奧林匹克物理競賽之力學(xué)解題方法

會計學(xué)1奧林匹克物理競賽之力學(xué)解題方法整體法隔離法等效法對稱法圖像法類比法遞推法微元法極限法第1頁/共138頁一、整體法1．方法簡介:從整體或全過程去把握物理現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律的方法。層次深、理論性強，運用價值高。變繁為簡、變難為易。2．賽題精講例1．如圖所示，人和車的質(zhì)量分別為m和M，人用水平力F拉繩子，圖中兩端繩子均處于水平方向，不計滑輪質(zhì)量及摩擦，若人和車保持相對靜止，且水平地面是光滑的，則車的加速度為多少？點評：五說題意第2頁/共138頁例2.用輕質(zhì)細(xì)線把兩個質(zhì)量未知的小球懸掛起來，如圖所示，今對小球a持續(xù)施加一個向左偏下30°的恒力，并對小球b持續(xù)施加一個向右偏上30°的同樣大小的恒力，最后達(dá)到平衡，表示平衡狀態(tài)的圖可能是

點評：力偶、力偶臂、力偶矩第3頁/共138頁例3．有一個直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB豎直向下，表面光滑，OA上套有小環(huán)P，OB上套有小環(huán)Q，兩個環(huán)的質(zhì)量均為m，兩環(huán)間由一根質(zhì)量可忽略、不何伸長的細(xì)繩相連，并在某一位置平衡，如圖所示?，F(xiàn)將P環(huán)向左移動一段距離，兩環(huán)再次達(dá)到平衡，那么將移動后的平衡狀態(tài)和原來的平衡狀態(tài)相比，OA桿對P環(huán)的支持力N和細(xì)繩上的拉力T的變化情況是A．N不變，T變大 B．N不變，T變小C．N變大，T變小 D．N變大，T變大點評：第4頁/共138頁例4.如圖所示，質(zhì)量為M的劈塊，其左右劈面的傾角分別為θ1=300，θ2=450，質(zhì)量分別為m1=kg和m2=2.0kg的兩物塊，同時分別從左右劈面的頂端從靜止開始下滑，劈塊始終與水平面保持相對靜止，各相互接觸面之間的動摩擦因數(shù)均為μ=0.20，求兩物塊下滑過程中(m1和m2均未達(dá)到底端)劈塊受到地面的摩擦力。（g=10m/s2）點評：

相同時間內(nèi)，M保持靜止、m1和m2分別以不同的加速度下滑，將三個過程視為一個整體過程來研究。答案：劈塊受到地面的摩擦力的大小為2.3N，方向水平向右。第5頁/共138頁例5．如圖所示，質(zhì)量為M的平板小車放在傾角為θ的光滑斜面上（斜面固定），一質(zhì)量為m的人在車上沿平板向下運動時，車恰好靜止，求人的加速度。點評：以車和人組成的系統(tǒng)為研究對象，進(jìn)行受力分析和運動狀態(tài)分析，應(yīng)用牛頓第二定律列方程求解。第6頁/共138頁例6．如圖所示，質(zhì)量M=10kg的木塊ABC靜置于粗糙的水平地面上，滑動摩擦因數(shù)μ=0.02，在木塊的傾角θ為30°的斜面上，有一質(zhì)量m=1.0kg的物塊靜止開始沿斜面下滑，當(dāng)滑行路程s=1.4m時，其速度v=1.4m/s，在這個過程中木塊沒有動，求地面對木塊的摩擦力的大小和方向。（重力加速度取g=10/s2）0.61N，方向水平向左。第7頁/共138頁例7.有一輕質(zhì)木板AB長為L，A端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端用水平輕繩CB拉住。板上依次放著A、B、C三個圓柱體，半徑均為r，重均為G，木板與墻的夾角為θ，如圖所示，不計一切摩擦，求BC繩上的張力。點評：1.以誰為研究對象?2.如何計算A、B、C圓柱體對AB板的壓力？3.如何求力臂？第8頁/共138頁以AB板為研究對象，力矩平衡將ABC三個圓柱體看成一個整體，進(jìn)行受力分析“三力平衡匯交原理”？以AB板的A端為矩心，F(xiàn)的力臂為：力矩平衡第9頁/共138頁例8．質(zhì)量為1.0kg的小球從高20m處自由下落到軟墊上，反彈后上升的最大高度為5.0m，小球與軟墊接觸的時間為1.0s，在接觸時間內(nèi)小球受合力的沖量大小為（空氣阻力不計，取g=10m/s2） （）A．10N·s B．20N·s C．30N·s D．40N·s點評：將三個階段作為一個整體來研究取豎直向上為正方向第10頁/共138頁例9．總質(zhì)量為M的列車以勻速率v0在平直軌道上行駛，各車廂受的阻力都是車重的k倍，而與車速無關(guān)。某時刻列車后部質(zhì)量為m的車廂脫鉤，而機車的牽引力不變，則脫鉤的車廂剛停下的瞬間，前面列車的速度是多少？方法一：隔離法對M對M-m①②對m③又④⑤方法二：整體法第11頁/共138頁例10．總質(zhì)量為M的列車沿水平直軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m，中途脫鉤，司機發(fā)覺時，機車已走了距離L，于是立即關(guān)閉油門，撤去牽引力，設(shè)運動中阻力與質(zhì)量成正比，機車的牽引力是恒定的，求當(dāng)列車兩部分都靜止時，它們的距離是多少？方法一：對M設(shè)牽引力為F，初速度為v0對M-m關(guān)閉油門前關(guān)閉油門后對m第12頁/共138頁方法二：以整體為研究對象

