2023年山西省中考數(shù)學(xué)試卷(含答案和解析)

2023年山西省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題〔共10小題，每題3分，共30分〕1．〔3分〕〔2023?山西〕計(jì)算﹣2+3的結(jié)果是〔〕A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣62．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，∠1=110°，那么∠2等于〔〕A．65°B．70°C．75°D．80°3．〔3分〕〔2023?山西〕以下運(yùn)算正確的是〔〕A．3a2+5a2=8a4B．a(chǎn)6?a2=a12C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a2+1〕0=14．〔3分〕〔2023?山西〕如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為?周髀算經(jīng)?作注解時(shí)給出的“弦圖〞，它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是〔〕A．黃金分割B．垂徑定理C．勾股定理D．正弦定理5．〔3分〕〔2023?山西〕如圖是由三個(gè)小正方體疊成的一個(gè)幾何體，它的左視圖是〔〕A．B．C．D．6．〔3分〕〔2023?山西〕我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，回憶學(xué)習(xí)過(guò)程，都是按照列表、描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，這種研究方法主要表達(dá)的數(shù)學(xué)思想是〔〕A．演繹B．?dāng)?shù)形結(jié)合C．抽象D．公理化7．〔3分〕〔2023?山西〕在大量重復(fù)試驗(yàn)中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，以下說(shuō)法正確的是〔〕A．頻率就是概率B．頻率與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．概率是隨機(jī)的，與頻率無(wú)關(guān)D．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率8．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA=50°，那么∠C的度數(shù)為〔〕A．30°B．40°C．50°D．80°9．〔3分〕〔2023?山西〕PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm〔1μm=0.000001m〕的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害．2.5μm用科學(xué)記數(shù)法可表示為〔〕A．2.5×10﹣5mB．0.25×10﹣7mC．2.5×10﹣6mD．25×10﹣5m10．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．假設(shè)正方形ABCD的變長(zhǎng)為a，那么重疊局部四邊形EMCN的面積為〔〕A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2二、填空題〔共6小題，每題3分，共18分〕11．〔3分〕〔2023?山西〕計(jì)算：3a2b3?2a2b=_________．12．〔3分〕〔2023?山西〕化簡(jiǎn)+的結(jié)果是_________．13．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，一次函數(shù)y=kx﹣4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C，且A為BC的中點(diǎn)，那么k=_________．14．〔3分〕〔2023?山西〕甲、乙、丙三位同學(xué)打乒乓球，想通過(guò)“手心手背〞游戲來(lái)決定其中哪兩個(gè)人先打，規(guī)那么如下：三個(gè)人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背，假設(shè)只有兩個(gè)人手勢(shì)相同〔都是手心或都是手背〕，那么這兩人先打，假設(shè)三人手勢(shì)相同，那么重新決定．那么通過(guò)一次“手心手背〞游戲能決定甲打乒乓球的概率是_________．15．〔3分〕〔2023?山西〕一走廊拐角的橫截面積如圖，AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m，的圓心為O，半徑為1m，且∠EOF=90°，DE、FG分別與⊙O相切于E、F兩點(diǎn)．假設(shè)水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在AB和BC上，且MN與⊙O相切于點(diǎn)P，P是的中點(diǎn)，那么木棒MN的長(zhǎng)度為_(kāi)________m．16．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．假設(shè)BC=2，那么EF的長(zhǎng)為_(kāi)________．三、解答題〔共8小題，共72分〕17．〔10分〕〔2023?山西〕〔1〕計(jì)算：〔﹣2〕2?sin60°﹣〔〕﹣1×；〔2〕分解因式：〔x﹣1〕〔x﹣3〕+1．18．〔6分〕〔2023?山西〕解不等式組并求出它的正整數(shù)解：．19．〔6分〕〔2023?山西〕閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對(duì)于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形﹣﹣箏形．