測量誤差基本知識

會計學(xué)1測量誤差基本知識2§6-1測量誤差的概念一、測量誤差的來源1、儀器精度的局限性2、觀測者感官的局限性3、外界環(huán)境的影響第2頁/共70頁第1頁/共70頁3一.產(chǎn)生測量誤差的原因一.產(chǎn)生測量誤差的原因產(chǎn)生測量誤差的三大因素：儀器原因

儀器精度的局限,軸系殘余誤差,等。人的原因

判斷力和分辨率的限制,經(jīng)驗,等。外界影響

氣象因素(溫度變化,風(fēng),大氣折光)

結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件:

上述三大因素總稱為觀測條件等精度觀測:在上述條件基本相同的情況下進(jìn)行的各次觀測，稱為等精度觀測。第3頁/共70頁第2頁/共70頁4二、測量誤差的分類與對策（一）分類系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)在符號和數(shù)值相同，或按一定的規(guī)律變化。例：誤差

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺溫度誤差Dt

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差i

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C……處理方法計算改正計算改正操作時抵消(前后視等距)操作時抵消(盤左盤右取平均)

……第4頁/共70頁第3頁/共70頁5二、測量誤差的分類與對策（一）分類偶然誤差——在相同的觀測條件下，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，但大量的誤差有“統(tǒng)計規(guī)律”粗差——特別大的誤差（錯誤）例：估讀數(shù)、氣泡居中判斷、瞄準(zhǔn)、對中等誤差，導(dǎo)致觀測值產(chǎn)生誤差。第5頁/共70頁第4頁/共70頁6（二）處理原則粗差——細(xì)心，多余觀測系統(tǒng)誤差——找出規(guī)律，加以改正偶然誤差——多余觀測，制定限差第6頁/共70頁第5頁/共70頁7如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：對同一量觀測了n次觀測值為l1,l2,l3,….ln如何取值？如何評價數(shù)據(jù)的精度？第7頁/共70頁第6頁/共70頁8三.偶然誤差的特性

1.偶然誤差的定義：

設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行了n次觀測，得n個觀測值，則產(chǎn)生了n個真誤差：(6-1-1)真誤差真值觀測值第8頁/共70頁第7頁/共70頁9例如：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角，三角形內(nèi)角和的誤差i為i=180–(i+i+I)其結(jié)果如表6-1，圖6-1,分析三角形內(nèi)角和的誤差I(lǐng)的規(guī)律。第9頁/共70頁第8頁/共70頁10誤差區(qū)間負(fù)誤差正誤差誤差絕對值dΔ" KK/nKK/n KK/n0~3 45 0.126 46 0.128910.2543~6 40 0.112 410.115810.2266~933 0.092 330.092660.1849~1223 0.064210.059 44 0.12312~15 17 0.047 160.045 33 0.09215~18 13 0.036 13 0.036 26 0.07318~21 6 0.01750.014 11 0.03121~244 0.0112 0.006 6 0.01724以上0 000 00

Σ 1810.5051770.4953581.000

表6-1偶然誤差的統(tǒng)計第10頁/共70頁第9頁/共70頁11-24-21-18-15-12-9-6-30+3+6+9+12+15+18+21+24X=k/d有限性：偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。第11頁/共70頁第10頁/共70頁12偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差應(yīng)小于限值。漸降性：誤差小的出現(xiàn)的概率大對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差概率相等抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，偶然誤差的平均數(shù)趨近于零。第12頁/共70頁第11頁/共70頁13§6-2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)一、方差和標(biāo)準(zhǔn)差（中誤差）中誤差第13頁/共70頁第12頁/共70頁14§6-2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)二、相對中誤差平均誤差一、中誤差第14頁/共70頁第13頁/共70頁15按觀測值的真誤差計算中誤差第15頁/共70頁第14頁/共70頁16如果函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)概率第16頁/共70頁第15頁/共70頁17正態(tài)分布第17頁/共70頁第16頁/共70頁18m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值中誤差圖形的比較：m1=2.7m2=3.6第18頁/共70頁第17頁/共70頁19正態(tài)分布的特征正態(tài)分布密度以為對稱軸,并在處達(dá)到最大。當(dāng)時，f(x)0，所以f(x)以x軸為漸近線。用求導(dǎo)方法可知，在處f(x)有兩個拐點。對分布密度在某個區(qū)間內(nèi)的積分就等于隨機(jī)變量在這個區(qū)間內(nèi)取值的概率第19頁/共70頁第18頁/共70頁20第20頁/共70頁第19頁/共70頁21區(qū)別錯誤與誤差的閥值隨機(jī)變量X在區(qū)間（x1x2）之間的概率為則函數(shù)是連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)如果就得正態(tài)分布第21頁/共70頁第20頁/共70頁22