若末節(jié)車廂剛脫鉤時，機車就撤去牽引力，則它們之間無位移差。

事實上機車多走了距離L才關(guān)閉油門，相應(yīng)的牽引力對機車多做了FL的功。牽引力對機車多做的功FL都干什么了？第13頁/共138頁例11．如圖所示，細(xì)繩繞過兩個定滑輪A和B，在兩端各掛一個重為P的物體，現(xiàn)在A、B的中點C處掛一個重為Q的小球，Q<2P，求小球可能下降的最大距離h。已知AB的長為2L，不計滑輪和繩之間的摩擦力及繩的質(zhì)量。解析：以整體為研究對象小球下降的最大距離h，則P上升的最大高度為由機械能守恒定律有：第14頁/共138頁二、隔離法１．方法簡介：化大為小，復(fù)雜問題簡單化２．賽題精講例1．如圖所示，已知物塊A、B的質(zhì)量分別為m1、m2，A、B間的摩擦因數(shù)為μ1，A與地面之間的摩擦因數(shù)為μ2，在水平力F的推動下，要使A、B一起運動而B不至下滑，力F至少為多大？點評１．B不下滑的條件—隔離法２．AB一起加速運動—整體法對整體對B第15頁/共138頁例2．如圖所示，用輕質(zhì)細(xì)繩連接的A和B兩個物體，沿著傾角為α的斜面勻速下滑，問A與B之間的細(xì)繩上有彈力嗎？解析：設(shè)細(xì)繩上有彈力T若T＝０，則由繩的彈力的特點得繩上才有彈力。第16頁/共138頁變形練習(xí)１．其他條件不變，將輕質(zhì)繩換成輕質(zhì)桿。２．將A、B“勻速下滑”改為“下滑”，再分輕質(zhì)繩和輕質(zhì)桿兩種情況討論。第17頁/共138頁例3．如圖所示，物體系由A、B、C三個物體構(gòu)成，質(zhì)量分別為mA、mB、mC。用一水平力F作用在小車C上，小車C在F的作用下運動時能使物體A和B相對于小車C處于靜止?fàn)顟B(tài)。求連接A和B的不可伸長的線的張力T和力F的大小。（一切摩擦和繩、滑輪的質(zhì)量都不計）第18頁/共138頁例4．一帶有滑輪的梯形木塊A置于光滑水平面上，傾斜面的傾角為，木塊A上的物體B用繞過滑輪的輕繩與物體C相連，用一水平向左的拉力F作用在物體B上，恰使A、B、C保持相對靜止。如圖，已知物體A、B、C的質(zhì)量均為m，重力加速度為g，不計一切摩擦，試求拉力F？并討論為何值時F可有最大值？最大值為多少？解析：對整體對B對C求極值得？第19頁/共138頁例5．如圖所示，AO是質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，可繞O軸在豎直平面內(nèi)自動轉(zhuǎn)動。細(xì)桿上的P點與放在水平桌面上的圓柱體接觸，圓柱體靠在豎直的擋板上而保持平衡，已知桿的傾角為θ，AP長度是桿長的1/4，各處的摩擦都不計，求擋板對圓柱體的作用力的大小。點評：對細(xì)桿，隔離法，力矩平衡對圓柱體，隔離法，共點力平衡第20頁/共138頁例６.在光滑水平面上有質(zhì)量均為m=150g的四個球A、B、C、D，其間以質(zhì)量不計、不可伸長的1、2、3三條細(xì)線相連。最初，細(xì)線剛好張直，如圖所示，其中∠ABC=∠BCD=1200。今對A球施以一個沿BA方向的瞬時沖量I=4.2Ns后，四球同時開始運動，試求開始運動時球C的速度。點評：1.每條線的張力對其兩端的球的沖量關(guān)系2.每條線兩端球的速度大小關(guān)系3.動量定理在二維空間的應(yīng)用第21頁/共138頁解析：設(shè)在外力沖量I作用的瞬時，三條細(xì)線內(nèi)出現(xiàn)的張力對其兩端球的作用的沖量大小分別為I1、I2、I3，又設(shè)運動后小球D的速度大小為v，顯然其方向應(yīng)沿著D指向C的方向，由動量定理有：則C球運動的速度沿DC方向的分量也為v（？）以C球為研究對象，設(shè)其沿CB方向的速度分量為vC2，由動量定理有：聯(lián)立以上三式得：第22頁/共138頁則B球速度沿CB方向的分量也為7v/2。以B球為研究對象，由動量定理有得設(shè)B球速度沿BA方向的分量為vB1，以B球為研究對象，由動量定理有：得則A球沿BA方向的速度大小也是13v，以A為研究對象，由動量定理有：得代數(shù)求解得：再以C球為研究對象，設(shè)其瞬間速度大小為vC，其受到的總沖量為IC，由矢量關(guān)系可知：所以有：第23頁/共138頁令C球的速度方向與CB方向的夾角為α，則有：第24頁/共138頁三．等效法2．賽題精講例1.如圖所示，水平面上，有兩個豎直的光滑墻壁A和B，相距為d，一個小球以初速度v0從兩墻之間的O點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點，求小球的拋射角θ。1．方法簡介將一個情境等效為另一個情境將一個過程等效為另一過程將一個模型等效為另一個模型將一個物理量的計算等效為另一個物理量的計算第25頁/共138頁例2．質(zhì)點由A向B做直線運動，A、B間的距離為L，已知質(zhì)點在A點的速度為v0，加速度為a，如果將L分成相等的n段，質(zhì)點每通過L/n的距離加速度均增加a/n，求質(zhì)點到達(dá)B時的速度。點評：將非勻變速直線運動等效為勻變速直線運動。第26頁/共138頁方法二第27頁/共138頁例3．一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=？點評：模型二：彈簧彈力與形變量成正比此題還有其他解法，詳見圖像法和類比法。模型一：汽車以恒定功率行駛時，其速度v與牽引力F成反比

