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會(huì)計(jì)學(xué)1北師大選修最大值最小值問(wèn)題張1.了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問(wèn)題.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)題型探究學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁(yè)/共34頁(yè)知識(shí)點(diǎn)生活中的數(shù)學(xué)建模1.生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題,這些問(wèn)題通常稱為

.2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是

.3.解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路是:?jiǎn)栴}導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)上述解決優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)典型的

過(guò)程.答案返回優(yōu)化問(wèn)題求函數(shù)最值數(shù)學(xué)建模第2頁(yè)/共34頁(yè)類型一面積、容積的最值問(wèn)題例1

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒,如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒,E,F(xiàn)在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn),設(shè)AE=FB=xcm.(1)若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,則x應(yīng)取何值?題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個(gè)個(gè)擊破解析答案第3頁(yè)/共34頁(yè)當(dāng)且僅當(dāng)x=30-x,即x=15時(shí),等號(hào)成立,所以若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大,則x=15.第4頁(yè)/共34頁(yè)(2)若廣告商要求包裝盒容積V(cm3)最大,則x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.令V′>0,得0<x<20;令V′<0,得20<x<30.解析答案反思與感悟第5頁(yè)/共34頁(yè)1.這類問(wèn)題一般用面積公式,體積公式等作等量關(guān)系,求解時(shí)應(yīng)選取合理的邊長(zhǎng)x作自變量,并利用題目中量與量之間的關(guān)系表示出其他有關(guān)邊長(zhǎng),這樣函數(shù)關(guān)系式就列出來(lái)了.2.這類問(wèn)題中,函數(shù)的定義域一般是保證各邊(或線段)為正,建立x的不等式(組)求定義域.反思與感悟第6頁(yè)/共34頁(yè)同步訓(xùn)練1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng).如圖,圓形廣場(chǎng)的圓心為O,半徑為100m,并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)M.點(diǎn)A為上半圓弧上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作l的垂線,垂足為點(diǎn)B.市園林局計(jì)劃在△ABM內(nèi)進(jìn)行綠化.設(shè)△ABM的面積為S(單位:m2),∠AON=θ(單位:弧度).(1)將S表示為θ的函數(shù);解析答案第7頁(yè)/共34頁(yè)解如圖,BM=AOsinθ=100sinθ,AB=MO+AOcosθ=100+100cosθ,第8頁(yè)/共34頁(yè)(2)當(dāng)綠化面積S最大時(shí),試確定點(diǎn)A的位置,并求最大面積.解S′=5000(2cos2

θ+cosθ-1)=5000(2cosθ-1)(cosθ+1).解析答案第9頁(yè)/共34頁(yè)類型二利潤(rùn)最大問(wèn)題(1)求年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;解析答案第10頁(yè)/共34頁(yè)第11頁(yè)/共34頁(yè)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大,并求出最大值.解析答案反思與感悟第12頁(yè)/共34頁(yè)且當(dāng)x∈(0,9)時(shí),W′>0,當(dāng)x∈(9,10)時(shí),W′<0.綜合①②知:當(dāng)x=9時(shí),W取得最大值38.6.故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí),該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為38.6萬(wàn)元.反思與感悟第13頁(yè)/共34頁(yè)解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題,應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件,建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系,常見(jiàn)的基本等量關(guān)系有:(1)利潤(rùn)=收入-成本;(2)利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的利潤(rùn)×銷售件數(shù).反思與感悟第14頁(yè)/共34頁(yè)

所以a=2.解析答案第15頁(yè)/共34頁(yè)(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定銷售價(jià)格x的值,使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.解析答案第16頁(yè)/共34頁(yè)從而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6).于是,當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:x(3,4)4(4,6)f′(x)+0-f(x)增加極大值42減少解析答案第17頁(yè)/共34頁(yè)由上表可得,x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).所以,當(dāng)x=4時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,且最大值等于42.答當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.第18頁(yè)/共34頁(yè)類型三費(fèi)用(用材)最省問(wèn)題例3

