精品解析：北京市豐臺區(qū)2022屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

北京市豐臺區(qū)2021—2022學(xué)年度第二學(xué)期綜合練習(xí)（一）高三數(shù)學(xué)2022.03第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【1題答案】【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義計(jì)算即可.【詳解】∵集合，，∴.故選：D.2.已知命題：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，【2題答案】【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定，直接判斷得出答案.【詳解】解：已知命題：，，則為：，.故選：B.3.若復(fù)數(shù)（a，b為實(shí)數(shù)）則“”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【3題答案】【答案】B【解析】【分析】根據(jù)當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，反之，當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，且所以“”是“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”的必要不充分條件故選：B4.已知圓，則圓心到直線的距離等于（）A. B. C. D.【4題答案】【答案】C【解析】【分析】求出圓心的坐標(biāo)，即可求得圓心到直線的距離.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，故圓心到直線的距離為.故選：C.5.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和等于（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式可得，然后由前n項(xiàng)和公式可得.【詳解】因?yàn)?，且，所以?shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，得，所以.故選：C6.在△中，，則（）A. B. C. D.或【6題答案】【答案】A【解析】【分析】先求出，再借助正弦定理求解即可.【詳解】由得，由正弦定理得，，解得，又，故，.故選：A.7.在抗擊新冠疫情期間，有3男3女共6位志愿者報(bào)名參加某社區(qū)“人員流調(diào)”、“社區(qū)值守”這兩種崗位的志愿服務(wù)，其中3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”．若該社區(qū)“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者．則這6位志愿者不同的分配方式共有（）A.19種 B.20種 C.30種 D.60種【7題答案】【答案】A【解析】【分析】利用對立事件，用總的分配方式減去“社區(qū)值守”崗位全是女性的情況可得.【詳解】6位志愿者3位志愿者參加“人員流調(diào)”，另外3位志愿者參加“社區(qū)值守”的分配方式共有種，“社區(qū)值守”崗位全是女性的分配方式共1種，故“社區(qū)值守”崗位至少需要1位男性志愿者的分配方式共有種.故選：A8.已知是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則△的面積為（）A B. C. D.【8題答案】【答案】C【解析】【分析】由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合漸近線方程得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求面積.【詳解】不妨設(shè)為雙曲線的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在漸近線上，因?yàn)?，，所以，，即△的面積.故選：C9.已知函數(shù)無最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【9題答案】【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)函數(shù)與直線的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】對于函數(shù)，可得，由，得或，由，得，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)在時(shí)有極大值2，在時(shí)有極小值，作出函數(shù)與直線的圖象，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有最小值.故選：D.10.對任意，若遞增數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為，且，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【10題答案】【答案】C【解析】【分析】先由條件得出，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和列出不等式，解不等式即可.【詳解】由遞增數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值為10.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)=的定義域是_________.【11題答案】【答案】【解析】【詳解】∵函數(shù)=∴要使函數(shù)有意義，則∴∴函數(shù)=的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?2.已知向量，．若，則______．【12題答案】【答案】4【解析】【分析】利用兩向量共線的條件即求.【詳解】∵向量，，，∴，解得.故答案為：4.13.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，能說明“若函數(shù)在上的最大值為，則函數(shù)在上單調(diào)遞增“為假命題的一個(gè)函數(shù)是__________.【13題答案】【答案】，，（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，可以構(gòu)造在定義域?yàn)樯?，先減后增的函數(shù)，滿足最大值為1，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，要求函數(shù)的定義域?yàn)?，在上的最大值為，但在上不是增函?shù)，可以考慮定義域?yàn)樯?，先減后增的函數(shù)的二次函數(shù)，函數(shù)，符合，故答案為：，，（答案不唯一）.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為______；設(shè)點(diǎn)在拋物線上，若以線段為直徑的圓過點(diǎn)，則______．【14題答案】【答案】①.②.5【解析】【分析】由題可得，設(shè)，結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，即得.【詳解】∵拋物線，∴，設(shè)，則，又以線段為直徑的圓過點(diǎn)，∴，即，又，∴，解得，，∴.故答案為：；5.15.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，給出下列四個(gè)結(jié)論：①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面的距離是；③存在點(diǎn)，使得；④△面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是______．【15題答案】【答案】①③【解析】【分析】作出截面圖形判斷①，利用等積法可判斷②，利用坐標(biāo)法可判斷③④.【詳解】對于①，如圖直線與、的延長線分別交于，連接分別交于，連接，則五邊形即為所得的截面圖形，故①正確；對于②，由題可知，平面，平面，∴平面，故點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由正方體的棱長為2可得，，，∴，，∴由，可得，所以直線到平面距離是，故②錯(cuò)誤；對于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，∴，又，∴，，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，∴，整理得，∴（舍去）或，故存在點(diǎn)，使得，故③正確；對于④，由上知，所以點(diǎn)在的射影為，∴點(diǎn)到的距離為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴故△面積的最小值是，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù)，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．