將老鼠的運動等效為在外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運動

第28頁/共138頁例4．如圖所示，小球從長為L的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時與擋板碰撞并反向彈回，若每次與擋板碰撞后的速度大小為碰撞前速度大小的4/5，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時，小球總共通過的路程。解析：將碰撞所損失的動能等效為克服摩擦力所做的功，計算等效摩擦力設(shè)第一次碰撞前后速度v、v1，第一次碰撞后上升距離為L1碰撞中損失的動能等效摩擦力第29頁/共138頁點評：1.幾類典型的等效（1）結(jié)果的等效——等效法的前提條件（2）過程的等效——將一個物理過程等效為另一物理過程（3）情境的等效——將一個物理情境等效為另一物理情境（4）模型的等效——將一個模型等效為另一個模型（5）物理量的等效——由已知的物理量等效出其他的物理量第30頁/共138頁2.摩擦力做功的特點（1）靜摩擦力可以做正功、負(fù)功和零功；（2）動摩擦力可以做正功、負(fù)功和零功；（3）摩擦力做功的大小與位移無關(guān)，而是等于摩擦力與路程的乘積；（4）一對相互作用的滑動摩擦力總是做負(fù)功，大小為摩擦力與相對路程的乘積；（5）摩擦生熱；（6）物體沿斜面下滑，物體克服摩擦力所做的功與斜長、斜高及斜面傾角無關(guān)；3.多次相互作用的問題的一般解題思路和方法詳見遞推法第31頁/共138頁例5．如圖所示，用兩根等長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個小球，設(shè)L和α已知，當(dāng)小球垂直于紙面做簡諧運動時，求其周期為多少？雙線擺，怎樣等效？第32頁/共138頁例6．如圖所示，由一根長為L的剛性輕桿和桿端的小球組成的單擺做振幅很小的自由振動。如果桿上的中點固定另一個相同的小球，使單擺變成一個異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動周期。怎樣等效？解析：將此異形復(fù)擺等效為一周期相同的單擺，設(shè)該單擺的擺長為L0由機械能守恒定律有第33頁/共138頁例7.如圖所示，固定的光滑水平絕緣軌道與豎直放置的光滑絕緣的圓形軌道平滑連接，圓形軌道處于水平向右的勻強電場中，圓形軌道的最低點有A、B、C、D四個小球，已知，A球帶正電，電量為q，其余小球均不帶電．電場強度，圓形軌道半徑為R=0.2m．小球C、D與處于原長的輕彈簧2連接，小球A、B中間壓縮一輕且短的彈簧，輕彈簧與A、B均不連接，由靜止釋放A、B后，A恰能做完整的圓周運動．B被彈開后與C小球碰撞且粘連在一起，設(shè)碰撞時間極短．g取10m/s2，求：(1)A球剛離開彈簧時，速度為多少？(2)彈簧2最大彈性勢能．EORBACD21第34頁/共138頁點評：1.“最高點”的確定2.機械能守恒嗎？3.彈簧彈性勢能最大的理解（1）（2）第35頁/共138頁例8．如圖所示，空間直角坐標(biāo)系原點O處有一正點電荷Q，A為一無限大接地平板，到Q的距離為d，試計算點P（x,y,z）處的場強大小。解析：設(shè)在x軸上距離原點為2d處放置一負(fù)點電荷-Q則P點的場強計算等效為兩點電荷場強在該點的疊加。點評：六大電場的電場線分布圖第36頁/共138頁四、對稱法1．方法簡介：避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)演算和推導(dǎo)，直接抓住問題的實質(zhì)，出奇制勝，快速簡便地求解問題。2．賽題精講例1．沿水平方向向一堵豎直光滑的墻壁拋出一個彈性小球A，拋出點離水平地面的高度為h，距離墻壁的水平距離為s。小球與墻壁發(fā)生彈性碰撞后，落在水平地面上，落地點距墻壁的水平距離為2s，如圖所示。求小球拋出時的初速度。第37頁/共138頁點評：第38頁/共138頁例2.如圖所示，水平面上，有兩個豎直的光滑墻壁A和B，相距為d，一個小球以初速度v0從兩墻之間的O點斜向上拋出，與A和B各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋出點，求小球的拋射角θ。第39頁/共138頁例3．A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析：根據(jù)對稱性，三只獵犬最后相交于三角形的中心點，在追捕過程中，三只獵犬的位置構(gòu)成三角形的形狀不變，可認(rèn)為三角形不轉(zhuǎn)動，而是三個頂點向中心靠近，所以只要求出頂點到中心運動的時間即可。此題還可以用遞推法求解，見后。第40頁/共138頁例4．如圖所示，兩個同心圓代表一個圓形槽，質(zhì)量為m，內(nèi)外半徑幾乎同為R。槽內(nèi)A、B兩處分別放有一個質(zhì)量也為m的小球，AB間的距離為槽的直徑。不計一切摩擦?，F(xiàn)將系統(tǒng)置于光滑水平面上，開始時槽靜止，兩小球具有垂直于AB方向的速度v，試求兩小球第一次相距R時，槽中心的速度v0。解析：以槽中心為坐標(biāo)原點，建立圖示直角坐標(biāo)系設(shè)槽中心沿x軸正方向運動的速度變?yōu)関0

，兩小球相對槽心做角速度大小為ω的圓周運動

A球：系統(tǒng)在x軸方向上動量守恒、機械能也守恒

當(dāng)兩球間距離為R時，

第41頁/共138頁例5．用一輕質(zhì)彈簧把兩塊質(zhì)量各為M和m的木板連接起來，放在水平上，如圖所示，問必須在上面木板上施加多大的壓力F，才能使撤去此力后，上板跳起來恰好使下板離地？用彈簧形變的“對稱性”求解點評：若用拉力F作用在m上，欲使M離地，拉力F至少應(yīng)為

根據(jù)彈簧的拉伸和壓縮過程具有的對稱性，故要產(chǎn)生上述效果，作用在m上的向下的壓力應(yīng)為

第42頁/共138頁方法二：機械能守恒方法第43頁/共138頁例6．如圖所示，OABC是一張水平放置的桌球臺面，取OA為x軸，OC為y軸，P是紅球，坐標(biāo)為（x，y），Q是白球，坐標(biāo)為（x1，y1）（圖中未畫出）。已知OA=BC=25dm，AB=OC=12dm。若P球的坐標(biāo)為：x=10dm，y=8dm處，問Q球的位置在什么范圍內(nèi)時，可使擊出的Q球順次與AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？第44頁/共138頁點評：1.鏡像坐標(biāo)的確定P1（10，－8），P2（－10，－8），P3（－10，32），P4（60，32）設(shè)Q點的坐標(biāo)為直線QP4的方程為D點在此直線上

