高中數(shù)學(xué) 131推出與充分條件、必要條件 新人教B選修1

1．3充分條件、必要條件與命題的四種形式...1．知識(shí)與技能(1)了解“如果是p，則q”形式的命題，并能判斷命題的真假；(2)理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；(3)掌握充分條件、必要條件和充要條件的判定方法．2．過(guò)程與方法通過(guò)實(shí)例，探索充分條件、必要條件及充要條件的判定方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)分析解決實(shí)際問(wèn)題．.3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)對(duì)“p?q”“q?p”的判斷，使學(xué)生感受對(duì)立統(tǒng)一的思想，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)，體會(huì)從特殊到一般的思維方法．..本節(jié)重點(diǎn)：充分條件、必要條件、充要條件的判定．本節(jié)難點(diǎn)：判定所給條件是充分條件、必要條件，還是充要條件．..本節(jié)內(nèi)容比較抽象，在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1．學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容要多從分析實(shí)例入手理解概念，利用集合的觀點(diǎn)加深理解．2．(1)從不同角度，運(yùn)用從特殊到一般的思維方法，歸納出條件與結(jié)論的推出關(guān)系，建立充分條件、必要條件的概念．(2)要判斷充分條件、必要條件，就是利用已有知識(shí)，借助代數(shù)推理的方法，判斷p是否推出q，q是否推出p...1．當(dāng)命題“如果p，則q”經(jīng)過(guò)推理證明斷定是真命題時(shí)，我們就說(shuō)由p成立可推出q成立，記作

，讀作

.2．如果p?q，則p叫做q的

條件．3．如果q?p，則p叫做q的

條件．4．如果既有p?q成立，又有q?p成立，記作

，則p叫做q的

條件．p?qp推出q充分必要p?q充要..[例1]給出下列四組命題：(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0.(2)p：兩個(gè)三角形相似；q：兩個(gè)三角形全等．(3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根．(4)p：一個(gè)四邊形是矩形；q：四邊形的對(duì)角線相等．試分別指出p是q的什么條件．.[解析](1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0?

x－2＝0.∴p是q的充分不必要條件．(2)∵兩個(gè)三角形相似?兩個(gè)三角形全等；但兩個(gè)三角形全等?兩個(gè)三角形相似．∴p是q的必要不充分條件．(3)∵m<－2?方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根；方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根?

m<－2.∴p是q的充分不必要條件．///.(4)∵四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線相等；而四邊形的對(duì)角線相等?四邊形是矩形，∴p是q的充分不必要條件．[規(guī)律方法](1)判斷p是q的什么條件，主要判斷p?q及q?p兩命題的正確性，若p?q為真，則p是q成立的充分條件，若q?p為真，則p是q成立的必要條件．(2)注意利用“成立的證明，不成立的舉反例”的數(shù)學(xué)方法技巧來(lái)作出判斷．(3)關(guān)于充要條件的判斷問(wèn)題，當(dāng)不易判斷p?q真假時(shí)，也可從集合角度入手進(jìn)行判斷．/.A．充分非必要條件 B．充分必要條件C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件[答案]A.[例2]設(shè)命題甲為：0<x<5，命題乙為：|x－2|<3，那么甲是乙的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]解不等式|x－2|<3得－1<x<5，∵0<x<5?－1<x<5但－1<x<5?0<x<5，∴甲是乙的充分不必要條件，故選A./.[規(guī)律方法]一般情況下，若條件甲為x∈A，條件乙為x∈B.當(dāng)且僅當(dāng)A?B時(shí)，甲為乙的充分條件；當(dāng)且僅當(dāng)B?A時(shí)，甲為乙的必要條件；當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時(shí)，甲為乙的充要條件；.設(shè)集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的 ()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件.[解析]先分別寫出適合條件的“x∈M或x∈P”和“x∈M∩P”的x的范圍，再根據(jù)充要條件的有關(guān)概念進(jìn)行判斷．由已知可得x∈M或x∈P即x∈R，x∈M∩P即2<x<3，∴2<x<3?x∈R，但x∈R?2<x<3，∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分條件，故應(yīng)選B./.[例3]證明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0..[說(shuō)明]證明充要條件問(wèn)題時(shí)，要弄清條件和結(jié)論，由條件推出結(jié)論這是充分性，由結(jié)論推出條件這是必要性，避免在論證中將充分性錯(cuò)當(dāng)必要性．.方程mx2＋(2m＋3)x＋1－m＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充要條件是什么？..[例4]已知px2－8x－20>0，qx2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]解不等式x2－8x－20>0，得pA＝{x|x>10或x<－2}．解不等式x2－2x＋1－a2>0得qB＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}.(說(shuō)明：“1＋a≤10”與“1－a≥－2”中等號(hào)不能同時(shí)取到)解得0<a≤3.∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a≤3..[規(guī)律方法](1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將p、q之間的充要關(guān)系轉(zhuǎn)化為p、q確定的集合之間的包含關(guān)系，同時(shí)注意命題等價(jià)性的應(yīng)用，可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。(2)本例將命題p、q的關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合A、B之間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，在確定AB后有時(shí)需要對(duì)A是否非空進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論思想，但本題集合A是確定的不需討論．.本例若改為已知px2－8x－20≤0，qx2－2x＋1－a2≤0，若p是q的必要不充分條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解析]解不等式x2－8x－20≤0，得pA＝{x|－2≤x≤10}，解不等式x2－2x＋1－a2≤0，得qB＝{x|1－a≤x≤1＋a，a>0}．依題意q?p，但是p不能推出q，說(shuō)明B