（1）求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．條件①：的最小正周期為；條件②：為奇函數(shù)；條件③：圖象的一條對稱軸為．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【16~17題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）可以選擇條件①②或條件①③，先由周期計(jì)算，再計(jì)算即可；（2）先求出整體的范圍，再結(jié)合單調(diào)性求最大值即可.【小問1詳解】選擇條件①②：由條件①及已知得，所以．由條件②得，所以，即．解得．因?yàn)?，所以，所以．?jīng)檢驗(yàn)符合題意．選擇條件①③：由條件①及已知得，所以．由條件③得，解得．因?yàn)?，所以．所以．【小?詳解】由題意得，化簡得．因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，的最大值為．17.如圖，在直角梯形中，，，．以直線為軸，將直角梯形旋轉(zhuǎn)得到直角梯形，且．（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【17~18題答案】【答案】（1）證明見解析（2）存在；【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證明出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：由題意得，，所以四邊形為平行四邊形．所以．因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫拘?詳解】線段上存在點(diǎn)，使得直線和平面所成角的正弦值為，理由如下：由題意得AD，AB，AF兩兩垂直．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，，．所以，，，．設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即令，則，．于是設(shè)直線和平面所成角為，由題意得：，整理得：，解得或．因?yàn)椋?，即．所以線段上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線和平面所成角的正弦值為．18.為研究某地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生畢業(yè)三個(gè)月后的畢業(yè)去向，某調(diào)查公司從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取了1000人作為樣本進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：畢業(yè)去向繼續(xù)學(xué)習(xí)深造單位就業(yè)自主創(chuàng)業(yè)自由職業(yè)慢就業(yè)人數(shù)2005601412898假設(shè)該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇的畢業(yè)去向相互獨(dú)立．（1）若該地區(qū)一所高校2021屆大學(xué)畢業(yè)生的人數(shù)為2500，試根據(jù)樣本估計(jì)該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)；（2）從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取3人，記隨機(jī)變量為這3人中選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的人數(shù)．以樣本的頻率估計(jì)概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）該公司在半年后對樣本中的畢業(yè)生進(jìn)行再調(diào)查，發(fā)現(xiàn)僅有選擇“慢就業(yè)”的畢業(yè)生中的人選擇了上表中其他的畢業(yè)去向，記此時(shí)表中五種畢業(yè)去向?qū)?yīng)人數(shù)的方差為．當(dāng)為何值時(shí)，最小．（結(jié)論不要求證明）【18~20題答案】【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為（3）【解析】【分析】(1)用樣本中“單位就業(yè)”的頻率乘以畢業(yè)生人數(shù)可得；(2)先由樣本數(shù)據(jù)得選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率，然后由二項(xiàng)分布可得；(3)由方差的意義可得.【小問1詳解】由題意得，該校2021屆大學(xué)畢業(yè)生選擇“單位就業(yè)”的人數(shù)為．【小問2詳解】由題意得，樣本中名畢業(yè)生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的頻率為．用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)2021屆大學(xué)畢業(yè)生中隨機(jī)選取1名學(xué)生，估計(jì)該生選擇“繼續(xù)學(xué)習(xí)深造”的概率為．隨機(jī)變量的所有可能取值為0，1，2，3．所以，，，．所以的分布列為0123．【小問3詳解】易知五種畢業(yè)去向的人數(shù)的平均數(shù)為200，要使方差最小，則數(shù)據(jù)波動性越小，故當(dāng)自主創(chuàng)業(yè)和慢就業(yè)人數(shù)相等時(shí)方差最小，所以．19.已知橢圓（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，且，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上不同于，的一點(diǎn)，直線，與直線分別交于點(diǎn)．若，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【19~20題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接由條件計(jì)算即可；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，分別寫出直線，的方程，表示出坐標(biāo)，由得到不等式，解不等式即可.【小問1詳解】由題意得解得，．所以橢圓的方程是．【小問2詳解】設(shè)（），由已知得，，所以直線，的方程分別為，．令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，即．所以．整理得，解得．所以點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍是．20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線的斜率為1的切線方程；（2）若函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【20~21題答案】【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接求導(dǎo)，由求出切點(diǎn)，寫出切線方程即可；（2）求導(dǎo)后分類討論確定函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求出的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以．令，解得．因，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．故切線方程為．【小問2詳解】因?yàn)?，所以令，解得．?dāng)時(shí)，由，得，所以，則在定義域上是增函數(shù)．故至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去．當(dāng)時(shí)，隨變化和的變化情況如下表：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值．若時(shí)，，此時(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理可得在區(qū)間和區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，符合題意．綜上所述，的取值范圍是．21.已知集合(且），，且．若對任意（），當(dāng)時(shí)，存在()，使得，則稱是的元完美子集．（1）判斷下列集合是否是的3元完美子集，并說明理由；①；②．（2）若是的3元完美子集，求的最小值；（3）若是（且）的元完美子集，求證：，并指出等號成立的條件．【21~23題答案】【答案】（1）不是的3元完美子集；是的3元完美子集；理由見解析（2）12（3）證明見解析；等號成立的條件是且【解析】【分析】（1）根據(jù)元完美子集的定義判斷可得結(jié)論；（2）不妨設(shè)．由，，分別由定義可求得的最小值；（3）不妨設(shè)，