2.簡析第45頁/共138頁直線DP3的方程為(?)E點在此直線上，YE=12

直線EP2的方程為

F點在此直線上,XF=0

直線FP1的方程為

G點在此直線上，YG=0

第46頁/共138頁反彈點位于相應(yīng)臺壁上的條件為作直線：結(jié)論：若Q球位于下方的三角形D0AH0內(nèi)，即可同時滿足上兩式的條件，瞄準(zhǔn)P4擊出，可按題目要求次序反彈后擊中P球，三角形D0AH0三個頂點的坐標(biāo)如圖所示。第47頁/共138頁五、圖像法

1．方法簡介：直觀、形象、簡明。2．賽題精講例1．一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。AB兩地相距s，火車做加速運動時，其加速度最大為a1，做減速運動時，其加速度的絕對值最大為a2，由此可以判斷出該火車由A到B所需的最短時間為多少？第48頁/共138頁點評：典型的直線運動模型物體從靜止出發(fā)做勻加速直線運動，到達(dá)某一地點或某一時刻突然改為勻減速直線運動直到靜止。第49頁/共138頁例2.如圖所示，平板A長為L=5m，質(zhì)量M=5kg，放在水平桌面上，板右端與桌邊相齊。在A上距右端s=3m處放一物體B（可以看成質(zhì)點），其質(zhì)量m=2kg。已知A、B間的動摩擦因數(shù)μ1=0.1，A與桌面間和B與桌面間的動摩擦因數(shù)都是μ2=0.2，原來系統(tǒng)靜止。現(xiàn)在在板的右端施一大小一定的水平力F，作用一段時間后，將A從B下抽出，且使B最后恰停于桌的右側(cè)邊緣。取g=10m/s2，求：（1）力F的大小為多少？（2）力F的最短作用時間為多少？第50頁/共138頁解析：（1）如圖所示，設(shè)B在C點處與A脫離，則B的運動顯然為先勻加后勻減，初速度和末速度均為零。以B為研究對象，設(shè)其加速階段的加速度、時間和位移分別為a1、t1和s1，減速階段分別為a2、t2和s2，最大速度為V①②③④⑤⑥聯(lián)立以上六式求解得：第51頁/共138頁以A為研究對象，設(shè)t1時間內(nèi)，其位移為S，加速度為a聯(lián)立以上各式代數(shù)求解得：F=26N第52頁/共138頁（2）由于B的運動的限制，A必須在C處與B脫離，且A的速度應(yīng)不小于V（2m/s）設(shè)以外力F’拉板A，作用時間T后即撤去此外力而使得A的運動滿足上述條件（請同學(xué)們描述A的運動情況）；設(shè)其加速階段的加速度a’1

、末速度為V’，減速階段的加速度為a’2，加速時間為T，則減速時間為t1-T聯(lián)立以上三式求解得：第53頁/共138頁取T=1.5s，則V’=3.52m/s，此時在力F’的作用下，A的加速度為綜上所述，本題的答案為：力F的大?。毫的最短作用時間為1.5s第54頁/共138頁例3.甲乙兩車在公路上沿同一方向做直線運動，它們的v-t圖像如圖所示。兩圖像在t=t1時相交于P點，P在橫軸上的投影為Q，△OPQ的面積為S。在t=0時刻，乙車在甲車前面，相距為d。已知此后兩車相遇兩次，且第一次相遇的時刻為t′，則下面四組t′和d的組合可能是

第55頁/共138頁例4.一物體做加速直線運動，依次通過A、B、C三點，AB=BC。物體在AB段加速度為a1，在BC段加速度為a2，且物體在B點的速度為，則A．a(chǎn)1>a2B．a(chǎn)1=a2

C．a(chǎn)1<a2D．不能確定第56頁/共138頁tvVAVCVB①②③0第57頁/共138頁例5．一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=?提示：以距離s為橫軸，1/v為縱軸，建立直角坐標(biāo)系第58頁/共138頁例6.現(xiàn)有一質(zhì)量分布均勻的直桿，繞通過垂直于直桿的水平轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動可以構(gòu)成一個復(fù)擺。復(fù)擺的周期為，其中m為直桿的質(zhì)量，g為重力加速度，h為轉(zhuǎn)軸到直桿質(zhì)量中心的距離，I為復(fù)擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。按照力學(xué)原理，復(fù)擺對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量可以表示為，其中k為直桿繞通過質(zhì)量中心且垂直于直桿的水平轉(zhuǎn)軸的回轉(zhuǎn)半徑。下表為實驗中測量的一組(h,k)值，請用圖像法求細(xì)桿的k的取值和實驗室當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?.561.511.501.531.541.590.200.250.300.350.400.45第59頁/共138頁解：由

用表中數(shù)據(jù)在方格坐標(biāo)紙上作圖，描出實驗數(shù)據(jù)（黑點）（2分），畫出擬合直線（1分）；找出兩個擬合直線上的點（0.05，0.53），(0.19，1.09)（兩個“”，盡量取為某一格上的點）（1分）。求斜率得2分第60頁/共138頁1分所以重力加速度為

1分?jǐn)M合直線在軸上的截距為1分則回轉(zhuǎn)半徑為1分第61頁/共138頁六、類比法1.方法簡介：根據(jù)兩個研究對象或兩個系統(tǒng)在某些屬性上類似而推出其他屬性也類似的思維方法，是一種由個別到個別的推理形式。2.賽題精講例1．如圖所示，AOB是一內(nèi)表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（圖中紙面）上，夾角α=10。現(xiàn)將一質(zhì)點在BOA面內(nèi)從A處以速度v=5m/s射出，其方向與AO間的夾角θ=600，OA=10m。設(shè)質(zhì)點與桌面間的摩擦可忽略不計，質(zhì)點與OB面及OA面的碰撞都是彈性碰撞，且每次碰撞時間極短，可忽略不計，試求：（1）經(jīng)過幾次碰撞質(zhì)點又回到A處與OA相碰？（計算次數(shù)時包括在A處的碰撞）（2）共用多少時間？第62頁/共138頁解析：（1）第一次碰撞入射角（與光的反射類比）第二次碰撞入射角

