中心極限定理發(fā)展

概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。1920年，G.波伊亞稱這類定理為中心極限定理。它是概率論中最重要的一類定理，有著廣泛的實(shí)際背景。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象。獨(dú)立隨機(jī)變量的中心極限定理I獨(dú)立隨機(jī)變量的中心極限定理I三」歷史上最初的中心極限定理是討論n重伯努利試驗(yàn)（見(jiàn)二項(xiàng)分布）中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)p漸近于正態(tài)分布的問(wèn)題。若記事件A出現(xiàn)的概率為p（A）二p，不出現(xiàn)的概率為q」1-p，1716年前后，A.棣莫弗對(duì)p=1/2作了討論，隨后，P.-S.拉普拉斯推廣到一般情形，得到：當(dāng)一8<a<b<+8，有式中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，這就是棣莫弗一拉普拉斯定理。為討論一般形式的中心極限定理，A.M.李亞普諾夫改進(jìn)了n.口.切比雪夫創(chuàng)立的矩法，給出了獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛x｝服從中心極限定理的李亞普諾夫條件，其結(jié)論稱為李亞普諾夫定理：記數(shù)學(xué)期望疔*方差響對(duì)=*，理：記數(shù)學(xué)期望疔*方差響對(duì)=*，nx-12/社部分和（稱為Sn的標(biāo)準(zhǔn)化）。若存在正數(shù)0>0，使當(dāng)沌T8,旗E|L-歐|2+5/2+5n卻 /命一。那么當(dāng)n—8,&的分布漸近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布g即林駕3）"（或隨著特征函數(shù)（見(jiàn)概率分布）的引入，中心極限定理的研究得到了很快的發(fā)展。20世紀(jì)20年代，Y.W.林德伯格和P.萊維證明了林德伯格一萊維定理:對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列｛x」，當(dāng)Exk=a及varxk=z2有限時(shí)，部分和％的標(biāo)準(zhǔn)化駕=（乩-所）的分布漸近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的大樣本理論中有重要的應(yīng)用。1935年，林德伯格和帕費(fèi)勒又進(jìn)一步解決了獨(dú)立隨機(jī)變量lim ，（用序列的中心極限定理的一般情形，即林德伯格-費(fèi)勒定理：”limmax—^-=0且費(fèi)勒條件5淄? 成立，當(dāng)且僅當(dāng)林德伯格條件成立，即對(duì)任給正實(shí)數(shù)T，式中F（x）=p（xk^x）。這個(gè)結(jié)果使長(zhǎng)期以來(lái)作為概率論中心議題之一的關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)燮量序列的中心極限定理得到根本解決。前述諸結(jié)果都是它的推論。此后中心極限定理的研究基本上圍繞幾個(gè)方面進(jìn)行：一是減弱對(duì)隨機(jī)變量獨(dú)立性的要求，考慮具有某種相依性的隨機(jī)變量；一是討論向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)收斂的問(wèn)題；再就是估計(jì)向正態(tài)分布收斂的速度及有關(guān)問(wèn)題。局部極限定理向正態(tài)密度函數(shù)收斂的問(wèn)題雖然在概率論的早期工作中就出現(xiàn)了，但是一般性結(jié)果直至20世紀(jì)中期才得到。