雙曲線的幾何性質

課題：1雙曲線的幾何性質思考回顧

橢圓的簡單幾何性質

？

1/18/20232①范圍;②對稱性;③頂點;④離心率等

雙曲線是否具有類似的性質呢?一.復習引入

1.雙曲線的定義是怎樣的？2.雙曲線的標準方程是怎樣的？1/18/20233一、雙曲線的簡單幾何性質

1/18/20234yB2A1A2B1

xObaM

NQ1.范圍:兩直線x=±a的外側2.對稱性:

關于x軸,y軸,原點對稱

原點是雙曲線的對稱中心對稱中心叫雙曲線的中心一.雙曲線的簡單幾何性質1/18/20235yB2A1A2B1

xObaM

NQ1.范圍:兩直線x=±a的外側2.對稱性:關于x軸,y軸,原點對稱;原點是雙曲線的對稱中心;對稱中心叫雙曲線的中心3.頂點::(1)雙曲線與x軸的兩個交A(-a,0),A(a,0)叫雙曲線的頂點12(2)實軸:線段AA實軸長:2a

虛軸:線段BB虛軸長:2b1212一.雙曲線的簡單幾何性質

1/18/202361.范圍:

yB2A1A2B1

xObaM

NQ2.對稱性:3.頂點:實軸,虛軸,a,b的幾何意義4.漸進線:(1)漸進線的確定:矩形的對角線(2)直線的方程:y=±－xba

(3)推理證明:雙曲線方程可變?yōu)?/p>

當x

時，方程近似變?yōu)?y=

,即雙曲線上的點無限接近直線

y=一.雙曲線的簡單幾何性質1/18/20237(1)概念:焦距與實軸長之比yB2A1A2B1

xObaM

NQ5.離心率(2)定義式:e=－ca(3)范圍:e>1(c>a)(4)雙曲線的形狀與e的關系即:e越大,漸進線斜率越大,其開口越闊.1/18/20238關于X軸、Y軸、原點都對稱。

圖形方程范圍對稱性頂點離心率準線(-a,0),B(0,b),B1(0,-b)+b2a2=1(a>b>0)直線x=±a,和y=±b所圍成的矩形里A(a,0)A1

e=ac(0<e<1)x=

+

ca2ABoB1A1xy..OABA1B1LL!y2x2xy..1/18/20239雙曲線的圖形與幾何性質(1)雙曲線標準方程：YX雙曲線性質：1、范圍：x≥a或2、對稱性：關于x軸，y軸，原點對稱。3、頂點:A1（-a，0），A2（a，0）4、軸：實軸A1A2虛軸B1B2A1A2B1B25、漸近線方程：6、離心率：e=雙曲線的圖形與幾何性質(2)雙曲線標準方程：1/18/202310YX雙曲線性質：1、范圍：y≥a或y≤-a2、對稱性：關于x軸，y軸，原點對稱3、頂點:B1（0，-a），B2（0，a）4、軸：實軸B1B2;

虛軸A1A2A1A2B1B25、漸近線方程：6、離心率：e=c/aF2F2o1/18/202311例1、如果方程表示焦點在x軸上的雙曲線，求m的范圍。變形練習

1、若方程表示雙曲線，求m的范圍。

2、若表示焦點在x軸的橢圓時，求m的范圍。解：根據雙曲線的性質有：m-1＞02-m＜0解得：m＞2二.應用舉例:1/18/202312例2.求雙曲線9y–16x=144的實半軸與虛半軸長,焦點坐標,離心率及漸進線方程.22

解:把方程化成標準方程:－-－=1y16x922故實半軸長a=4,虛半軸長b=3∴c=√16+9=5.________∴e=－54故漸進線方程為:y=±－x431/18/202313

例3.求一漸進線為3x+4y=0,一個焦點為(4,0)的雙曲線的標準方程.

分析:因焦點在x軸上,故其標準方程可設為:其漸進線方程可知b/a=3/4又因c=4,故可列方程組求出a,b的值.1/18/202314例4:以已知雙曲線的虛軸為實軸,實軸為虛軸的雙曲線叫原雙曲線的共軛雙曲線,求證:(1)雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線;(2)雙曲線和它的共軛雙曲線的四個焦點在同一個圓上.證明:(1)設已知雙曲線的方程是:則它的共軛雙曲線方程是:漸近線為漸近線為:顯然,它可化為故雙曲線和它的共軛雙曲線有共同的漸近線;證明:(2)設已知雙曲線的焦點為F(c,0),F(-c,0)它的共軛雙曲線的焦點為F1’(0,c’),F2’(0,-c’),∵∴c=c'YXA1A2B1B2F1F2oF’2F’1問:有相同漸近線的雙曲線方程一定是共軛雙曲線嗎∴四個焦點,

在同一個圓1/18/2023151、雙曲線2kx2-ky2=1的一個焦點是F（0，4），則K為（）（A）-3/32（B）3/32（C）-3/16（D）3/162、方程所表示的曲線是雙曲線，則它的焦點坐標是（）AC鞏固練習一：1/18/202316鞏固練習二：1、雙曲線2x2-y2=k的焦距是6，則k的值是（）（A）124（B）（C）（D）32、雙曲線的焦點坐標是____________3、若方程表示雙曲線，則實數m的取值范圍是______________B-1<m<1,或m>21/18/202317鞏固練習3：已知雙曲線與橢圓的焦點相同，且他們的離心率之和為14/5，求雙曲線的方程。參考答案：橢圓的焦點為（0，±4），離心率為4/5，所以雙曲線的離心率為2，設所求的雙曲線方程為則c=4，c/a=2，b2=c2-a2，解得a2=4，b2=12，所以所求的雙曲線方程為四