因此每碰一次，入射角要減少1°，即入射角為29°、28°、…、0°，當(dāng)入射角為0°時，質(zhì)點碰后沿原路返回。包括最后在A處的碰撞在內(nèi)，往返總共60次碰撞。（2）

從O依次作出與OB邊成1°、2°、3°、……的射線，從對稱規(guī)律可推知，在AB的延長線上BC′、C′D′、D′E′、……分別和BC、CD、DE、……相等，它們和各射線的夾角即為各次碰撞的入射角與直角之和.碰撞入射角為0°時，即夾角為90°時開始返回。故質(zhì)點運動的總路程為一銳角為60°的Rt△AMO的較小直角邊AM的二倍。第63頁/共138頁例2．類比法是學(xué)習(xí)和研究物理常用的重要思想方法，是根據(jù)兩個研究對象或兩個系統(tǒng)在某些屬性上的類似，而推出其他屬性也類似的思維方法。某同學(xué)在學(xué)習(xí)和研究電阻與電容時有如下兩個猜想與假設(shè)：第一，電阻的定義式為R=U/I，電容器電容的定義式為C=Q/U，顯然兩式中U相同，Q與I可以類比?？煞駷殡娙萜饕胍粋€新的物理量，定義為C’=1/C=U/Q，這樣C’就可以與R類比？第二，下圖中圖a是一無限多電阻連成的網(wǎng)絡(luò)，每個電阻的阻值均為R，通過分析和計算該同學(xué)得到A、B兩點間的總電阻為。下圖中圖b為一無限多電容器連成的網(wǎng)絡(luò)，若其中每個電容器的電容均為C，則此網(wǎng)絡(luò)A、B間的等效電容CAB的表達(dá)式是怎樣的呢？下面是該同學(xué)給出的四個可能的表達(dá)式，也許計算過程你不會，但按照該同學(xué)的思路進(jìn)行類比分析，你應(yīng)該能對下面的四個表達(dá)式做出正確的判斷。第64頁/共138頁第65頁/共138頁例3．一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，問當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達(dá)B點所用的時間t=?解析：由速度的定義式有：初速度為零的勻加速直線運動如何類比？螞蟻問題中的t和L分別類比為初速為零的勻加速直線運動中的s和t.而1/k相當(dāng)于加速度a。

第66頁/共138頁例4．有一個很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成15°角，速度為2.5km/h。同時岸上一人從停放點起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為4.0km/h，在水中游的速度為2.0km/h，問此人能否追及小船？點評：光的折射定律與全反射費馬原理：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此可以證明，光在平面分界面上的折射是以時間為極小值的路程傳播。此題通過類比可轉(zhuǎn)化為光的折射問題求解！如圖所示，船沿OP方向被刮跑，設(shè)人從O點出發(fā)先沿湖岸跑，在A點入水游到OP的B點，如果符合光的折射定律，則所用時間最短。第67頁/共138頁

在這最短時間內(nèi)，若船還未到達(dá)B點，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過了B點，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B點所對應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速vm。根據(jù)正弦定理

又小船實際速度只有2.5km/h，所以人能追上小船。第68頁/共138頁七．遞推法2．賽題精講例1．質(zhì)點以加速度a從靜止出發(fā)做直線運動，在某時刻t，加速度變?yōu)?a；在時刻2t，加速度變?yōu)?a；…；在nt時刻，加速度變?yōu)椋╪+1）a，求：（1）nt時刻質(zhì)點的速度；（2）nt時間內(nèi)通過的總路程。1．方法簡介：數(shù)學(xué)歸納，求出通項或通式點評：1.質(zhì)點的運動特點？2.幾個特殊的數(shù)列求和？第69頁/共138頁簡析：（1）……第70頁/共138頁（2）……友情提示：第71頁/共138頁例2．小球從高h(yuǎn)0=180m處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小1/n(n=2)，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時間和通過的總路程.（不考慮空氣阻力，g取10m/s2）點評：1.每次起跳速度…2.每次起跳高度…第72頁/共138頁通過的總路程

經(jīng)過的總時間

第73頁/共138頁例3．A、B、C三只獵犬站立的位置構(gòu)成一個邊長為a的正三角形，每只獵犬追捕獵物的速度均為v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，為追捕到獵物，獵犬不斷調(diào)整方向，速度方向始終“盯”住對方，它們同時起動，經(jīng)多長時間可捕捉到獵物？解析：設(shè)在一個極短的時間Δt內(nèi)，獵犬做直線運動，正三角形邊長依次變?yōu)閍1、a2、a3、…、an。第74頁/共138頁例4.一列重載列車靜止在站臺上，車頭與各節(jié)車廂的質(zhì)量相等，均為m。若一次直接起動，車頭的牽引力能帶動30節(jié)車廂，那么，利用倒退起動，該車頭能起動多少節(jié)同樣質(zhì)量的車廂？解析：設(shè)列車車頭牽引力為F，依題意有設(shè)倒退后掛鉤間存在△s的寬松距離，則

車頭起動時

拉第一節(jié)車廂時

拉第二節(jié)車廂時

第75頁/共138頁例5．有n塊質(zhì)量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來，如圖所示，人至少做多少功？第76頁/共138頁例6．如圖所示，有六個完全相同的長條薄片AiBi(i=1、2、…、6）依次架在水平碗口上，一端擱在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不計薄片的質(zhì)量）。將質(zhì)量為m的質(zhì)點置于A1A6的中點處，試求：A1B1薄片對A6B6的壓力。解析：以第i個薄片AB為研究對象，受力情況如圖所示。（i<6）再以A6B6為研究對象，受力情況如圖所示。

第77頁/共138頁例7．用20塊質(zhì)量均勻分布的相同光滑積木，在光滑水平面上一塊疊一塊地搭成單孔橋，已知每一積木長度為L，橫截面是邊長為h(h=L/4)的正方形，要求此橋具有最大的跨度（即橋孔底寬），計算跨度與橋孔高度的比值。解析：將從上到下的積木塊依次計為1、2、…、n，顯然第1塊相對第2塊的最大伸出量為:第2塊相對第3塊的最大伸出量