A，.∴0<a≤3，∴正實(shí)數(shù)a的取值范圍0<a≤3...[例5]一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是 ()A．a(chǎn)<0 B．a(chǎn)>0C．a(chǎn)<－1 D．a(chǎn)<1.[辨析]知識(shí)點(diǎn)掌握的不夠牢固，不夠熟練，一般會(huì)出現(xiàn)這種問(wèn)題．充分不必要條件和必要不充分條件的應(yīng)用在解題時(shí)往往易產(chǎn)生混淆性錯(cuò)誤，出錯(cuò)原因有兩個(gè)：①對(duì)定義理解不夠深刻．比如說(shuō)：p是q的充分條件，我們也可以說(shuō)成q是p的必要條件．它們都是表述相同的關(guān)系，只是換個(gè)說(shuō)法而已；②對(duì)數(shù)學(xué)中的文字語(yǔ)言把握不準(zhǔn)確．比如說(shuō)：p是q的充分條件，我們也可以說(shuō)成q的充分條件是p.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，有的同學(xué)對(duì)后一種說(shuō)法不注意或不理解．在解題中，同學(xué)們一方面只要牢牢抓住我們的記憶口訣“推出”即“充分”，“被推出”即“必要”，“推不出”就是.“不充分”，“不被推出”就是“不必要”就可解決第一個(gè)錯(cuò)因；另一方面，在解題中，把題目所給出的形式還原成定義形式(p是q的××條件)可豁然開朗．..一、選擇題1．(2009·安徽文，4)“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的 ()A．必要不充分條件B．充分不必要條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[答案]A[解析]本題考查不等式的性質(zhì)及充分條件、必要條件的概念．如a＝1，c＝3，b＝2，d＝1時(shí)，a＋c>b＋d，但a<b，故由“a＋c>b＋d”?/“a>b且c>d”，.由不等式的性質(zhì)可知，a>b且c>d，則a＋c>b＋d，∴“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分條件．

.[答案]D[解析]由N?M?M∩N＝N成立；由M∩N＝N?N?M成立．.[答案]C[解析]

x＝－1、3、5時(shí)，2x2－5x－3≥0成立，而2x2－5x－3≥0成立，x不一定等于－1、3、5..二、填空題4．命題p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，命題q：x1＋x2＝－5，那么命題p是命題q的________條件．[答案]充分不必要條件[解析]

∵x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的兩根，∴x1＋x2＝－5.5．(a－1)(b＋2)＝0的________條件是a＝1.[答案]充分不必要.三、解答題6．求證：關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個(gè)根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[證明]必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