所謂箏形，它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱(chēng)之為箏形，如圖，四邊形ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形②有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn)如果只研究一般的箏形〔不包括菱形〕，請(qǐng)根據(jù)以上材料完成以下任務(wù)：〔1〕請(qǐng)說(shuō)出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條；〔2〕請(qǐng)仿照?qǐng)D1的畫(huà)法，在圖2所示的8×8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；②所涉及的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③將新圖案中的四個(gè)箏形都圖上陰影〔建議用一系列平行斜線表示陰影〕．20．〔10分〕〔2023?山西〕某公司招聘人才，對(duì)應(yīng)聘者分別進(jìn)行閱讀能力、思維能力和表達(dá)能力三項(xiàng)測(cè)試，其中甲、乙兩人的成績(jī)?nèi)缦卤怼矄挝唬悍帧常汗こ倘藛T閱讀思維表達(dá)甲938673乙958179〔1〕假設(shè)根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)?cè)诩?、乙兩人中錄用一人，那么誰(shuí)將能被錄用？〔2〕根據(jù)實(shí)際需要，公司將閱讀、思維和表達(dá)能力三項(xiàng)測(cè)試得分按3：5：2的比確定每人的最后成績(jī)，假設(shè)按此成績(jī)?cè)诩?、乙兩人中錄用一人，誰(shuí)將被錄用？〔3〕公司按照〔2〕中的成績(jī)計(jì)算方法，將每位應(yīng)聘者的最后成績(jī)繪制成如下列圖的頻數(shù)分布直方圖〔每組分?jǐn)?shù)段均包含左端數(shù)值，不包含右端數(shù)值，如最右邊一組分?jǐn)?shù)x為：85≤x＜90〕，并決定由高分到低分錄用8名員工，甲、乙兩人能否被錄用？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出本次招聘人才的錄用率．21．〔7分〕〔2023?山西〕如圖，點(diǎn)A、B、C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車(chē)站的位置，線段AB、BC表示連接纜車(chē)站的鋼纜，A、B、C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA′，BB′，CC′分別為110米、310米、710米，鋼纜AB的坡度i1=1：2，鋼纜BC的坡度i2=1：1，景區(qū)因改造纜車(chē)線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長(zhǎng)度是多少米？〔注：坡度：是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比〕22．〔9分〕〔2023?山西〕某新建火車(chē)站站前廣場(chǎng)需要綠化的面積為46000米2，施工隊(duì)在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來(lái)的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程．〔1〕該項(xiàng)綠化工程原方案每天完成多少米2？〔2〕該項(xiàng)綠化工程中有一塊長(zhǎng)為20米，寬為8米的矩形空地，方案在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道〔如下列圖〕，問(wèn)人行通道的寬度是多少米？23．〔11分〕〔2023?山西〕課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué)．動(dòng)手操作：如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．?dāng)?shù)學(xué)思考：〔1〕求∠CB′F的度數(shù)；〔2〕如圖2，在圖1的根底上，連接AB′，試判斷∠B′AE與∠GCB′的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；解決問(wèn)題：〔3〕如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：第一步：先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后繼續(xù)對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個(gè)正方形展平，設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O；第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′；第三步：設(shè)CG、AH分別與MN相交于點(diǎn)P、Q，連接B′P、PD′、D′Q、QB′，試判斷四邊形B′PD′Q的形狀，并證明你的結(jié)論．24．〔13分〕〔2023?山西〕綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔4，0〕，〔﹣2，3〕，拋物線W經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)，D是拋物線W的頂點(diǎn)．〔1〕求拋物線W的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕將拋物線W和?OABC一起先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移m〔0＜m＜3〕個(gè)單位，得到拋物線W′和?O′A′B′C′，在向下平移的過(guò)程中，設(shè)?O′A′B′C′與?OABC的重疊局部的面積為S，試探究：當(dāng)m為何值時(shí)S有最大值，并求出S的最大值；〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)S取最大值時(shí)，設(shè)此時(shí)拋物線W′的頂點(diǎn)為F，假設(shè)點(diǎn)M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N時(shí)拋物線W′上的動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M和點(diǎn)N，使得以D、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2023年山西省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔共10小題，每題3分，共30分〕1．