同理：總跨度：跨度與橋孔高的比值為

？第78頁/共138頁例8．如圖所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側(cè)的人的序號都記為n(n=1,2,3,…）。每人只有一個沙袋，x>0一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量為m=14kg，x<0一側(cè)的每個沙袋質(zhì)量m’=10kg。一質(zhì)量為M=48kg的小車以某初速度v0從原點出發(fā)向正x軸方向滑行，不計軌道阻力。當(dāng)車每經(jīng)過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度v朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，v的大小等于扔此袋之前的瞬間車速大小的2n倍。（n是此人的序號數(shù)）（1）空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？（2）車上最終有大小沙袋共多少個？第79頁/共138頁解析：（1）小車經(jīng)過第一個人身旁時當(dāng)小車運動到第2人身旁時

設(shè)第n個沙袋拋上車后的車速為vn

同理若拋上（n+1）包沙袋后車反向運動，則應(yīng)有

解不等式組所以，空車出發(fā)后，車上堆積了3個沙袋時，車就反向滑行第80頁/共138頁（2）當(dāng)車反向滑行時，根據(jù)上面同樣推理可知，當(dāng)車向左運動到第n個人身旁時

同理設(shè)拋上n+1個沙袋后車速反向，則有

即即拋上第8個沙袋后車就停止，所以車上最終有11個沙袋第81頁/共138頁例9．如圖所示，一固定的斜面，傾角θ=450，斜面長L=2.00米，在斜面下端有一與斜面垂直的擋板。一質(zhì)量為m的質(zhì)點，從斜面的最高點沿斜面下滑，初速度為零，下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞。已知質(zhì)點與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.20，試求此質(zhì)點從開始到發(fā)生第11次碰撞的過程中運動的總路程。解析：設(shè)第i次開始下滑時，小球距檔板為si,由此可見每次碰撞前后通過的路程是一等比數(shù)列，其公比為2/3

所以：第82頁/共138頁例10．如圖所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著三個大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1、m2和m3，m2=m3=2m1。小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計。開始時，三球處在槽中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，彼此間距離相等，m2和m3靜止，m1以初速沿槽運動，R為圓環(huán)的內(nèi)半徑和小球半徑之和，設(shè)各球之間的碰撞皆為彈性碰撞，求此系統(tǒng)的運動周期T。點評一：彈性碰撞點評二：情境分析第83頁/共138頁第84頁/共138頁m1與m2彈性碰撞

解析：同理，m2與m3彈性碰撞

m3與m1彈性碰撞

如圖所示，設(shè)從球1運動開始到1與球2碰撞所用時間為t1，球2被碰后到球3與球1碰撞所用時間為t2，碰后球1到達(dá)球2初始位置所用時間為t3第85頁/共138頁例11．有許多質(zhì)量為m的木塊相互靠著沿一直線排列于光滑的水平面上，每相鄰的兩個木塊均用長為L的柔繩連接著，現(xiàn)用大小為F的恒力沿排列方向拉第一個木塊，以后各木塊依次被牽而運動，求第n個木塊被牽動時的速度。錯解分析：解析：

設(shè)第（n-1）個木塊被拉動時的速度為vn-1，它即將拉動下一木塊時的速度為增加為v’n-1，則由動能定理有：①繩子拉動第n個木塊，由動量守恒定律有②第86頁/共138頁當(dāng)n=2時

當(dāng)n=3時

當(dāng)n=4時

…所以：第87頁/共138頁例12．如圖所示，質(zhì)量m=2kg的平板小車，后端放有質(zhì)量M=3kg的鐵塊，它和車之間動摩擦因數(shù)μ=0.50。開始時，車和鐵塊共同以的速度v0=3m/s，向右在光滑水平面上前進(jìn)，并使車與墻發(fā)生正碰，設(shè)碰撞時間極短，碰撞無機械能損失，且車身足夠長，使得鐵塊總不能和墻相碰，求小車走過的總路程。解析：設(shè)每次與墻碰后車的速度分別為v1、v2、v3、…、vn、…車每次與墻碰后向左運動的最遠(yuǎn)距離分別為s1、s2、s3、…、sn、….以鐵塊運動方向為正方向，在車與墻第(n-1)次碰后到發(fā)生第n次碰撞之前，對車和鐵塊組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律有第88頁/共138頁車與墻碰后做勻減速直線運動，由運動學(xué)公式有：所以車運動的總路程第89頁/共138頁例13．10個相同的扁長木塊一個緊挨一個地放在水平地面上，如圖所示，每個木塊的質(zhì)量m=0.40kg，長度l=0.45m，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為μ2=0.10，原來木塊處于靜止?fàn)顟B(tài)。左方第一個木塊的左端上方放一個質(zhì)量為M=1.0kg的小鉛塊，它與木塊間的靜摩擦因數(shù)和動摩擦因數(shù)均為μ1=0.20，現(xiàn)突然給鉛塊一向右的初速度v0=4.3m/s，使其在大木塊上滑行。試確定鉛塊最后的位置在何處（落在地上還是停在哪塊木塊上）。重力加速度g取10m/s2，設(shè)鉛塊的長度與木塊相比可以忽略。解析：鉛塊M在木塊上滑行所受到的滑動摩擦力

設(shè)M可以帶動木塊的數(shù)目為n，則n滿足

即取n=2第90頁/共138頁設(shè)鉛塊剛離開第8個木塊時速度為v，則M在第9個木塊上運動如圖所示

對M對第9及第10個木塊

設(shè)M剛離開第9個木塊上時速度為v’，而第10個木塊運動的速度為V’，并設(shè)木塊運動的距離為s，則M運動的距離為s+l，有：第91頁/共138頁再設(shè)M運動到第10個木塊的邊緣時速度為v”，這時木塊的速度為V”，則：

