布萊克斯科爾斯期權(quán)定價模型

會計學(xué)1布萊克斯科爾斯期權(quán)定價模型22023/1/18期權(quán)定價采用相對定價法利用基礎(chǔ)產(chǎn)品價格與衍生產(chǎn)品價格之間的內(nèi)在關(guān)系，直接根據(jù)基礎(chǔ)產(chǎn)品價格求出衍生產(chǎn)品價格，因此要為期權(quán)定價首先必須研究證券價格的變化過程。目前，學(xué)術(shù)界普遍用隨機(jī)過程來描述證券價格的變化過程。6.1證券價格的變化過程第1頁/共55頁32023/1/18弱式效率市場假說與馬爾可夫過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說,該假說認(rèn)為:投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價格變動是相互獨立的。一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程第2頁/共55頁42023/1/18效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。

弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強式效率市場假說認(rèn)為，證券價格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。強式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。

第3頁/共55頁52023/1/18弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。如果證券價格遵循馬爾可夫過程，該過程具有“無后效性”，其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。也就是，通過歷史數(shù)據(jù)不能預(yù)測未來B-S模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從幾何布朗運動，它是一種特殊的馬爾可夫過程。第4頁/共55頁62023/1/18二、布朗運動根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，該特性可以采用維納過程（布朗運動），它是馬爾科夫過程的一種。（一）、標(biāo)準(zhǔn)布朗運動對于隨機(jī)變量w是標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，必須具有兩個條件：在某一小段時間Δt內(nèi)，它的變動Δw與時段Δt滿足第5頁/共55頁72023/1/18（6.1）2.

在兩個不重疊的時段Δt和Δs,Δwt和Δws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立?。?.2）有效市場第6頁/共55頁82023/1/18滿足上述兩個條件的隨機(jī)過程，稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，其性質(zhì)有當(dāng)時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨機(jī)變量ΔwT的滿足第7頁/共55頁92023/1/18證明：第8頁/共55頁102023/1/18在連續(xù)時間下Δt→0，由（6.1）和（6.2）得到（6.3）（6.4）所以，概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過程wt，稱為維納過程。第9頁/共55頁112023/1/18（二）普通布朗運動

先引入兩個概念：漂移率（DriftRate）是指，單位時間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（VarianceRate）是指，單位時間的方差。標(biāo)準(zhǔn)布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量xt的普通布朗運動：（6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dw遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。第10頁/共55頁122023/1/18從式（6.1）和（6.4）可知，在短時間后，x值的變化值為：因此，Δxt也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。同樣，在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。第11頁/共55頁132023/1/18一般維納過程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程三、伊藤過程第12頁/共55頁142023/1/18B-S期權(quán)定價模型是根據(jù)ITO過程的特例－幾何布朗運動來代表股價的波動省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運動方程（6.6）證券的預(yù)期回報與其價格無關(guān)。證券在單位時間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）證券收益率單位時間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡稱波動率四、證券價格的變化過程第13頁/共55頁152023/1/18伊藤引理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標(biāo)t）令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的變動過程可以表示為（6.7）五、伊藤引理第14頁/共55頁162023/1/18證明：將（6.7）離散化由（7.1）知利用泰勒展開，忽略高階項，f(x,t)可以展開為（6.8）第15頁/共55頁172023/1/18在連續(xù)時間下，即因此，（6.8）可以改寫為（6.9）從而第16頁/共55頁182023/1/18即Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動！（6.10）第17頁/共55頁192023/1/18由（6.10）可得（6.11）由（6.11）得到（6.12）第18頁/共55頁202023/1/18

由于Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即當(dāng)Δt→0時，由（6.9）可得■第19頁/共55頁212023/1/18若股票價格服從幾何布朗運動設(shè)當(dāng)前時刻為t，則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即六、幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與T-t的平方根成比例第20頁/共55頁222023/1/18令則這樣由伊藤引理得到即證：第21頁/共55頁232023/1/18由（7.1）對兩端積分：第22頁/共55頁242023/1/18則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為第23頁/共55頁252023/1/18例6.2設(shè)A股票價格的當(dāng)前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動率為每年20%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。例6.3請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？

第24頁/共55頁262023/1/186.2B-S期權(quán)定價模型Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎模型基本假設(shè)9個無風(fēng)險利率為常數(shù)，且對所有到期日均相同。在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；期權(quán)為歐式期權(quán)證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的；第25頁/共55頁272023/1/18無交易費用：證券市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險利率不存在無風(fēng)險套利機(jī)會允許賣空標(biāo)的證券標(biāo)的資產(chǎn)為證券，其價格S的變化為幾何布朗運動第26頁/共55頁282023/1/18B-S模型證明思路ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價公式第27頁/共55頁6.2.1B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格變動過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(s,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為第28頁/共55頁302023/1/18

