dòng)衰減到可以認(rèn)為已我們完全可以忽略初始條件的影響這類問題也就叫作沒有初始條件的問題用表示邊界,第二類un

第三類(uHun

f(M,t),其中M代表區(qū)域邊界f,H例如長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c各自沿xyz如果Mx軸的表面x=0x=a上,M點(diǎn)的x坐標(biāo)已確定,于是已知函數(shù)f(M,t)僅是yz,t的函數(shù),比待解函數(shù)u(rt少一個(gè)自變數(shù),例如弦的兩端x=0x=l那么邊界條件是u|x=00,u|x=l=0.x=auf(t)那么該端點(diǎn)的邊界條件是u(xt|xaf(t7.2.7特別是如果該端點(diǎn)處于恒溫u0那么邊界條件成為u(xt|xau0硅片的邊界就是它的表面x=0和x邊界上的物理狀況則是雜質(zhì)濃度坫保持為常數(shù)u(x,t)|x0N0,u(x,t)|xl例如作縱振動(dòng)的桿的某個(gè)端點(diǎn)x=a根據(jù)胡克定律,該端點(diǎn)的張應(yīng)力Eun|xa與外力的關(guān)系為(Eun|x=aSf(t其中Sf(t0,則un|xa當(dāng)f(t0對(duì)x=l端點(diǎn),ux|xlf(t對(duì)x=0ux|x=lf(t如果桿的某個(gè)端點(diǎn)x=a那么根據(jù)熱傳導(dǎo)定律,邊界條件為kun|x=af(t如果熱流f(t是流入,那么邊界條件為kun|xa如果端點(diǎn)絕熱,那么un|xa如果桿的某一端點(diǎn)x=a即桿端和周圍介質(zhì)(溫度θ從“自由冷卻”這個(gè)條件既不能推斷在該端點(diǎn)的溫度u也不能推斷在該端點(diǎn)的溫度梯度ux的值,但是,自由冷卻規(guī)定了從桿湍流出的熱流強(qiáng)度(kunu|xaθ即(uHun|xaθ(Hk對(duì)于兩端x=0x=l7-在x=ln就是x所以自由冷卻條件可表為(uHux|xl在x=0n就是-x所以自由冷卻條件可表為(uHux|x0如果桿端跟周圍介質(zhì)的熱交換系數(shù)h遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于桿的熱傳導(dǎo)系數(shù)那么Hkh上述邊界條件 為第一類邊界條件u|x0θu|Ul如果某一端點(diǎn)x=a從“彈性連接”既不能推斷在該端點(diǎn)的位移u也不能推斷在該端點(diǎn)的相對(duì)伸長(zhǎng)ux的值, 性力(ESun等于彈性連接物中的彈性恢復(fù)力(-ku,k于是有(uESu) n其中f≡0的邊界條件又叫作齊次的,桿的一端掛有重物而作縱振動(dòng)(圖7-10).桿端所受的力有重力(mg)和慣性力(-mutt)所以ESux|xlmgmutt|xl在這個(gè)邊界條件中不僅出現(xiàn)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)ux還出現(xiàn)了對(duì)t的偏導(dǎo)數(shù)的utt以弦振動(dòng)為例,就x弦振動(dòng)方程中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)uxx,是二階微分方程,桿的橫振動(dòng)方程中出現(xiàn)四階偏導(dǎo)數(shù)uxxxx,例如,端點(diǎn)x=a7-11a),即u|xa0,ux|xa0又如端點(diǎn)x=a7-即u|xa0,uxx|xa0(支撐端即uxx即uxx|xa0,uxxx|xa0(自由端例如,長(zhǎng)為l車子以速度v07-x=0端固定而x=1可用"u|x00ux|xl0而想到什么x=0端在突然停止時(shí)有某個(gè)沖力,x=l既然"u|x00"ux|xl0能夠確切說明x=0端固定而x=l端自由,如果在某一端點(diǎn)x=a流的強(qiáng)度q是已知的,即Dun|xaq.uta2uxxqcρ.其強(qiáng)度處處是q.這樣,有限長(zhǎng)的真實(shí)的弦抽象成的弦在1100℃左右,用擴(kuò)散法制做超導(dǎo)材Nb3Sn線,硅片或鈮芯的厚度l很小,不到一毫米,如果著重研究邊界x=0棚、磷、錫原子來不及達(dá)到另一邊界x=l,x=l我們不妨認(rèn)為不存在另一邊界認(rèn)為硅片或鈮芯從x=0_構(gòu)成半的問題_如果有橫向力F(t)集中地作用于xx07-在折點(diǎn)x0,斜率ux的左極限值ux(x00t跟右極限值ux(x00t不同,即ux有躍變,因而uxx不存在,弦振動(dòng)方程utta2uxx0在這一點(diǎn)沒有意義,這樣,我們只能把xx0和xx0兩段分別考慮,對(duì)于xx0的一段,無法列出xx0處的邊界條件對(duì)于xx0的一段,無法列出xx0處的邊界條件；xx0即u(x00tu(x00t7.2.9其次,在折點(diǎn),力F(t)應(yīng)同張力T即F(tTsinα1Tsinα20.由于sinα1tanα1ux(x00sinα2tanα2ux(x00,上式即Tux(x00tTux(x00tF(t).(條件u(x00tu(x00t(7.2.9和Tux(x00tTux(x00tF(t).(7.2.107.4不必詳細(xì)過渡區(qū)上的變化情況把所有自變數(shù)(把所有自變數(shù)(包括空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo))依次記作x1,x2 , i二階偏微分方程如果可以表為aijuxxbiuxicufij=1 其中aj,bi,c,f只是x1,x2 ,xn的函數(shù),就叫作線性的方程7.1如f0那么方程稱為齊次的,否則叫非齊次的,從7.1導(dǎo)出的各方程來看,

