偏微分方程的數(shù)值離散方法

偏微分方程的數(shù)值離散方法第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日13.1有限差分法

3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的構(gòu)造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理論基礎3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全離散方法第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日23.1.1模型方程的差分逼近第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日33.1.2差分格式的構(gòu)造第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日43.1.3差分方程的修正方程差分方程所精確逼近的微分方程稱為修正方程

對于時間發(fā)展方程，利用展開的方程逐步消去帶時間的高階導數(shù)，只留空間導數(shù)。Warming-Hyett方法：差分方程(2)寫成算子的形式：第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日53.1.3差分方程的修正方程(續(xù))第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日63.1.3差分方程的修正方程(續(xù))第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日73.1.4差分方法的理論基礎相容性，穩(wěn)定性，收斂性等價性定理Fourier穩(wěn)定性分析第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日83.1.4差分方法的理論基礎（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分析第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日93.1.4差分方法的理論基礎（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分（續(xù)）稱為CFL條件(Courant,Friedrichs,Levy)第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日103.1.5守恒型差分格式流體力學方程組描述物理量的守恒性；守恒律組：定義第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日113.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒性質(zhì)：非守恒的差分格式一般沒有對應于原始守恒律的“離散守恒律”。第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日123.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且當時間和空間步長趨于零時，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個收斂的函數(shù)就是守恒律的一個弱解。推論：守恒型差分各式的收斂解能自動滿足間斷關系。

用途:(加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式

第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日133.1.6偏微分方程的全離散方法對差分格式的一般要求：有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學反應等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動能、正組分濃度等)主要指非定常方程的時間離散

第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日14偏微分方程的全離散方法(續(xù)）兩層格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法時空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多層格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點隱格式第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日153.1.6.1兩層格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日163.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日173.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式兩步LW格式常系數(shù)Jacobian時與單步LW等價。但計算更簡單，不涉及矩陣相乘。第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日183.1.6.1兩層格式(cont.）MacCormack格式(1969)兩步格式比LW更簡單，不需要計算函數(shù)在半點上的值。LW兩步格式和MC各式的缺點：定常解的誤差依賴于時間步長。第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日19MacCormack格式的構(gòu)造第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日203.1.6.2三層格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日21第二課后閱讀提示傅德薰《計算流體力學》，3.1–3.3水鴻壽《一維流體力學數(shù)值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.6第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日22作業(yè)21.用Fourier法分析節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。2.分析前面節(jié)中MacCormack格式是幾階精度。第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日233.2有限體積法出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標、柱坐標、球坐標）以控制體為離散量計算體積分和面積分需要適當?shù)牟逯倒胶头e分公式(quadratureformula)適用于任意形狀的網(wǎng)格，復雜幾何形狀缺點：難以構(gòu)造大于二階以上的格式第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日243.2.1定常守恒型方程和控制體第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日253.2.2面積分的逼近面積分用積分點的值表示(quadrature)積分點的值用CV的值表示(interpolation)對于Simpson公式,對積分點的插值需要四階精度第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日263.2.4體積分的逼近當被積函數(shù)為某種型函數(shù)時，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日273.2.4體積分的逼近四階精度：2D直角坐標網(wǎng)格最后一式可以四階精度逼近3D的面積分第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日283.2.5插值和微分積分點的函數(shù)值和其法向梯度1stUDS:取上風點的值第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日29插值2ndorder:向積分點線性插值等價于中心差分(CDS)第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日30插值當積分點的函數(shù)是線性插值時Secondorder第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日31插值QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日32插值高精度：N階精度的quadrture需要N-1階多項式插值公式。界面上導數(shù)可以用插值公式的微分求出。第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日33有限體積法的邊界條件用邊界條件替代面積分入口：通常給定對流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和對稱面：通量為零邊界上函數(shù)值給定：和內(nèi)部CV的值共同構(gòu)建邊界上的導數(shù)第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日34FV例子第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日353.2.6守恒律的有限體積方法

Godunov格式第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日36第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日373.2.6.1Godunov方法的思想第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日38一階迎風格式(CIR格式)第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日39用Godunov思想

說明CIR格式=Godunov格式第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日40第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日41Riemann解圖示第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日42第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日433.2.6.11DEuler方程組的Godunov格式Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關系自動滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關系第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日44移動網(wǎng)格上的積分回路第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日45移動網(wǎng)格上的Godunov格式第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日46固定網(wǎng)格上的Godunov格式第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日47Lagrang