〔3分〕〔2023?山西〕計(jì)算﹣2+3的結(jié)果是〔〕A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣6考點(diǎn)：有理數(shù)的加法．分析：根據(jù)異號(hào)兩數(shù)相加的法那么進(jìn)行計(jì)算即可．解答：解：因?yàn)椹?，3異號(hào)，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1．應(yīng)選A．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值．2．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，∠1=110°，那么∠2等于〔〕A．65°B．70°C．75°D．80°考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)．分析：根據(jù)“兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)〞和“對(duì)頂角相等〞來(lái)求∠2的度數(shù)．解答：解：如圖，∵AB∥CD，∠1=110°，∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，∴∠3=70°，∴∠2=∠3=70°．應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)．總結(jié)：平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．3．〔3分〕〔2023?山西〕以下運(yùn)算正確的是〔〕A．3a2+5a2=8a4B．a(chǎn)6?a2=a12C．〔a+b〕2=a2+b2D．〔a2+1〕0=1考點(diǎn)：完全平方公式；合并同類(lèi)項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；零指數(shù)冪．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：A、原式合并同類(lèi)項(xiàng)得到結(jié)果，即可做出判斷；B、原式利用同底數(shù)冪的乘法法那么計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷；C、原式利用完全平方公式展開(kāi)得到結(jié)果，即可做出判斷；D、原式利用零指數(shù)冪法那么計(jì)算得到結(jié)果，即可做出判斷．解答：解：A、原式=8a2，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、原式=a8，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、原式=a2+b2+2ab，應(yīng)選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、原式=1，應(yīng)選項(xiàng)正確．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了完全平方公式，合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，以及零指數(shù)冪，熟練掌握公式及法那么是解此題的關(guān)鍵．4．〔3分〕〔2023?山西〕如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為?周髀算經(jīng)?作注解時(shí)給出的“弦圖〞，它解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題是〔〕A．黃金分割B．垂徑定理C．勾股定理D．正弦定理考點(diǎn)：勾股定理的證明．分析：“弦圖〞，說(shuō)明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決了勾股定理的證明．解答：解：“弦圖〞，說(shuō)明了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，解決的問(wèn)題是：勾股定理．應(yīng)選C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理的證明，勾股定理證明的方法最常用的思路是利用面積證明．5．〔3分〕〔2023?山西〕如圖是由三個(gè)小正方體疊成的一個(gè)幾何體，它的左視圖是〔〕A．B．C．D．考點(diǎn)：簡(jiǎn)單組合體的三視圖．分析：根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案．解答：解：從左邊看第一層一個(gè)正方形，第二層一個(gè)正方形，應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖．6．〔3分〕〔2023?山西〕我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，回憶學(xué)習(xí)過(guò)程，都是按照列表、描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，這種研究方法主要表達(dá)的數(shù)學(xué)思想是〔〕A．演繹B．?dāng)?shù)形結(jié)合C．抽象D．公理化考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．專(zhuān)題：數(shù)形結(jié)合．分析：從函數(shù)解析式到函數(shù)圖象，再利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)正是數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的表達(dá)．