ln2u例如,擴(kuò)散方程utauxxbu

(7.1.29

(7.1.30ua2Δub2u

t uaΔut

τu本書將經(jīng)常疊加原理先研究?jī)蓚€(gè)自變數(shù)x和ya11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0,其中假定a11,a12,a22b1,b2,c,f只是x和y我們假定a11,a12,a22bl,b2,c,f試作自變數(shù)的代換xx(ξ,η即ξξ(xy),y(ξ,η)(x,

ηη(x,ηη(x,通過代換ξξ(xy(7.3.3u(xηη(x,這里,還應(yīng)把方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)改用新的自變數(shù)ξ和η為此,作如下計(jì)算uxuξξxuηηx,uxx(uξ2uξ

uξξyuηηyuξ)(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηx ξ ηξx ηη η ξξ ξηx ηη ξ η

(uξξξxξyuξηξxηyuξξxy)(uηξηxξyuηηηxηyuηηxy)uξξξxξyuξη(ξxηyξyηx)uηηηxηyuξξxyuηηxy

(uξ2uξ

u )(uη

uη2uη)uξ22uξ

uη2u

uξξ ξηy ξ ηξy ηη η把(7.3.4)和(7.3.5)代入(7.3.2)

ξξ ξηy ηη ξ η采用新自變數(shù)ξ和η后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0A11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2其中系數(shù)

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6仍然是線性的,從(7.3.7可以看到,如果取一階偏微分方程az22azzaz20(7.3.8),它的一個(gè)特解作為新自變數(shù)11 12x 22那么aξ22aξξaξ20,從而 11 12x 22 如果az22azzaz20(7.3.8的另一特解作為新自變數(shù)11 12x 22那么A22這樣,方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6一階偏微分方程az22azzaz20(7.3.811 12x 22

az22azzaz20(7.3.8)可改寫為a(zx)22a(zx

0. 12x 22

如果把z(x,y)=常數(shù)當(dāng)作定義隱函數(shù)y(x那么dydxzx從而a(zx)22a(zx

0.(7.3.9正是a(dy)2

dy

11

常微分方程a(dy)2

dy

11 12 叫作二階線性偏微分方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)特征方程的一般積分"ξ(xy常數(shù)"和"η(xy)=特征方程a(dy)2

dy

11

12a12

a2a

1122 a12 a2a 1122, 通常根據(jù)(7.3.127.3.137.3.2)a2a

11a2a

0,拋物型. 11a2a

0, 11方程a11uxx2a12uxγa22uyyb1uxb2uycuf0(7.3.2)的系數(shù)a11,a12和a22可以是x和yA11aξ22aξ

aξ2AA

11

l2x 22a12(ξxηyξyηx

a22ξyηyA22aη22aη

aη2用

x

22b

b 1 22 a11ηxx2a12ηxya22ηyyb1ηxb2ηy2 容易驗(yàn)證A2A (a2aa)(ξηξη)2 11 11 x y 11 a12 a2 11

11 a 11

a2a

,(7.3.13ξ(xy)=常數(shù),η(x,y 取ξξ(xyηη(x,y)作為新的自變數(shù),那么A110A220從而自變數(shù)代換后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[B

B

1 2

α1(ξ在作自變數(shù)代換ξαβ,即 ηα

1(ξ2那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2Cu2F]

如弦振動(dòng)方utta2uxx0(7.1.6)和u

f(x,

桿的縱振動(dòng)方程utta2uxx0電報(bào)方程

a12

a2a

1[B B F7.1.14) 11

ξη

ξ

2η

由于a2a

11 11特征方程

a12

a2a

7.3.12

a

(7.3.13 11 11dya12, 它們只能給出一族實(shí)的特征線ξ(xy常數(shù)那么ξξ(xy)(7.3.9取ξ作為新的自變數(shù)