考慮組合：δ份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭+1個單位的衍生證券空頭由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性（△w）影響，若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。且δ滿足則該組合的價值為第29頁/共55頁312023/1/18下面將證明該組合為無風(fēng)險組合，在Δt時間區(qū)間內(nèi)價值變化為：注意到此時Δπ不含有隨機(jī)項w，→該組合是無風(fēng)險的，第30頁/共55頁設(shè)無風(fēng)險收益率為r，且由于Δt較?。ú徊捎眠B續(xù)復(fù)利），則整理得到第31頁/共55頁B-S微分方程的意義衍生證券的價格f，只與當(dāng)前的市價S，時間t，證券價格波動率σ和無風(fēng)險利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。在對衍生證券定價時，可以采用風(fēng)險中性定價，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價格f。第32頁/共55頁6.2.2B-S買權(quán)定價公式

對于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買權(quán)）的在定價日t的定價公式為N(x)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（小于x的概率）（6.21）第33頁/共55頁352023/1/18pr0dN(d)例如:當(dāng)d＝1.96時,N(d)＝97.5%第34頁/共55頁（1）設(shè)當(dāng)前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運動，若已經(jīng)當(dāng)前時刻t的股票價格為St，則T時刻的股票價格的期望值為B-S買權(quán)定價公式推導(dǎo)第35頁/共55頁比較上兩式，得到根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風(fēng)險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風(fēng)險回報，則這表明：在風(fēng)險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風(fēng)險利率。第36頁/共55頁（2）在風(fēng)險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為第37頁/共55頁392023/1/18B-S模型的意義N(d2)：在風(fēng)險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。Xe-r(T-t)N(d2)：X的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。

StN(d1)=e-r(T-t)ESTN(d1)：是ST的風(fēng)險中性期望值的現(xiàn)值。第38頁/共55頁402023/1/18其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，StN(d1)就是資產(chǎn)的市值,-Xe-r(T-t)N(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價值。假設(shè)St>x，τ→0,則兩個N(d)→1，看漲期權(quán)肯定會被執(zhí)行，此時看漲期權(quán)價值為St-Xe-r，與遠(yuǎn)期合約的價值相似。執(zhí)行后，獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了X的債務(wù)。期權(quán)的價值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函數(shù)。第39頁/共55頁412023/1/18在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價值C=c。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價關(guān)系，可得無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價公式：

（6.22）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價關(guān)系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。

歐式看跌期權(quán)的價值第40頁/共55頁422023/1/186.2.3有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價公式在收益已知情況下，把標(biāo)的證券價格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分(無風(fēng)險部分)一個有風(fēng)險部分。當(dāng)期權(quán)到期時，現(xiàn)值部分將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，只要用S表示有風(fēng)險部分的證券價格。表示風(fēng)險部分遵循隨機(jī)過程的波動率，直接套用公式（6.21）和（6.22）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。從理論上說，風(fēng)險部分的波動率并不完全等于整個證券價格的的波動率,有風(fēng)險部分的波動率近似等于整個證券價格波動率乘以S/(S－I)，這里I是紅利現(xiàn)值。為方便起見，假設(shè)兩者相等。第41頁/共55頁432023/1/18當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。

當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價格。

第42頁/共55頁442023/1/18對于歐式期貨期權(quán)，其定價公式為：

（6.23）（6.24）其中：第43頁/共55頁452023/1/18例6.4假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價格。

3.05美分。第44頁/共55頁462023/1/18（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價1．美式看漲期權(quán)

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，用一種近似處理的方法:先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權(quán)的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價格。第45頁/共55頁472023/1/18例6.5假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個月和11個月后各有一個除權(quán)日，每個除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價為50元，期權(quán)協(xié)議價格為50元，標(biāo)的股票波動率為每年30%，無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價值。解：1.

看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。不能提前執(zhí)行的條件是：由于D1=D2=1.0元，則對第一次除權(quán)日，有對第2次除權(quán)日，有第46頁/共55頁482023/1/182.

比較1年期和11個月期歐式看漲期權(quán)價格。對于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：

S=50-1.8716=48.1284，代入式（6.23）得：N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224第47頁/共55頁492023/1/18對于11個月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：S=49.0408元由于c11>c12，因此該美式看漲期權(quán)價值近似為7.2824元第48頁/共55頁502023/1/182．美式看跌期權(quán)

由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第49頁/共55頁512023/1/18第三節(jié)布萊克——舒爾斯期權(quán)定價公式的實證研究和應(yīng)用

一、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價公式實證研究

布萊克—舒爾斯期權(quán)定價公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實值期權(quán)的