已知A、B兩地相距200km,一只船從A地逆水行駛到B地,水速為8km/h,船在靜水中的速度為vkm/h(8<v≤v0).若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比,當(dāng)v=12km/h時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元,為了使全程燃料費(fèi)最省,船的實(shí)際速度為多少?解析答案反思與感悟第19頁(yè)/共34頁(yè)解設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1,比例系數(shù)為k(k>0),則y1=kv2,當(dāng)v=12時(shí),y1=720,∴720=k·122,得k=5.令y′=0,得v=16,∴當(dāng)v0≥16,即v=16km/h時(shí)全程燃料費(fèi)最省,ymin=32000(元);解析答案反思與感悟第20頁(yè)/共34頁(yè)當(dāng)v0<16,即v∈(8,v0]時(shí),y′<0,即y在(8,v0]上為減函數(shù),綜上,當(dāng)v0≥16時(shí),v=16km/h全程燃料費(fèi)最省,為32000元;反思與感悟第21頁(yè)/共34頁(yè)1.用料最省、成本最低問(wèn)題是日常生活中常見(jiàn)的問(wèn)題之一,解決這類問(wèn)題要明確自變量的意義以及最值問(wèn)題所研究的對(duì)象.正確書(shū)寫(xiě)函數(shù)表達(dá)式,準(zhǔn)確求導(dǎo),結(jié)合實(shí)際作答.2.利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問(wèn)題,當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)=0時(shí),如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值,那么不與端點(diǎn)值比較,也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大(小)值.反思與感悟第22頁(yè)/共34頁(yè)解析答案同步訓(xùn)練:

3.方底無(wú)蓋水箱的容積為256,則最省材料時(shí),它的高為(

)A.4 B.6 C.4.5 D.8解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,高為h,A第23頁(yè)/共34頁(yè)1.某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬(wàn)元)是產(chǎn)品x(千臺(tái))的函數(shù),y1=17x2;生產(chǎn)總成本y2(萬(wàn)元)也是x的函數(shù),y2=2x3-x2(x>0),為使利潤(rùn)最大,應(yīng)生產(chǎn)(

)A.9千臺(tái)

B.8千臺(tái)

C.6千臺(tái)

D.3千臺(tái)1234解析答案解析構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)y=y(tǒng)1-y2=18x2-2x3(x>0),y′=36x-6x2,由y′=0得x=6(x=0舍去),x=6是函數(shù)y在(0,+∞)上唯一的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn).C本課練習(xí)第24頁(yè)/共34頁(yè)1234解析答案2.將一段長(zhǎng)100cm的鐵絲截成兩段,一段彎成正方形,一段彎成圓形,當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時(shí),圓的周長(zhǎng)為_(kāi)_______cm.第25頁(yè)/共34頁(yè)1234解析答案解析設(shè)彎成圓形的一段鐵絲長(zhǎng)為x,則另一段長(zhǎng)為100-x,設(shè)正方形與圓形的面積之和為S,第26頁(yè)/共34頁(yè)1234由于在(0,100)內(nèi),函數(shù)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),問(wèn)題中面積之和的最小值顯然存在,第27頁(yè)/共34頁(yè)規(guī)律與方法1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟:(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系,列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x);(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),解方程f′(x)=0;(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f′(x)=0的點(diǎn)的數(shù)值的大小,最大(小)者為最大(小)值.2.正確理解題意,建立數(shù)學(xué)模型,利用導(dǎo)數(shù)求解是解答應(yīng)用問(wèn)題的主要思路.另外需要特別注意:(1)合理選擇變量,正確寫(xiě)出函數(shù)解析式,給出函數(shù)定義域;(2)與實(shí)際問(wèn)題相聯(lián)系;(3)必要時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用.返回第28頁(yè)/共34頁(yè)1234解析答案練習(xí).某商品每件成本9元,售價(jià)30元,每星期賣出432件.如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品單價(jià)降低2元時(shí),每星期多賣出24件.(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)表示成x的函數(shù);第29頁(yè)/共34頁(yè)1234解設(shè)商品降價(jià)x元,則多賣的商品數(shù)為kx2,若記商品在一個(gè)星期的獲利為f(x),則有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2).由已知條件,得24=k×22,于是有k=6.所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21].第30頁(yè)/共34頁(yè)1234(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤(rùn)最大?解根據(jù)(1),f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:x[0,2)2(2,12)12(

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