取與ξxy)無關(guān)的函數(shù)ηη(x,ya11a22將ξxξydydxa12a11a11a22

代入 ξ2[a(x)2 xa] y[a2

a] 11

12 ξx

η)aη]ξyηy[a2

a] ξy[a11(

)

22

ηx2

ηy[a11(η

12

a22]ηy[a11(η) a22 可見,只要取η(x,y)使ηx/ηy 即ηdya12 則A220A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF0(7.3.6 1[BuB

A 1 2A 11 a 11

a2a

(7.3.12

a

,(7.3.13 11各給出一族復(fù)數(shù)的特征線ξ(xy 11而且ηξ*取ξξ(xy和ηη(xyξ*(xy)作為新的自變數(shù)那么A110A220從而自變數(shù)代換后的方程A11uξξ2A12uξηA22uηηB1uξB2uηCuF07.3.6為 1[B

B

1 2這方程不同于 1[B

B

1 2αReξ1(ξ通常又作代換ξαiβ,即 ηα

βImξ

1(ξη)那么方程 1[B

B

1 2

1

B

B

2CuF]

(7.3.18或(7.3.19是橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式平面穩(wěn)定場(chǎng)方程如穩(wěn)定濃度分布DΔuF(xy,z穩(wěn)定溫度分布kΔuF(xyx靜電場(chǎng)方程ΔV1ρ(7.1.46和ΔV0旋恒定電流場(chǎng)方程(7.1.54)和無旋定常流動(dòng)方程(7.1.61和(7.1.62等在二維情況下,都是 1

B)ui(BB

2CuF(7.3.19形式的橢圓型方程

(三)n 線性方程aijuxxbluxcuf0i j=1 試作自變數(shù)的代換ξkξk(x1,x2 ,xn),k 代換的雅可俾式(ξ1,ξ2 ,ξn)(x1,x2 ,xn ,xn)成為ξ1,ξ2,,ξ的函數(shù)n 這里,還應(yīng)把方程aijuxxbluxcuf

7.3.1改用新的自變教ξk表出i j=1 n n

u(ξ

k

uξξ(ξk)x(ξl

uξ(ξk)x i

k1

k

in 把(7.3.21代入aijuxxbluxcuf0i j=1

得到采用新自變數(shù)ξ1,ξ2,,ξn后的方程Akluξ

CuF0,n n

a(ξ)(ξ

k n=1 n其中系數(shù)

j1

k

x

Bkbi(ξk

aij(ξk)x

ij1 方程Akluξ

CuF0(7.3.22仍然是線性的k k=1 值得注意的是n二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù)變換公式恰恰是二次齊次式aijyiyj(7.3.24)j1nl在自變數(shù)代換(y1,y2 ynη1,η2 ηn)yi(ξk)xη(7.3.25)lkn二次齊次式aijyiyj(7.3.24)可以用適當(dāng)?shù)拇鷵Q而對(duì)角化j1 在相應(yīng)的代換下,方程Akluξξ

CuF0(7.3.22)即Aij0(i

k k=1 AA

1或二次齊次式對(duì)角化時(shí)有一條慣性定律An之為正或?yàn)樨?fù)或?yàn)榱愕膫€(gè)數(shù)亦各為一定,所有n個(gè)Att0且全為同號(hào)有某些Att所有n個(gè) 0,其中n1個(gè)同號(hào),另一反號(hào)所有n個(gè) 0,兩種符號(hào)都不止一個(gè)

橢圓型;拋物型;雙曲型;超雙曲型 ux

CuF0i ux

CuF0l ux

uxx,

CuF01 i uxx

ux

CuF0超雙曲型i i 量子力學(xué)的薛定諤方程(7.1.65雖是拋物型的,但于系數(shù)中有i 1所以并不代表輸運(yùn)過程,應(yīng)當(dāng)除非自變數(shù)的個(gè)數(shù)n二階線性偏微分方程(7.3.1)只能逐點(diǎn)(x1,x2, ,xn)化為上述標(biāo)準(zhǔn)形式,即使方程在某個(gè)區(qū)域上各點(diǎn)屬于同一類型一般還是不能在該區(qū)域上各點(diǎn)同時(shí)化為標(biāo)準(zhǔn)形式道理是這樣的：非“對(duì)角的”系數(shù)Aij)有n(n1)(7.3.27個(gè) n(n-1)/2個(gè)條件n)可供選擇的代換ξk(kn)