解答：解：學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，都是按照列表、描點(diǎn)、連線得到函數(shù)的圖象，然后根據(jù)函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，這種研究方法主要表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．應(yīng)選B．7．〔3分〕〔2023?山西〕在大量重復(fù)試驗(yàn)中，關(guān)于隨機(jī)事件發(fā)生的頻率與概率，以下說(shuō)法正確的是〔〕A．頻率就是概率B．頻率與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)C．概率是隨機(jī)的，與頻率無(wú)關(guān)D．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率一般會(huì)越來(lái)越接近概率考點(diǎn)：利用頻率估計(jì)概率．分析：根據(jù)大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率解答．解答：解：∵大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率，∴A、B、C錯(cuò)誤，D正確．應(yīng)選D．點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用頻率估計(jì)概率的知識(shí)，大量重復(fù)試驗(yàn)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù)附近，可以用這個(gè)常數(shù)估計(jì)這個(gè)事件發(fā)生的概率．8．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OA、OB，∠OBA=50°，那么∠C的度數(shù)為〔〕A．30°B．40°C．50°D．80°考點(diǎn)：圓周角定理．分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠AOB的度數(shù)，再進(jìn)一步根據(jù)圓周角定理求解．解答：解：∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．應(yīng)選：B．點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了三角形的內(nèi)角和定理以及圓周角定理．一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．9．〔3分〕〔2023?山西〕PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm〔1μm=0.000001m〕的顆粒物，也稱(chēng)為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對(duì)人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害．2.5μm用科學(xué)記數(shù)法可表示為〔〕A．2.5×10﹣5mB．0.25×10﹣7mC．2.5×10﹣6mD．25×10﹣5m考點(diǎn)：科學(xué)記數(shù)法—表示較小的數(shù)．分析：絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．解答：解：2.5μm×0.000001m=2.5×10﹣6m；應(yīng)選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．10．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．假設(shè)正方形ABCD的變長(zhǎng)為a，那么重疊局部四邊形EMCN的面積為〔〕A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)2考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：作EM⊥BC于點(diǎn)M，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形MCQE的面積求解．解答：解：作EM⊥BC于點(diǎn)M，EQ⊥CD于點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EN，四邊形MCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN〔ASA〕∴S△EQN=S△EPM，∴四邊形EMCN的面積等于正方形MCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形MCQE的面積=a×a=a2，∴四邊形EMCN的面積=a2，應(yīng)選：D．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．二、填空題〔共6小題，每題3分，共18分〕11．〔3分〕〔2023?山西〕計(jì)算：3a2b3?2a2b=6a4b4．考點(diǎn)：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式．分析：根據(jù)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計(jì)算即可．解答：解：3a2b3?2a2b=〔3×2〕×〔a2?a2〕〔b3?b〕=6a4b4．故答案為：6a4b4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法那么是解此題的關(guān)鍵．12．〔3分〕〔2023?山西〕化簡(jiǎn)+的結(jié)果是．考點(diǎn)：分式的加減法．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：原式通分并利用同分母分式的加法法那么計(jì)算即可得到結(jié)果．解答：解：原式=+==．故答案為：點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法那么是解此題的關(guān)鍵．13．