三、極限誤差第22頁/共70頁第21頁/共70頁23第23頁/共70頁第22頁/共70頁24但大多數(shù)被觀測對象的真值不知，任何評定觀測值的精度，即：

=？m=？尋找最接近真值的值x§6-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值第24頁/共70頁第23頁/共70頁25集中趨勢的測度（最優(yōu)值）中位數(shù)：設(shè)把n個觀測值按大小排列，這時位于最中間的數(shù)就是“中位數(shù)”。眾數(shù)：在n個數(shù)中，重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)就是“眾數(shù)”。切尾平均數(shù)：去掉lmax,lmin以后的平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解第25頁/共70頁第24頁/共70頁26一、算術(shù)平均值：滿足最小二乘原則的最優(yōu)解第26頁/共70頁第25頁/共70頁27證明（x是最或然值）

將上列等式相加，并除以n,得到

第27頁/共70頁第26頁/共70頁28二、觀測值的改正值若被觀測對象的真值不知，則取平均數(shù)為最優(yōu)解x改正值的特性定義改正值似真差滿足最小二乘原則的最優(yōu)解最小二乘第28頁/共70頁第27頁/共70頁29§6-4觀測值的精度評定標(biāo)準(zhǔn)差可按下式計算中誤差第29頁/共70頁第28頁/共70頁30證明將上列左右兩式相減，得第30頁/共70頁第29頁/共70頁31分別取平方第31頁/共70頁第30頁/共70頁32取和對代入前式第32頁/共70頁第31頁/共70頁33計算標(biāo)準(zhǔn)差例子第33頁/共70頁第32頁/共70頁34小結(jié)一、已知真值X，則真誤差一、真值不知，則二、中誤差二、中誤差第34頁/共70頁第33頁/共70頁35§6-5誤差傳播定律已知：mx1,mx2,……mxn求：my=?y=?

第35頁/共70頁第34頁/共70頁36觀測值函數(shù)的中誤差

——誤差傳播定律一.觀測值的函數(shù)例：高差平均距離實地距離三角邊和或差函數(shù)線性函數(shù)倍數(shù)函數(shù)一般函數(shù)坐標(biāo)增量一般函數(shù)……第36頁/共70頁第35頁/共70頁37二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?第37頁/共70頁第36頁/共70頁38二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和(差)函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和第38頁/共70頁第37頁/共70頁39二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和第39頁/共70頁第38頁/共70頁40二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?第40頁/共70頁第39頁/共70頁41二、幾種常用函數(shù)的中誤差（一）和差函數(shù)已知：mx,my,

求：mz=?和第41頁/共70頁第40頁/共70頁42二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?和平方第42頁/共70頁第41頁/共70頁43二、幾種常用函數(shù)的中誤差（二）倍乘函數(shù)已知：mx,求：mz=?第43頁/共70頁第42頁/共70頁44解：例量得地形圖上兩點間長度=168.5mm0.2mm,

計算該兩點實地距離S及其中誤差ms：列函數(shù)式中誤差式第44頁/共70頁第43頁/共70頁45二、幾種常用函數(shù)的中誤差（三）線性函數(shù)已知：mxi,求：mz=?第45頁/共70頁第44頁/共70頁46（三）線性函數(shù)特殊xi為獨立觀測值第46頁/共70頁第45頁/共70頁47例6距離誤差例：對某距離用精密量距方法丈量六次，求①該距離的算術(shù)平均值；②觀測值的中誤差；③算術(shù)平均值的中誤差；④算術(shù)平均值的相對中誤差：凡是相對中誤差，都必須用分子為1的分?jǐn)?shù)表示。第47頁/共70頁第46頁/共70頁48二.誤差傳播定律(四)一般函數(shù)的中誤差公式——誤差傳播定律設(shè)有函數(shù)xi為獨立觀測值對上式線性化第48頁/共70頁第47頁/共70頁49中誤差關(guān)系式：小結(jié)第一步：寫出函數(shù)式第二步：寫出全微分式(線性化)第三步：寫出中誤差關(guān)系式注意：只有自變量微分之間相互獨立才可以進(jìn)一步寫出中誤差關(guān)系式。第49頁/共70頁第48頁/共70頁50觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