故M不能滑離第10個木塊，只能停在它的表面上，最后和木塊一起靜止在地面上。第92頁/共138頁例14．如圖所示，質(zhì)量為m的長方形箱子，放在光滑的水平地面上，箱內(nèi)有一質(zhì)量也為m的小滑塊，滑塊與箱底間無摩擦。開始時箱子靜止不動，滑塊以恒定的速度v0從箱子的A壁處向B處運動，后與B壁碰撞。假設(shè)滑塊與箱壁每碰撞一次，兩者相對速度的大小變?yōu)樵摯闻鲎睬跋鄬λ俣鹊膃倍，

（1）要使滑塊與箱子這一系統(tǒng)消耗的總動能不超過其初始動能的40%，滑塊與箱壁最多可碰撞幾次？（2）從滑塊開始運動到剛完成上述次數(shù)的碰撞期間，箱子的平均速度是多少？點評：1.系統(tǒng)水平方向動量守恒

2.每一次碰撞過程中動能的損耗3.平均速度第93頁/共138頁解析：（1）滑塊與箱壁碰撞，設(shè)碰后滑塊對地速度為v，箱子對地速度為u，由于題中每次碰撞的e是一樣的，故有即碰撞n次后

①第n次碰撞

②第94頁/共138頁第n次碰撞后，系統(tǒng)損失的動能因為要求的動能損失不超過40%，故n=4。第95頁/共138頁（2）設(shè)A、B兩側(cè)壁的距離為L，則滑塊從開始運動到與箱壁發(fā)生第一次碰撞的時間在這段時間，箱子運動的距離

第96頁/共138頁八．微元法1．方法簡介：“元過程”2．賽題精講例1．將一質(zhì)量為m的質(zhì)點由地球表面移到無窮遠(yuǎn)處，這一過程中克服引力做多少功？已知地球質(zhì)量為M，地球的半徑為R，萬有引力常為G。點評：1.變力做功的計算2.怎樣建立元過程？第97頁/共138頁解析：…方法一:第98頁/共138頁方法二：點評：3.能量轉(zhuǎn)換關(guān)系與引力勢能第99頁/共138頁附例：（2010年五校聯(lián)考題12分）衛(wèi)星攜帶一探測器在半徑為3R(R為地球半徑)的圓軌道上繞地球飛行。在a點，衛(wèi)星上的輔助動力裝置短暫工作，將探測器沿運動方向射出（設(shè)輔助動力裝置噴出的氣體質(zhì)量可忽略）。若探測器恰能完全脫離地球的引力，而衛(wèi)星沿新的橢圓軌道運動，其近地點b距地心的距離為nR(n略小于3)，求衛(wèi)星與探測器的質(zhì)量比。（質(zhì)量分別為M、m的兩個質(zhì)點相距為r時的引力勢能為-GMm/r，式中G為引力常量）點評：1.第一宇宙速度與第二宇宙速度的推導(dǎo)2.關(guān)鍵語句“探測器恰能完全脫離地球的引力”的正確理解3.開普勒定律的應(yīng)用4.本題的解題思路第100頁/共138頁解析：設(shè)地球質(zhì)量為M,衛(wèi)星質(zhì)量為m，探測器質(zhì)量為m’，當(dāng)衛(wèi)星與探測器一起繞地球做圓周運動時，由萬有引力定律和牛頓第二定律得設(shè)分離后探測器速度為v’，探測器剛好脫離地球引力應(yīng)滿足設(shè)分離后衛(wèi)星速度u，由機械能守恒定律可得第101頁/共138頁由開普勒第二定律有

nRv近=3Ru⑥聯(lián)立解得由分離前后動量守恒可得(m+m’)v=mu+m’v’⑧⑦聯(lián)立以上各式求解得：評分參考：本題12分。①②式各1分，③式2分，④式1分，⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分。第102頁/共138頁例2．如圖所示，一個半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上放置一光滑均勻鐵鏈，其A端固定在球面的頂點，B端恰與桌面不接觸，鐵鏈單位長度的質(zhì)量為ρ，試求鐵鏈A端受的拉力T。第103頁/共138頁例3．某行星圍繞太陽C沿圓弧軌道運行，它的近日點A離太陽的距離為a，行星經(jīng)過近日點A時的速度為vA，行星的遠(yuǎn)日點B離開太陽的距離為b，如圖所示，求它經(jīng)過遠(yuǎn)日點B時的速度vB的大小。第104頁/共138頁例4．如圖所示，長度為L、質(zhì)量為M的船停止在靜水中（但未拋錨），船頭上有一個質(zhì)量為m的人，也是靜止的。現(xiàn)在令人在船上開始向船尾走動，忽略水的阻力，試問：當(dāng)人走到船尾時，船將會移動多遠(yuǎn)？點評：幾個基本問題（1）人可不可能勻速或勻加速運動？（2）當(dāng)人中途停下時，船的速度多大？（3）人的全程位移大小為L嗎？（4）以船為參考系，動量守恒嗎？第105頁/共138頁方法一：微元法取微元——極短時間系統(tǒng)動量守恒①即②即又③第106頁/共138頁方法二：質(zhì)心運動定理系統(tǒng)合外力為零，所以質(zhì)心不變。初狀態(tài)末狀態(tài)又第107頁/共138頁例5．半徑為R的光滑球固定在水平桌面上，有一質(zhì)量為M的圓環(huán)狀均勻彈性繩圈，原長為πR，且彈性繩圈的勁度系數(shù)為k，將彈性繩圈從球的正上方輕放到球上，使彈性繩圈水平停留在平衡位置上，如圖所示。若平衡時彈性繩圈長為，求彈性繩圈的勁度系數(shù)k。解析：先看俯視圖在彈性繩圈平面內(nèi)，取微元Δm，其對應(yīng)的圓心角為Δθ，則△m兩端受的拉力就是彈性繩圈內(nèi)部的彈力F

設(shè)△m在平面內(nèi)所受合力為T，則有：當(dāng)θ很小時

所以：①第108頁/共138頁再看主視圖△m受重力△mg，支持力N，二力的合力與T平衡

彈性繩圈的半徑

②解得彈性繩圈的張力

設(shè)彈性繩圈的伸長量為x

所以繩圈的勁度系數(shù)

