高中數(shù)學(xué) 2.2.1《用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布1》 新人教B必修3

2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布(一).從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息。如果把這些數(shù)據(jù)形成頻數(shù)分布或頻率分布，就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計(jì)總體的分布情況。.一、頻率分布表與頻率分布直方圖：1．頻數(shù)、頻率將一批數(shù)據(jù)按要求分為若干個組，各組內(nèi)數(shù)據(jù)的個數(shù)，叫做該組的頻數(shù)。每組的頻數(shù)除以樣本容量的商叫做該組的頻率；頻率反映每組數(shù)據(jù)在樣本中所占比例的大小。.2．樣本的頻率分布根據(jù)隨機(jī)所抽樣本容量的大小，分別計(jì)算某一事件出現(xiàn)的頻率，這些頻率的分布規(guī)律（取值狀況），就叫做樣本的頻率分布。為了能直觀地顯示樣本的頻率分布情況，通常我們會將樣本的容量、樣本中出現(xiàn)該事件的頻數(shù)以及計(jì)算所得的相應(yīng)頻率列在一張表中，叫做樣本的頻率分布表。.3．用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布從一個總體得到一個包含大量數(shù)據(jù)的樣本時，我們很難從一個個數(shù)字中直接看出樣本所包含的信息，如果把這些數(shù)據(jù)形成頻數(shù)分布或頻率分布，就可以比較清楚地看出樣本數(shù)據(jù)的特征，從而估計(jì)總體的分布情況。用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的一個基本思想方法，而對于總體的分布，我們總是用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計(jì)。.4．列頻率分布表的步驟下面我們通過一個具體的實(shí)例來闡述這一方法。某鋼鐵加工廠生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的鋼管，為了掌握產(chǎn)品的生產(chǎn)狀況，需定期對產(chǎn)品進(jìn)行檢測，下面的數(shù)據(jù)是一次抽樣中的100件鋼管的內(nèi)徑尺寸：.最大值最小值.列頻率分布表的方法步驟：①求極差（也稱全距，即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）：計(jì)算極差時，需要找出這組數(shù)據(jù)的最大值和最小值，當(dāng)數(shù)據(jù)很多時，可借助如下算法（最大值）：S1把這100個數(shù)據(jù)命名為A(1)、A(2)、A(3)、……、A(100)；S2設(shè)變量x=A(1)；S3把A(i)(i=2，3，……，100)逐個與x比較，如果A(i)>x，則x=A(i)；.運(yùn)用上面的算法得出這組樣本數(shù)據(jù)的最大值是25.56，用類似的算法可以得出最小值是25.24它們的差為25.56－25.24=0.32，所以極差等于0.32mm.②決定組距與組數(shù)那么組數(shù)=———=10.67,于是分成11組。極差組距樣本數(shù)據(jù)有100個，由上面算得極差為0.32，取組距為0.03，.注意：為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”，如果極差不利于分組（如不能被組數(shù)整除）要適當(dāng)增大極差，如在左、右兩端各增加適當(dāng)范圍（盡量使兩端增加的量相同）.③決定分點(diǎn)，將數(shù)據(jù)分組將第1組的起點(diǎn)定為25.235，以組距為0.03將數(shù)據(jù)分組時，可以分成以下11組：[25.235，25.265)，[25.265，26.295),……,[25.535，25.565]..分組時，通常對組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間，當(dāng)然也可以采用其他分組方法。④登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表頻率=—————，如第1小組的頻率為———=0.01.頻數(shù)樣本容量1100.頻率分布表：.⑤繪制頻率分布直方圖利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡稱頻率直方圖。下面仍以上例中的數(shù)據(jù)加以說明。（1）頻率分布直方圖的繪制方法與步驟S1先制作頻率分布表，然后作直角坐標(biāo)系，以橫軸表示產(chǎn)品內(nèi)徑尺寸，縱軸表示頻率/組距..S2把橫軸分成若干段，每一段對應(yīng)一個組的組距，即在橫軸上標(biāo)上25.235，25.265,……,25.565表示的點(diǎn)；S3在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以相鄰兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為底作矩形，它的高等于該組的頻率/組距，每個矩形的面積恰好是該組的頻率。這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。..（2）有關(guān)問題的理解①因?yàn)樾【匦蔚拿娣e=組距×頻率/組距=頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率。這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個小組內(nèi)的頻率大小。②在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1..③同樣一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，橫軸、縱軸單位不同，得到的圖的形狀也會不同。不同的形狀給人的印象也不同，這種印象有時會影響我們對總體的判斷。④同一個總體，由于抽樣的隨機(jī)性，如果隨機(jī)抽取另外一個容量為100的樣本，所形成的樣本頻率分布一般會與前一個樣本頻率分布有所不同。但是，它們都可以近似地看作總體的分布。.⑤上例中，如果規(guī)定，鋼管內(nèi)徑的尺寸在區(qū)間25.325~25.475內(nèi)為優(yōu)等品，我們可依據(jù)抽樣分析統(tǒng)計(jì)出產(chǎn)品中優(yōu)等品的比例，也就是它的頻率。從上表或上圖容易看出，這個頻率值等于0.12+0.18+0.25+0.16+0.13=0.84，于是可以估計(jì)出所有生產(chǎn)的鋼管中有84%的優(yōu)等品。工廠可以根據(jù)質(zhì)量規(guī)范，看看是否達(dá)到優(yōu)等品率的要求，如果沒有達(dá)到，就需要進(jìn)一步分析原因，解決問題。.頻率分布直方圖的特點(diǎn)從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢，但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容。所以，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。.例1.從某校高一年級的1002名新生中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為100的身高的樣本，數(shù)據(jù)如下（單位：cm）。試作出該樣本的頻率分布表。168165171167170165170152175174165170168169171166164155164158170155166158155160160164156162160170168164174171165179163172180174173159163172167160164169151168158168176155165165169162177158175165169151163166163167178165158170169159155163153155167163164158168167161162167168161165174156167166162161164166.解：最大值=180，最小值=151，極差=29，決定分為10組；則需將全距調(diào)整為30，組距為3，既每個小區(qū)間的長度為3，組距=全距/組數(shù)?？扇^(qū)間[150.5,180.5].分組頻數(shù)頻率[150.5,153.5）40.04[153.5,156.5）80.08[156.5,159.5）80.08[159.5,162.5）110.11[162.5165.5）220.22[165.5,168.5）190.19[168.5,171.5）140.14[171.5,174.5）70.07[174.5,177.5）40.04[177.5,180.5）30.03合計(jì)1001.頻率分布直方圖為：.例2．下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高(單位cm)(1)列出樣本頻率分布表﹔(2)估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比.。區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人數(shù)5810223320區(qū)間界限[146,150)[150,154)[154,158)