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，一次函數(shù)y=kx﹣4的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C，且A為BC的中點(diǎn)，那么k=4．考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：先確定B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A為BC的中點(diǎn)，那么點(diǎn)C和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，所以C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可確定C點(diǎn)坐標(biāo)，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx﹣4即可得到k的值．解答：解：把y=0代入y=kx﹣4得y=﹣4，那么B點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，﹣4〕，∵A為BC的中點(diǎn)，∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，把y=4代入y=得x=2，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，4〕，把C〔2，4〕代入y=kx﹣4得2k﹣4=4，解得k=4．故答案為4．點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足兩函數(shù)解析式．14．〔3分〕〔2023?山西〕甲、乙、丙三位同學(xué)打乒乓球，想通過(guò)“手心手背〞游戲來(lái)決定其中哪兩個(gè)人先打，規(guī)那么如下：三個(gè)人同時(shí)各用一只手隨機(jī)出示手心或手背，假設(shè)只有兩個(gè)人手勢(shì)相同〔都是手心或都是手背〕，那么這兩人先打，假設(shè)三人手勢(shì)相同，那么重新決定．那么通過(guò)一次“手心手背〞游戲能決定甲打乒乓球的概率是．考點(diǎn)：列表法與樹(shù)狀圖法．分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與通過(guò)一次“手心手背〞游戲能決定甲打乒乓球的情況，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：分別用A，B表示手心，手背．畫(huà)樹(shù)狀圖得：∵共有8種等可能的結(jié)果，通過(guò)一次“手心手背〞游戲能決定甲打乒乓球的有4種情況，∴通過(guò)一次“手心手背〞游戲能決定甲打乒乓球的概率是：=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：此題考查的是用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法求概率．列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹(shù)狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．15．〔3分〕〔2023?山西〕一走廊拐角的橫截面積如圖，AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m，的圓心為O，半徑為1m，且∠EOF=90°，DE、FG分別與⊙O相切于E、F兩點(diǎn)．假設(shè)水平放置的木棒MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在AB和BC上，且MN與⊙O相切于點(diǎn)P，P是的中點(diǎn)，那么木棒MN的長(zhǎng)度為〔4﹣2〕m．考點(diǎn)：切線的性質(zhì)．專(zhuān)題：應(yīng)用題．分析：連接OB，延長(zhǎng)OF，OE分別交BC于H，交AB于G，證得四邊形BGOH是正方形，然后證得OB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，根據(jù)勾股定理切點(diǎn)OB的長(zhǎng)，因?yàn)榘霃絆P=1，所以BP=2﹣1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中點(diǎn)，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得．解答：解：連接OB，延長(zhǎng)OF，OE分別交BC于H，交AB于G，∵DE、FG分別與⊙O相切于E、F兩點(diǎn)，∴OE⊥ED，OF⊥FG，∵AB∥DE，BC∥FG，∴OG⊥AB，OH⊥BC，∵∠EOF=90°，∴四邊形BGOH是矩形，∵兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m，⊙O半徑為1m，∴OG=OH=2，∴矩形BGOH是正方形，∴∠BOG=∠BOH=45°，∵P是的中點(diǎn)，∴OB經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，在正方形BGOH中，邊長(zhǎng)=2，∴OB=2，∵OP=1，∴BP=2﹣1，∵p是MN與⊙O的切點(diǎn)，∴OB⊥MN，∵OB是正方形BGOH的對(duì)角線，∴∠OBG=∠OBH=45°，在△BPM與△BPN中∴△BPM≌△BPN〔ASA〕∴MP=NP，∴MN=2BP，∵BP=2﹣1，∴MN=2〔2﹣1〕=4﹣2，點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，O、P、B三點(diǎn)共線是此題的關(guān)鍵．16．〔3分〕〔2023?山西〕如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．假設(shè)BC=2，那么EF的長(zhǎng)為﹣1．考點(diǎn)：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根據(jù)三角函數(shù)可得AF=CF=2，DF=，根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2，再根據(jù)平行線分線段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=﹣1．