第109頁/共138頁例6．一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度。解析：如圖所示，在圓環(huán)上取一微元△L，對應(yīng)的圓心角為△θ，其質(zhì)量可表示為

設(shè)圓環(huán)對它的張力為T，同上例

因為△θ很小

所以：第110頁/共138頁例7．一根質(zhì)量為M，長度為L的鐵鏈條，被豎直地懸掛起來，其最低端剛好與水平接觸，今將鏈條由靜止釋放，讓它落到地面上，如圖所示，求鏈條下落了長度x時，鏈條對地面的壓力為多大？點評：1.鏈條對地面的壓力=落到地面鏈條的重力？2.鏈條能看成質(zhì)點嗎？該如何處理？解析：設(shè)鏈條線密度為ρ，t~t+△t時間內(nèi)，有△M=ρ△x

落到地面上靜止

？第111頁/共138頁例8．一根均勻柔軟的繩長為L，質(zhì)量為m，對折后兩端固定在一個釘子上，其中一端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點離釘子的距離為x時，釘子對繩子另一端的作用力是多大？解析：釘子對繩子另一端的作用力隨滑落繩的長短而變化，如圖所示，當(dāng)左邊繩端離釘子的距離為x時左邊繩長

速度

右邊繩長

又經(jīng)過一段很短的時間△t以后，左邊繩子又有一小段轉(zhuǎn)移到右邊去了長度質(zhì)量由動量定理第112頁/共138頁例9．如圖所示，半徑為R的圓盤固定不可轉(zhuǎn)動，細(xì)繩不可伸長但質(zhì)量可忽略，繩下懸掛的兩物體質(zhì)量分別為M、m。設(shè)圓盤與繩間光滑接觸，試求盤對繩的法向支持力線密度。點評：1.什么叫法向？2.什么叫支持力線密度？解析：在與圓盤接觸的半圓形中取一小段繩元△L，△L所對應(yīng)的圓心角為△θ，如圖所示第113頁/共138頁例10．粗細(xì)均勻質(zhì)量分布也均勻的半徑為分別為R和r的兩圓環(huán)相切。若在切點放一質(zhì)點m，恰使兩邊圓環(huán)對m的萬有引力的合力為零，則大小圓環(huán)的線密度必須滿足什么條件？解析：如圖所示，過切點作直線交大小圓分別于P、Q兩點，并設(shè)與水平線夾角為α，當(dāng)α有微小增量時，則大小圓環(huán)上對應(yīng)微小線元由于△α很小

所以△m1、△m2與m的萬有引力分別為

第114頁/共138頁例11．一枚質(zhì)量為M的火箭，依靠向正下方噴氣在空中保持靜止，如果噴出氣體的速度為v，那么火箭發(fā)動機的功率是多少？解析：

選取在△t時間內(nèi)噴出的氣體為研究對象，設(shè)火箭推氣體的力為F

由動量定理有：由牛三定律和平衡條件有：由動能定理有：所以：第115頁/共138頁例12．如圖所示，小環(huán)O和O′分別套在不動的豎直桿AB和A′B′上，一根不可伸長的繩子穿過環(huán)O′，繩的兩端分別系在A′點和O環(huán)上，設(shè)環(huán)O′以恒定速度v向下運動，求當(dāng)∠A′

O′O=α?xí)r，環(huán)O的速度。解析：設(shè)經(jīng)歷一段極短時間△t，O′環(huán)移到C′，O環(huán)移到C，自C′與C分別作為O′O的垂線C′D′和CD，從圖中看出因△α極小，所以EC′≈ED′，EC≈ED從而OD+O′D′≈OO′－CC′

由于繩子總長度不變，故OO′－CC′=O′C′

第116頁/共138頁九．極限法1．方法簡介：極大和極小或極左和極右

2．賽題精講例1．如圖所示，一個質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，則物塊可能獲得的最大動能為

。mg=kx

第117頁/共138頁例2．如圖所示，傾角為α的斜面上方有一點O，在O點放一至斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點從O點沿直軌道到達(dá)斜面P點的時間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角β。解析：第118頁/共138頁例3．從底角為θ的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計空氣阻力，若斜面足夠長，如圖所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？解析：

當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時，物體離斜面最遠(yuǎn)。以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則有：該點坐標(biāo)：幾何條件第119頁/共138頁例4．如圖所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外，從噴口算起，墻高為4.0m。若不計空氣阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速度及對應(yīng)的發(fā)射仰角。解析：水流做斜上拋運動，以噴口O為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)，本題的任務(wù)就是計算水流能通過點A（d、h）的最小初速度和發(fā)射仰角。水流的運動學(xué)方程：第120頁/共138頁例5．如圖所示，一質(zhì)量為m的人，從長為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端驟然停止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為μ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ’，且μ’

>>μ

。這樣，人能使鐵板朝其跑動方向移動的最大距離L是多少？點評：鐵板朝人跑動方向移動最大距離的條件？解析：設(shè)人跑動的最大加速度為a1，則有：設(shè)人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運動時的速度分別為v和v’

設(shè)人和鐵板一起運動的加速度為a2，則有第121頁/共138頁例6．設(shè)地球的質(zhì)量為M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的半徑為R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運動的半徑為r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運行軌道，發(fā)射速度，并用該式求出這個發(fā)射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×106m），設(shè)大氣層對衛(wèi)星的阻力忽略不計，地面的重力加速度為g）解析：

發(fā)射時：進(jìn)入軌道后：E1=E2

（1）如果r=R0，所需發(fā)射速度最小為（2）如果，

第122頁/共138頁例7．如圖所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點正下方C點處，OC=3R/8，半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G/8的物體，它與半球平在間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，求無滑動時物體離球心O點最大距離是多少？解析：設(shè)物體距球心為x時恰好無滑動，如圖所示，則有

第123頁/共138頁例8．有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，豎立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)μ=0.3，桿的上端由固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角θ=300，如圖所示。（1）若以水平力F作用在桿上，作用點到地面的距離h1=2L/5（L為桿長），要使桿不滑倒，