二輪復(fù)習(xí) 極值點偏移第一招

專題。3,極值點偏移第一招——不含參數(shù)的極值點偏移問題函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點，是一個多元數(shù)問題，不管待證的是兩個變量的不等式，還是導(dǎo)函數(shù)的值的不等式，解題的策略都是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).例.(2010天津理)已知函數(shù)f(x)=xe-x(xeR)，如果x^x，且f(x)=f(x).1 2 1 2證明：xi+x2>2.t解析】法一(判定定理):n?(i-",易得/山在(―花1)上單調(diào)遞增，在(x+對上單調(diào)逢■XT-工時，A0)=0,x^-x時，函數(shù)/(X)在靠=1處取得極大值f(r)? 如圖所示.由/(XL)= )=改M丑：不妨設(shè)為?，:七，貝蚣有0<：X--<1X；,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(1+x)一f(1-x),xe(0,1]x則F(x)=f'(1+x)-f'(1-x)=-—(e2x-1)>0所以F(x)在xe(0,1]上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)>F(0)=0也即f(1+x)>f(1-x)對xe(0,1]恒成立.TOC\o"1-5"\h\z由0<x<1<x，^g1-xe(0,1]12 1所以f(1+(1-x))=f(2-x)>f(1-(1-x))=f(x)=f(x)1 1 1 1 2即f(2-x)>f(x)，又因為2-x,xe(1,+8)，且f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，1 2 1 2所以2-x<x，即證x+x>2.&1 2 1 2法二:欲證工1+他>2,即證毛>2-x1?由法一知0<與<1 ；故Z-x1：t;￡(L+力)卜又因為/■(>)在Q十功上單調(diào)遞減』故只需證/UH/(2-X!)又因為丁=心),故也即證/(X)</(2F，構(gòu)造函數(shù)H3)=f3)-/(2-x)工芒則等價于證明H成〕E對工e〔CU〕恒成立一由艮印=f(aO—f(2—同=寧。一臣*。>0；則占⑴在勇〔0=1)上單調(diào)g所以H(x)<H①=0,即已證明J?(x)<0對爛(M)恒成立，故原不等式為f>2亦成立.X法三：由f(氣)=f(氣)，得X1e-X1=氣。-X2，化間得eX2-X1=—…①，1不妨設(shè)X>X，由法一知，0VXV1<X.TOC\o"1-5"\h\z21 1 2八 t+X令t=X-X，則t>0,X=t+X，代入①式，得et= 12 1 2 1 X1反解出X=—^—1et一1c 2t故要證X「X2>2貝X+X=2x+故要證X「X2>2即證 +1>2et—1又因為et—1>0，等價于證明：2t+(t—2)(et—1)>0...②，構(gòu)造函數(shù)G(t)=2t+(t—2)(et—1),(t>0)，則G'(t)=(t—1)et+1,G〃(t)=tet>0故G(t)在tg(0,+8)上單調(diào)遞增，G(t)>G'(0)=0從而G(t)也在tg(0,+8)上單調(diào)遞增，G(t)>G(0)=0，&即證②式成立，也即原不等式西-巧*2成立.法四：由法三中①式，兩邊同時取以也為底的對數(shù)，得偵-明=血蘭=1iik-In/.—也即M-Em從而而+工.皿7)些二蛀=，1￡1至三—inM為 r：—工 七―瓦石玉_]西氣饑虧5,則欲證，等價于證明自宜八q構(gòu)造m(t)= -(1+￡加t,((>1)t2—1—2tlnt則M(t)==k又令中(t)=t2-1-2tlnt,(t>1)，則時(t)=2t-2(lnt+1)=2(t-1-Int)由于t-1>lnt對Vte(1,+8)恒成立，故中'(t)>0中(t)在tG(1,+^)上單調(diào)遞增，所以甲(t)>甲(1)=0，從而Mf(t)>0故M(t)在te(1,+8)上單調(diào)遞增，TOC\o"1-5"\h\z(t+1)lnt ((t+1)lnt)' t+1 -由洛比塔法則知：hmM(t)=lim =lim =lim(lnt+ )=2X—1 X—1 t—1 XT1 (t—1) XT1 t即證M(t)>2，即證式成立，也即原不等式氣+%>2成立.【點評】以上四種方法均是為了實現(xiàn)將雙變元的不等式轉(zhuǎn)化為單變元不等式，方法一、二利用構(gòu)造新的函數(shù)來達到消元的目的，方法三、四則是利用構(gòu)造新的變元，將兩個舊的變元都換成新變元來表示，從而達到消元的目的.C,、 1一%例.(2013湖南文)已知函數(shù)f(%)= 。％，證明：當(dāng)f(%)=f(%)(%力%)時，%+%V0.1+%2 1 21 2 121—x當(dāng)工=1時「由于一＞o：^＞o,l+r同理』當(dāng)ml時,/（x）＜0.當(dāng)/XQ= 。七）時,不妨設(shè)青＜知由函數(shù)單調(diào)性知x1C（-00：0）=處e（0:l＞.1—V 1+K下面證明：VxE（0:l）:/?＜/（-v）;即正一八―"1-v 1+r此不等式等價于&令頊好=（i_g_竺蛙04則敢力=7疔（產(chǎn)一1）,G'當(dāng)*Q1）時，尸④5.,