觀測值函數(shù)中誤差公式匯總

函數(shù)式函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù)

和差函數(shù)

線性函數(shù)

算術(shù)平均值

第50頁/共70頁第49頁/共70頁51例已知某矩形長a=500米，寬b=400米,ma=mb=0.02cm，求矩形的面積中誤差mp。三、幾種常用函數(shù)的中誤差求觀測值函數(shù)中誤差的步驟：(1)列出函數(shù)式；(2)對函數(shù)式線性化(全微分)；(3)套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。第51頁/共70頁第50頁/共70頁52例題已知

有求：錯誤第52頁/共70頁第51頁/共70頁53例題已知

有；求：第53頁/共70頁第52頁/共70頁54觀測值：斜距S和豎直角v待定值：水平距離DSvhD§6-6誤差傳布定律

應(yīng)用舉例第54頁/共70頁第53頁/共70頁55§6-6誤差傳播定律應(yīng)用

觀測值：斜距S和豎直角v待定值：高差hSvhD第55頁/共70頁第54頁/共70頁56誤差傳播定律

應(yīng)用舉例算術(shù)平均值已知：m1=m2=….=mn=m求：mx第56頁/共70頁第55頁/共70頁57算例：用三角形閉合差求測角中誤差第57頁/共70頁第56頁/共70頁58誤差傳播定律的應(yīng)用解：由題意：每個角的測角中誤差：由于DJ6一測回角度中誤差為：由角度測量n測回取平均值的中誤差公式：例：要求三角形最大閉合差

，問用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形每個內(nèi)角時須用幾個測回？

用DJ6經(jīng)緯儀觀測三角形內(nèi)角時，每個內(nèi)角觀測4個測回取平均，可使得三角形閉合差。第58頁/共70頁第57頁/共70頁59DMPxyXYO由誤差傳播定律：解：P點的點位中誤差：例9：已知直線MP的坐標(biāo)方位角=722000，水平距離D=240m。如已知方位角中誤差，距離中誤差，求由此引起的P點的坐標(biāo)中誤差、，以及P點的點位中誤差。第59頁/共70頁第58頁/共70頁60§6-7加權(quán)平均數(shù)及其中誤差現(xiàn)有三組觀測值，計算其最或然值A(chǔ)組：123.34,123.39,123.35B組：123.31,123.30,123.39,123.32C組：123.34,123.38,123.35,123.39,123.32各組的平均值

A組：

123.360B組：123.333C組：123.356

=?第60頁/共70頁第59頁/共70頁61加權(quán)平均數(shù)

各組的平均及其權(quán)

A組：123.360權(quán)PA=3B組：123.333PB=4C組：123.356PC=5(

)()()第61頁/共70頁第60頁/共70頁62一、權(quán)與中誤差平均數(shù)的權(quán)pA=3平均數(shù)的中誤差m——單位權(quán)中誤差權(quán)與誤差的平方成反比第62頁/共70頁第61頁/共70頁63二、加權(quán)平均數(shù)第63頁/共70頁第62頁/共70頁64三、加權(quán)平均值的中誤差

第64頁/共70頁第63頁/共70頁65四、單位權(quán)中誤差的計算如果m可以用真誤差j計算，則如果m要用改正數(shù)v計算，則第65頁/共70頁第64頁/共70頁66加權(quán)平均值標(biāo)準(zhǔn)差的算例第66頁/共70頁第65頁/共70頁67例：對某水平角進(jìn)行了三組觀測，各組分別觀測2，4，6測回計算該水平角的加權(quán)平均值。加權(quán)平均值的計算

組號測回數(shù)各組平均值L權(quán)

P

LPL表5-5加權(quán)平均值：12