人數(shù)1165

.解：（1）樣本頻率分布表如下：.（2）由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19，所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%．.例3．為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林生長情況，隨機(jī)測量其中的100株的底部周長，得到如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）135981021109912111096100103125971171131109210210910411210912487131971021231041041281051231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108.（1）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木約占多少，周長不小于120cm的樹木約占多少．.分組頻數(shù)頻率頻率/組距[80,85)10.010.002[85,90)20.020.004[90,95)40.040.008[95,100)140.140.028[100,105)240.240.048[105,110)150.150.030[110,115)120.120.024[115,120)90.090.018[120,125)110.110.022[125,130)60.060.012[130,135]20.020.004合計(jì)10010.2解：（1）這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80，全距為55，可將其分為11組，組距為5．頻率分布表如下：

.（2）直方圖如圖.（3）從頻率分布表得，樣本中小于100的頻率為0.01+0.02+0.04+0.14=0.21，樣本中不小于120的頻率為0.11+0.06+0.02=0.19，估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長小于100cm的樹木約占21%，周長不小于120cm的樹木約占19%．.1.有一個容量為的樣本數(shù)據(jù),分組后各組的頻數(shù)如下:(12.5,15.5],3;(15.5,18.5],8;(18.5,21.5],9;(21.5,24.5],11;(24.5,27.5],10;(27.5,30.5],4.由此估計(jì)，不大于27.5的數(shù)據(jù)約為總體的()A．91%B．92%C．95%D．30%A練習(xí)題：.2.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的分組及各組的頻數(shù)如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2. 則樣本在區(qū)間（－∞，50）上的頻率為（） A．0.5 B．0.7 C．0.25 D．0.05B.3.從高三學(xué)生中抽取50名同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，成績的分組及各組的頻數(shù)如下：（單位：分）[40，50)，2；[50，0)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100)，8；（1）列出樣本的頻率分布表(含累計(jì)頻率);（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)成績在[60，90)分的學(xué)生比例；（4）估