如果n>3,那么(7.3.23總是小于7.3.27),因而不可能選擇一種代換使所有非“對(duì)角的”系數(shù)全為零n=3,那么(7.3.28等于7.3.27),可選一代換便所有非“對(duì)角的”系數(shù)為零,因此,必須n2,才有可能在某一區(qū)域上(四)如果線性方程的系數(shù)都是常數(shù)那么按上述方法化成標(biāo)準(zhǔn)形式之后還可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化以傳輸線方程LCjttjxx(LGRC)jtRGj0(7.1.12或LCvttvxx(LGRC)vtRGv0(7.1.13為試作函數(shù)變換u(xt)v(xt),u(xt)eλxμtv(xt),(7.3.30)λμ是尚待確定的常數(shù), eλxμt(vλv) t

eλxμt

uLt (vu2μvt把u(xteλxμtv(xt(7.3.30和(7.3.31代入LCu

RGu0約去公共因子eλxμt

得LCvttvxx2λvx[2μLC(LGRC)]vt[LCμ2λ2μ(LGRCRG]vλ0μ(LGRC2LC,即u(xte那么一階偏導(dǎo)數(shù)vt和vx的項(xiàng)

v(x,方程簡(jiǎn)化為

tt

(LGRC)2v0.然后利用附加條件確定這些常數(shù)(一)試研究均勻弦的橫振動(dòng)方程utta2uxx0均勻桿的縱振動(dòng)方程utta2uxx0vtta2vxx07.1.14它們具有同一形式

即aa)u0 (1方程(aa)u

(7.4.1)的形式提示我們作代換xa(ξηtξη

x

a ξ ξ tx

(a η

η

方程(aa)u0(7.4.1)就成為(2ξη)u x

ηxηx把代換(7.4.2)修改為t

1(ξη),

即ξx方程(7.4.1

07.4.3)先對(duì)η積分,得uf(ξ(7.4.4其中f再對(duì)ξ積分,就得到通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(ηf1(xat)f2(x其中f1和f2都是任意函數(shù)式uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η就是偏微分方程(aa)u0(7.4.1 通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5具有鮮明物理意義,以f2(xat)而論,改用以速度a沿x正方向移動(dòng)的坐標(biāo)軸X,T那么新舊坐標(biāo)和時(shí)間之間的關(guān)系為XT而f2(xat與時(shí)間T亦即是隨著動(dòng)坐標(biāo)系以速度ax

f1(xat)是以速度ax這樣,偏微分方程(a

a)u0.(7.4.1)描寫以速度a向x正負(fù)兩個(gè)方 的行波(2)函數(shù)f1與f2的確

通解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5中函數(shù)f1與f22設(shè)初始條件是u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x以一般解uf(ξ)dξf2(ηf1(ξf2(η7.4.5 f(x)f(x) 即f(x)f(x) ψ(ξ)dξf(x)f(x2ax f(x)1φ(x)1 [f(x)f(x1122ax2 f2(x) φ(x)1112x0 [f1(x0)f2(x02即得滿足初始條件u|t0φ(x),ut|t0ψ(x(x22a設(shè)初速為零即ψ(x于x(x1x222u07-14a

xx1

xx1x2 0x φ(x)

xx2x1x

x1

2xx2 2 (xxlxx2達(dá)朗貝爾公式(7.4.7給出u(xt1φ(xat1φ(x 即初始位移(7-l4b最下一圖的粗線所描畫)分為兩半(該圖細(xì)線a移動(dòng)(7-14b由下而上各圖的細(xì)線所描畫_這兩個(gè)行波的和(7-14b由下而上各圖的粗線所描畫)給出各個(gè)時(shí)刻的波形_作為第二個(gè)例子設(shè)初始位移為零即φ(x)而且初始速度ψ(x)也只在區(qū)間(x1x2上不為零

[x不在(x,x)上 達(dá)朗貝爾公式u(xt1[φ(xatφ(xat

xatψ(ξ)dξ.給出u(xt1xatψ(ξ)dξ

xat2a-

2aΨ(xatΨ(xat這里Ψ(x指的是(7- (xx1Ψ(x) xψ(ξ)dξ1(xx)φ(xxx(xx)φ(x 于是,作出Ψ(x和Ψ(x兩個(gè)圖形a分別向左右兩方移動(dòng)(7-16由下而上各圖的細(xì)線所描畫兩者的和(7-16由下而上各圖的粗線所描畫)就描畫出各個(gè)時(shí)刻的波形7-14b中,波已“通過”的地區(qū),在圖7- 中,波已“通過”的地區(qū),雖然振動(dòng) (二)半無限長(zhǎng)的弦具有一個(gè)端點(diǎn)先utta2uxx0,0x

___u|t0___ut|t0

0xu|x00.注意初始條件(7.4.9)里的φ(x和ψ(x)必須宗量x0才有意義,這是因?yàn)樵趚<0的區(qū)域上弦并不存在,也就談不上初始條件__5.2不妨把這根半無限長(zhǎng)弦當(dāng)作某根無限長(zhǎng)弦的x0的部分,按照u|x00.(7.4.10),這無限長(zhǎng)弦的振動(dòng)過程中,x=0必須保持