在棣莫弗一拉普拉斯定理形成的過(guò)程中，首先解決的是，在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)p等于k的概率p（k）=p（p=k）漸近于正態(tài)密度的問(wèn)題，即所謂棣莫弗一拉普拉斯局部極限定'理:在任給的有限區(qū)間［C，d］中，對(duì)于滿足 應(yīng)的k，一致地成立，f國(guó)嚴(yán)血），式中""碩’冷）=信己葉虧］是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。這一結(jié)論的推廣就是討論取值為b+Nk（N=0，±1，…）的獨(dú)立隨機(jī)變量序列短的相應(yīng)問(wèn)題，即格點(diǎn)極限定理。對(duì)于獨(dú)立同分布情形1948年B.B.格涅堅(jiān)科給出了相當(dāng)簡(jiǎn)明的充分必要條件；對(duì)于獨(dú)立非同分布情形，于50年代也給出了充分條件。當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛xk｝的標(biāo)準(zhǔn)化部分和駕的密度函數(shù)

p（x）存在時(shí)，討論p（x）向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)中（x）收斂的問(wèn)題稱為局部極限定理。格涅堅(jiān)科也于1&53年對(duì)獨(dú)立同分布情形給出了十分簡(jiǎn)潔的充分必要條件，即：當(dāng)且僅當(dāng)存在心，使Pn（x）有界時(shí)，成立您咧拙）一冷）E對(duì)于獨(dú)立非同分布情形，也在一定假設(shè)下由B.B.彼得羅夫給出了充分必要條件。相依隨機(jī)變量的中心極限定理I相依隨機(jī)變量的中心極限定理I三」這一問(wèn)題至今仍是許多概率論學(xué)者所注意的課題，其中討論得較多且獲得實(shí)際應(yīng)用的有m相依隨機(jī)變量序列、強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)變量序列、鞅、馬爾可夫過(guò)程及其他泛函，以及各種類型的統(tǒng)計(jì)量序列。對(duì)于這些序列在附加一定條件時(shí)，中心極限定理也成立。這便使得許多實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程可視為正態(tài)的。收斂速度的估計(jì)為了討論向正態(tài)分布收斂的速度，20世紀(jì)40年代，先后由A.C.貝里及C.G.埃森給出了下述著名的埃森不等式:對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛x｝，記其標(biāo)準(zhǔn)化部n分和巖的分布函數(shù)為Fn（x），當(dāng)EL="EX￡<oa（虹1，2，?）時(shí)，便有斕"）-頃"穌其中a是常數(shù)，￡"了學(xué)"這一不等式給出了向正態(tài)分布收斂時(shí)誤差的精確估計(jì)。這方面的研究已相當(dāng)深入。大偏差定理對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列｛x」，若E莓=°，E芯2僅8,則對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化部分和曲 及任意的M>0，當(dāng)0忍x忍M時(shí)，一致地成立：如果x的上界M隨著n的增大而單調(diào)趨于無(wú)窮，則與上述結(jié)果類似的定理稱為大偏差定理。這類結(jié)果在諸如重對(duì)數(shù)律(見(jiàn)公數(shù)律)的研究中是很重要的。確切地說(shuō)，11m =co設(shè)M隨n單調(diào)上升，且如果成立：limsuplimsupmt其歡盜則稱對(duì)Mn大偏差定理成立。1938年，H.克拉默在漸近展開(kāi)的基礎(chǔ)上證明，若存在正常數(shù)H,使當(dāng)ItI<H時(shí)，日巳區(qū)式山，則對(duì)=A血),大偏差定理成立。以后，Q.B.林尼克等又給出了對(duì)虬=成'(其中b)為正常數(shù)，X"<1)，大偏差定理成立的充分必要條件。