大一高等數(shù)學(xué)微分方程習(xí)題

會(huì)計(jì)學(xué)1大一高等數(shù)學(xué)微分方程習(xí)題基本概念一階方程

類型1.直接積分法2.可分離變量3.齊次方程4.可化為齊次方程5.全微分方程6.線性方程7.伯努利方程可降階方程線性方程解的結(jié)構(gòu)定理1;定理2定理3;定理4歐拉方程二階常系數(shù)線性方程解的結(jié)構(gòu)特征方程的根及其對(duì)應(yīng)項(xiàng)f(x)的形式及其特解形式高階方程待定系數(shù)法特征方程法一、主要內(nèi)容第1頁/共59頁微分方程解題思路一階方程高階方程分離變量法全微分方程常數(shù)變易法特征方程法待定系數(shù)法非全微分方程非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法降階作變換作變換積分因子第2頁/共59頁1、基本概念微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程．微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階．微分方程的解代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解．第3頁/共59頁通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解叫做微分方程的通解．特解

確定了通解中的任意常數(shù)以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始條件用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題求微分方程滿足初始條件的解的問題，叫初值問題．第4頁/共59頁(1)可分離變量的微分方程解法分離變量法2、一階微分方程的解法(2)齊次方程解法作變量代換第5頁/共59頁齊次方程．（其中h和k是待定的常數(shù)）否則為非齊次方程．(3)可化為齊次的方程解法化為齊次方程．第6頁/共59頁(4)一階線性微分方程上方程稱為齊次的．上方程稱為非齊次的.齊次方程的通解為（使用分離變量法）解法第7頁/共59頁非齊次微分方程的通解為（常數(shù)變易法）(5)伯努利(Bernoulli)方程方程為線性微分方程.

方程為非線性微分方程.第8頁/共59頁解法需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程．其中形如(6)全微分方程第9頁/共59頁注意：解法應(yīng)用曲線積分與路徑無關(guān).用直接湊全微分的方法.通解為第10頁/共59頁(7)可化為全微分方程形如第11頁/共59頁公式法:觀察法:熟記常見函數(shù)的全微分表達(dá)式，通過觀察直接找出積分因子．第12頁/共59頁常見的全微分表達(dá)式可選用積分因子第13頁/共59頁3、可降階的高階微分方程的解法解法特點(diǎn)

型接連積分n次，得通解．

型解法代入原方程,得第14頁/共59頁特點(diǎn)

型解法代入原方程,得４、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（1）二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):第15頁/共59頁（2）二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):第16頁/共59頁第17頁/共59頁５、二階常系數(shù)齊次線性方程解法n階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程解法由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.第18頁/共59頁特征方程為第19頁/共59頁特征方程為特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)推廣：

階常系數(shù)齊次線性方程解法第20頁/共59頁６、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解法二階常系數(shù)非齊次線性方程解法

待定系數(shù)法.第21頁/共59頁第22頁/共59頁7、歐拉方程

歐拉方程是特殊的變系數(shù)方程，通過變量代換可化為常系數(shù)微分方程.的方程(其中形如叫歐拉方程.為常數(shù))，第23頁/共59頁

當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí),常用冪級(jí)數(shù)解法.8、冪級(jí)數(shù)解法第24頁/共59頁二、典型例題例1解原方程可化為第25頁/共59頁代入原方程得分離變量兩邊積分所求通解為第26頁/共59頁例2解原式可化為原式變?yōu)閷?duì)應(yīng)齊方通解為一階線性非齊方程伯努利方程第27頁/共59頁代入非齊方程得原方程的通解為利用常數(shù)變易法第28頁/共59頁例3解方程為全微分方程.第29頁/共59頁(1)利用原函數(shù)法求解:故方程的通解為第30頁/共59頁(2)利用分項(xiàng)組合法求解:原方程重新組合為故方程的通解為第31頁/共59頁(3)利用曲線積分求解:故方程的通解為第32頁/共59頁例4解非全微分方程.利用積分因子法:原方程重新組合為第33頁/共59頁故方程的通解為第34頁/共59頁例5解代入方程，得故方程的通解為第35頁/共59頁例6解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為設(shè)原方程的特解為第36頁/共59頁原方程的一個(gè)特解為故原方程的通解為第37頁/共59頁由解得所以原方程滿足初始條件的特解為第38頁/共59頁例７解特征方程特征根對(duì)應(yīng)的齊方的通解為設(shè)原方程的特解為第39頁/共59頁由解得第40頁/共59頁故原方程的通解為由即第41頁/共59頁例８解（１）由題設(shè)可得：解此方程組，得第42頁/共59頁（２）原方程為由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為第43頁/共59頁解例９這是一個(gè)歐拉方程．代入原方程得(1)第44頁/共59頁和(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程為(2)(2)的特征方程為特征根為(2)的通解為設(shè)(1)的特解為第45頁/共59頁得(1)的通解為故原方程的通解為第46頁/共59頁解例10則由牛頓第二定律得第47頁/共59頁解此方程得