解答：解：過(guò)F點(diǎn)作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=〔180°﹣30°〕÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，在Rt△CDF中，AF=CF==2，DF=CD?tan60°=，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：〔2+〕，解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：〔EF+2〕=〔4﹣2〕：2，解得EF=﹣1．故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可得，三角函數(shù)，平行線分線段成比例，以及方程思想，此題的難點(diǎn)是作出輔助線，尋找解題的途徑．三、解答題〔共8小題，共72分〕17．〔10分〕〔2023?山西〕〔1〕計(jì)算：〔﹣2〕2?sin60°﹣〔〕﹣1×；〔2〕分解因式：〔x﹣1〕〔x﹣3〕+1．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算；因式分解-運(yùn)用公式法；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．分析：〔1〕此題涉及零指數(shù)冪、乘方、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡(jiǎn)四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法那么求得計(jì)算結(jié)果；〔2〕根據(jù)整式的乘法，可得多項(xiàng)式，根據(jù)因式分解的方法，可得答案．解答：解：〔1〕原式=2﹣2×=﹣2；〔2〕原式=x2﹣4x+3+1=〔x﹣2〕2．點(diǎn)評(píng)：此題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見(jiàn)的計(jì)算題型．解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．18．〔6分〕〔2023?山西〕解不等式組并求出它的正整數(shù)解：．考點(diǎn)：解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．分析：先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共局部就是不等式組的解集．解答：解：解①得：x＞﹣，解②得：x≤2，那么不等式組的解集是：﹣＜x≤2．那么正整數(shù)解是：1，2點(diǎn)評(píng)：此題考查的是一元一次不等式組的解，解此類(lèi)題目常常要結(jié)合數(shù)軸來(lái)判斷．還可以觀察不等式的解，假設(shè)x＞較小的數(shù)、＜較大的數(shù)，那么解集為x介于兩數(shù)之間．19．〔6分〕〔2023?山西〕閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．幾何中，平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形，大家對(duì)于它們的性質(zhì)都非常熟悉，生活中還有一種特殊的四邊形﹣﹣箏形．所謂箏形，它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形，稱(chēng)之為箏形，如圖，四邊形ABCD是箏形，其中AB=AD，CB=CD判定：①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形②有一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形是箏形顯然，菱形是特殊的箏形，就一般箏形而言，它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn)如果只研究一般的箏形〔不包括菱形〕，請(qǐng)根據(jù)以上材料完成以下任務(wù)：〔1〕請(qǐng)說(shuō)出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條；〔2〕請(qǐng)仿照?qǐng)D1的畫(huà)法，在圖2所示的8×8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案，具體要求如下：①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上；②所涉及的圖案既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；③將新圖案中的四個(gè)箏形都圖上陰影〔建議用一系列平行斜線表示陰影〕．考點(diǎn)：利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案；菱形的性質(zhì)；利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案．分析：〔1〕利用菱形的性質(zhì)以及結(jié)合圖形得出箏形的性質(zhì)分別得出異同點(diǎn)即可；〔2〕利用軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義結(jié)合題意得出答案．解答：解：〔1〕相同點(diǎn)：①兩組鄰邊分別相等；②有一組對(duì)角相等；③一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線；④一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；⑤都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；⑥面積等于對(duì)角線乘積的一半；不同點(diǎn)：①菱形的對(duì)角線互相平分，箏形的對(duì)角線不互相平分；②菱形的四邊都相等，箏形只有兩組鄰邊分別相等；③菱形的兩組對(duì)邊分別平行，箏形的對(duì)邊不平行；④菱形的兩組對(duì)角分別相等，箏形只有一組對(duì)角相等；⑤菱形的鄰角互補(bǔ)，箏形的鄰角不互補(bǔ)；⑥菱形的既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，箏形是軸對(duì)稱(chēng)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；〔2〕如下列圖：．