大偏差定理還有種種重要的推廣，正吸引著一些概率論學(xué)者的注意。普遍極限定理早在20世紀(jì)30年代，就開(kāi)始注意到如下普遍極限問(wèn)題：考察在每一行內(nèi)獨(dú)立的隨機(jī)變量陣列如，…,的行和'=名％"=12…)，對(duì)于適當(dāng)選取的常數(shù)A，隨機(jī)變量S-A的極限分布有哪些？收斂的充分必要條件是什么？這是獨(dú)立隨機(jī)變量和的極^艮定理的最一般提法，到40年代中期，已獲得較完滿的解決。可以證明，在適當(dāng)條件下，這一類極限分布是無(wú)窮可分分布。記分布函數(shù)F(x)的特征函數(shù)為/(t)，若對(duì)任一正整數(shù)n，有特征函數(shù)/(x)使得/(t)=[/n(t)]n，就稱分布函數(shù)F(x)(對(duì)應(yīng)地，特征函數(shù)/(t))為無(wú)窮可分的。單點(diǎn)分布、n泊松分布、正態(tài)分布、柯西分布(見(jiàn)概率分布)等都是無(wú)窮可分分布。無(wú)窮可分的特征函數(shù)/(t)有著名的萊維一辛欽表示式中參數(shù)y是實(shí)數(shù)，G(u)是滿足g(-8)=0的有界非降函數(shù)，稱為/(t)的萊維-辛欽譜函數(shù)°/(t)的另一表示是此公式稱為萊維表示。若對(duì)隨機(jī)變量xnk不加任何限制，則任一分布都可作為某個(gè)陣列的行和Sn的極限分布。按照物理學(xué)的啟示，在30年代就提出了無(wú)窮小條件的概念，這一條件要求Sn的每一個(gè)別加項(xiàng)xnk，當(dāng)n很大時(shí)，所起的作用都很微?。杭磳?duì)任何￡>0,limmax沖直亦|孑司=0om成私7 1 'A.兄.辛欽于1937年證明，滿足無(wú)窮小條件的獨(dú)立隨機(jī)變量陣列｛xnk｝的行和Sn，對(duì)于適當(dāng)?shù)某?shù)A，S-A的可能的極限分布的全體，就是無(wú)窮可分分布族。隨后，1944年格涅堅(jiān)科利用萊維-辛欽表示，給出了Sn的分布函數(shù)收斂于無(wú)窮可分分布函數(shù)F(x)的充分必要條件是：S15+——V域+知J*一&->兒②4 J式中的?瑚2)；電(對(duì)=凡頃5)；丁是任給的常數(shù)；y及G(x)分別是F(x)的特征函數(shù)的萊維一辛欽表示式中的參數(shù)及譜函數(shù)，而此(用)里^°(對(duì)是指在G(x)的一切連續(xù)點(diǎn)上Fn(x)fG(x)，且Fn(+^)^G(+^)，F(xiàn)n(—^)-G(—8)。1947年，中國(guó)數(shù)學(xué)家許寶也曾經(jīng)獨(dú)立地給出了滿足無(wú)窮小條件的獨(dú)立隨機(jī)變量陣列的行和依分布收斂于某無(wú)窮可分分布的充分必要條件。由普遍極限定理，可列出向正態(tài)分布、泊松分布及退化分布收斂的最一般條件。例如，滿足無(wú)窮小條件的獨(dú)立陣列的行和向正態(tài)分布N(a，Z2)收斂的充分必要條件是：①對(duì)任給②存在￡>0,③存在￡>0，使這是中心極限定理的最一般結(jié)果。林德伯格一費(fèi)勒定理等都可由它推出。在討論普遍極限定理的同時(shí)，辛欽于1936年考慮了限于獨(dú)立隨機(jī)變量序列｛氣｝的“普遍極限問(wèn)題”，就是討論對(duì)適當(dāng)選取的常數(shù)Bn>0與號(hào)?=瓦考廣鳥(niǎo)的極限分布族及依分布收斂的條件。在無(wú)窮小條件的限制下，這類蒐的極限分布族是無(wú)窮可分分布族的一個(gè)子族，叫做L族。萊維在1946年運(yùn)用無(wú)窮可分特征函數(shù)的萊維表示給出了F(x)屬于L族的充分必要條件。隨后，格涅堅(jiān)科等又給出了蒐的分布向L族某分布收斂的充分必要條件。當(dāng)隨機(jī)變量序列｛%｝限于獨(dú)立且同分布時(shí)，駕的極限分布族就稱為穩(wěn)定律族3，顯然中是L族的子族。萊維與辛欽于1936年通過(guò)特征函數(shù)的另一種特定的表示給出了分布函數(shù)F(x)為穩(wěn)定律的充分必要條件。