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案，借助網(wǎng)格得出符合題意的圖形是解題關(guān)鍵．20．〔10分〕〔2023?山西〕某公司招聘人才，對(duì)應(yīng)聘者分別進(jìn)行閱讀能力、思維能力和表達(dá)能力三項(xiàng)測(cè)試，其中甲、乙兩人的成績(jī)?nèi)缦卤怼矄挝唬悍帧常汗こ倘藛T閱讀思維表達(dá)甲938673乙958179〔1〕假設(shè)根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)?cè)诩住⒁覂扇酥袖浻靡蝗?，那么誰(shuí)將能被錄用？〔2〕根據(jù)實(shí)際需要，公司將閱讀、思維和表達(dá)能力三項(xiàng)測(cè)試得分按3：5：2的比確定每人的最后成績(jī)，假設(shè)按此成績(jī)?cè)诩住⒁覂扇酥袖浻靡蝗?，誰(shuí)將被錄用？〔3〕公司按照〔2〕中的成績(jī)計(jì)算方法，將每位應(yīng)聘者的最后成績(jī)繪制成如下列圖的頻數(shù)分布直方圖〔每組分?jǐn)?shù)段均包含左端數(shù)值，不包含右端數(shù)值，如最右邊一組分?jǐn)?shù)x為：85≤x＜90〕，并決定由高分到低分錄用8名員工，甲、乙兩人能否被錄用？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出本次招聘人才的錄用率．考點(diǎn)：頻數(shù)〔率〕分布直方圖；算術(shù)平均數(shù)；加權(quán)平均數(shù)．分析：〔1〕根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式分別進(jìn)行計(jì)算即可；〔2〕根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式分別進(jìn)行解答即可；〔3〕由直方圖知成績(jī)最高一組分?jǐn)?shù)段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，再根據(jù)x甲=85.5分，得出甲在該組，甲一定能被錄用，在80≤x＜85這一組內(nèi)有10人，僅有1人能被錄用，而x乙=84.8分，在這一段內(nèi)不一定是最高分，得出乙不一定能被錄用；最后根據(jù)頻率=進(jìn)行計(jì)算，即可求出本次招聘人才的錄用率．解答：解：〔1〕∵甲的平均成績(jī)是：x甲==84〔分〕，乙的平均成績(jī)?yōu)椋簒乙==85〔分〕，∴x乙＞x甲，∴乙將被錄用；〔2〕根據(jù)題意得：x甲==85.5〔分〕，x乙==84.8〔分〕；∴x甲＞x乙，∴甲將被錄用；〔3〕甲一定被錄用，而乙不一定能被錄用，理由如下：由直方圖知成績(jī)最高一組分?jǐn)?shù)段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，又因?yàn)閤甲=85.5分，顯然甲在該組，所以甲一定能被錄用；在80≤x＜85這一組內(nèi)有10人，僅有1人能被錄用，而x乙=84.8分，在這一段內(nèi)不一定是最高分，所以乙不一定能被錄用；由直方圖知，應(yīng)聘人數(shù)共有50人，錄用人數(shù)為8人，所以本次招聘人才的錄用率為=16%．點(diǎn)評(píng)：此題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息的能力；利用統(tǒng)計(jì)圖獲取信息時(shí)，必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖，才能作出正確的判斷和解決問(wèn)題．21．〔7分〕〔2023?山西〕如圖，點(diǎn)A、B、C表示某旅游景區(qū)三個(gè)纜車(chē)站的位置，線段AB、BC表示連接纜車(chē)站的鋼纜，A、B、C三點(diǎn)在同一鉛直平面內(nèi)，它們的海拔高度AA′，BB′，CC′分別為110米、310米、710米，鋼纜AB的坡度i1=1：2，鋼纜BC的坡度i2=1：1，景區(qū)因改造纜車(chē)線路，需要從A到C直線架設(shè)一條鋼纜，那么鋼纜AC的長(zhǎng)度是多少米？〔注：坡度：是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比〕考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．專(zhuān)題：應(yīng)用題．分析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CC'于點(diǎn)E，交BB'于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CC'于點(diǎn)D，分別求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．解答：解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CC'于點(diǎn)E，交BB'于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CC'于點(diǎn)D，那么△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四邊形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形，∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200，CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400，∵i1=1：2，i2=1：1，∴AF=2BF=400，BD=CD=400，又∵EF=BD=400，DE=BF=200，∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，∴在Rt△AEC中，AC===1000〔米〕．答：鋼纜AC的長(zhǎng)度是1000米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是理解坡度坡角的定義，及勾股定理的表達(dá)式，難度一般．22．〔9分〕〔2023?山西〕某新建火車(chē)站站前廣場(chǎng)需要綠化的面積為46000米2，施工隊(duì)在綠化了22000米2后，將每天的工作量增加為原來(lái)的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項(xiàng)綠化工程．〔1〕該項(xiàng)綠化工程原方案每天完成多少米2？〔2〕該項(xiàng)綠化工程中有一塊長(zhǎng)為20米，寬為8米的矩形空地，方案在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為56米2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道〔如下列圖〕，問(wèn)人行通道的寬度是多少米？考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用．分析：〔1〕利用原工作時(shí)間﹣現(xiàn)工作時(shí)間=4這一等量關(guān)系列出分式方程求解即可；〔2〕根據(jù)矩形的面積和為56平方米列出一元二次方程求解即可．解答：解：〔1〕設(shè)該項(xiàng)綠化工程原方案每天完成x米2，根據(jù)題意得：﹣=4解得：x=2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x=2000是原方程的解，答：該綠化工程原方案每天完成2000平方米；〔2〕設(shè)人行道的寬度為x米，根據(jù)題意得，〔20﹣3x〕〔8﹣2x〕=56解得：x=2或x=〔不合題意，舍去〕．答：人行道的寬為2米．點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式方程及一元二次方程的應(yīng)用，解分式方程時(shí)一定要檢驗(yàn)．23．〔11分〕〔2023?山西〕課程學(xué)習(xí)：正方形折紙中的數(shù)學(xué)．動(dòng)手操作：如圖1，四邊形ABCD是一張正方形紙片，先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．?dāng)?shù)學(xué)思考：〔1〕求∠CB′F的度數(shù)；〔2〕如圖2，在圖1的根底上，連接AB′，試判斷∠B′AE與∠GCB′的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；解決問(wèn)題：〔3〕如圖3，按以下步驟進(jìn)行操作：第一步：先將正方形ABCD對(duì)折，使BC與AD重合，折痕為EF，把這個(gè)正方形展平，然后繼續(xù)對(duì)折，使AB與DC重合，折痕為MN，再把這個(gè)正方形展平，設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O；第二步：沿直線CG折疊，使B點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，再沿直線AH折疊，使D點(diǎn)落在EF上，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′；第三步：設(shè)CG、AH分別與MN相交于點(diǎn)P、Q，連接B′P、PD′、D′Q、QB′，試判斷四邊形B′PD′Q的形狀，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：四邊形綜合題．分析：〔1〕由對(duì)折得出CB=CB′，在RT△B′FC中，sin∠CB′F==，得出∠CB′F=30°，〔2〕連接BB′交CG于點(diǎn)K，由對(duì)折可知，∠B′AE=∠B′BE，由∠B′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90°，得到∠B′BE=∠GCB，又由折疊知∠GCB=∠GCB′得∠B′AE=∠GCB′，〔3〕連接AB′利用三角形全等及對(duì)稱(chēng)性得出EB′=NP=FD′=MQ，由兩次對(duì)折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四邊形B′PD′Q為矩形，由對(duì)折知，MN⊥EF，于點(diǎn)O，PQ⊥B′D′于點(diǎn)0，得到四邊形B′PD′Q為正方形，解答：解：〔1〕如圖1，由對(duì)折可知，∠EFC=90°，CF=CD，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∴CF=BC，∵CB′=CB，∴CF=CB′∴在RT△B′FC中，sin∠CB′F==，∴∠CB′F=30°，〔2〕如圖2，連接BB′交CG于點(diǎn)K，由對(duì)折可知，EF垂直平分AB，∴B′A=B′B，∠B′AE=∠B′BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∴∠B′BE+∠KBC=90°，由折疊知，∠BKC=90°，∴∠KBC+∠GCB=90°，∴∠B′BE=∠GCB，又由折疊知，∠GCB=∠GCB′，∴∠B′AE=∠GCB′，〔3〕四邊形B′PD′Q為正方形，證明：如圖3，連接AB′由〔2〕可知∠B′AE=∠GCB′，由折疊可知，∠GCB′=∠PCN，∴∠B′AE=∠PCN，由對(duì)折知∠AEB=∠CNP=90°，AE=AB，CN=BC，又∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∴AE=CN，在△AEB′和△CNP∴△AEB′≌△CNP∴EB′=NP，同理可得，F(xiàn)D′=MQ，由對(duì)稱(chēng)性可知，EB′=FD′，∴EB′=NP=FD′=MQ，由兩次對(duì)折可得，OE=ON=OF=OM，∴OB′=OP=0D′=OQ，∴四邊形B′PD′Q為矩形，由對(duì)折知，MN⊥EF，于點(diǎn)O，∴PQ⊥B′D′于點(diǎn)0，∴四邊形B′PD′Q為正方形，點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了四邊形的綜合題，解決此題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)折后的相等角，相等邊．24．〔13分〕〔2023?山西〕綜合與