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河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理PAGEPAGE14河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題理(時(shí)間:120分鐘,滿分:150分)一.選擇題(本題共12小題,每題5分,共60分。每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)1.已知集合,,則A. B. C. D.2.復(fù)數(shù),,且為純虛數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.定義符號(hào)函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次,則2次點(diǎn)數(shù)之和為6的概率為A. B. C. D.5.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是(1)若命題,,則,;(2)命題“在中,,則”為真命題;(3)設(shè)是公比為的等比數(shù)列,則“”是“為遞增數(shù)列”的充分必要條件;(4)中,若,則為真命題.A.0 B.1 C.2 D.36.若,則A. B. C.1 D.327.若變量,滿足約束條件,則的最大值為A.3 B.4 C.5 D.68.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某四棱錐的三視圖,則該四棱錐的外接球的表面積為A.B.C. D.9.設(shè),,若是與的等比中項(xiàng),則的最小值為A.B.8C.9 D.1010.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若使(a)(b)成立的、有,則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸的是A. B. C. D.11.若,則A.B.C.D.12.如圖,在邊長(zhǎng)為2的正方形中,線段的端點(diǎn),分別在邊,上滑動(dòng),且.現(xiàn)將△,△分別沿,折起使點(diǎn),重合,重合后記為點(diǎn),得到三棱錐.則以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為①平面;②的取值范圍為;③當(dāng),分別為,的中點(diǎn)時(shí),三棱錐的外接球的表面積為;④三棱錐體積的最大值為.A.1 B.2 C.3 D.4二.填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.向量,滿足,,且,則向量與的夾角的大小為.14.函數(shù),若(5),則.15.已知平面四邊形由與等邊拼接而成,其中,則平面四邊形面積的最大值為.16.已知數(shù)列共16項(xiàng),且,.記關(guān)于的函數(shù),.若是函數(shù)的極值點(diǎn),且曲線在點(diǎn),處的切線的斜率為15.則滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。)17.(本小題滿分12分)在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若的面積為,且,求的周長(zhǎng).18.(本小題滿分12分)各項(xiàng)均正的數(shù)列前項(xiàng)和為,是與的等差中項(xiàng).(Ⅰ)證明:為等差數(shù)列,并求;(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求滿足的最小正整數(shù)的值.19.(本小題滿分12分)四棱錐與直四棱柱組合而成的幾何體中,四邊形是菱形,,,,,交于,平面,為的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面(Ⅱ)動(dòng)點(diǎn)在線段上(包括端點(diǎn)),若二面角一一的余弦值為,求的長(zhǎng)度.20.(本小題滿分12分)2019年,受非洲豬瘟影響,全國(guó)豬肉價(jià)格大幅上漲月份全國(guó)居民消費(fèi)指數(shù)同比上漲,創(chuàng)七年新高,某學(xué)習(xí)調(diào)查小組為研究某市居民對(duì)豬肉市場(chǎng)的信心程度,對(duì)當(dāng)?shù)?00名居民在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)豬肉價(jià)格上漲幅度的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查,得到如圖所示的頻率分布直方圖:(Ⅰ)求圖中的值,并估算該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值;(Ⅱ)將豬肉價(jià)格上漲幅度預(yù)期值在,和,的居民分別定義為對(duì)市場(chǎng)“信心十足型"和“信心不足型”,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中位于這兩個(gè)區(qū)間的居民中隨機(jī)抽取6名,再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3名進(jìn)行跟蹤調(diào)查,記表示這三人中“信心十足型"的人數(shù),求的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.21.(本小題滿分12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(二)選考題(共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做第一題計(jì)分)22.在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到曲線,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)寫(xiě)出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn),(以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo),,,使點(diǎn)、到的距離都為3?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.23.已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)設(shè)函數(shù)的最小值為,已知正實(shí)數(shù),,且,證明:.河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020——2021學(xué)年上期期中答案高三理科數(shù)學(xué)一.選擇題(本題共12小題,每題5分,共60分.每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的)題號(hào)123456789101112答案CABCBDBBBDCC二.填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13、14、-515、16、1176三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。)17。(本小題滿分12分)解:(Ⅰ),由余弦定理可得,-——--——-—--————2分,——-——-—--———————-—-——--—--——-———-—-—3分在中,.———-——-—-—--—--—-—-———-—-———-—-—-——--————5分(Ⅱ)的面積為,即,,———-———--————-7分又,由正弦定理可得,————————-——-——-——--——-—--—-—-—--—-9分,,則,,——--——-—-—————————-—-—-—--—11分的周長(zhǎng)為.—-———-———--———-—--————-—-—--—-——-—-—————-—-——-12分(本小題滿分12分)解:(1)證明:由是與的等差中項(xiàng),可得,當(dāng)時(shí),,解得舍去),—--—-—-————--———-——-——————-—--2分當(dāng)時(shí),,可得,化為,即,—————--———-——-—-——————--——-——4分則為首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,由,可得,;—--————--———-—-—--—-——-—-———-————-——-—-6分(2),-—-——-———————--————-——————-——-—8分,——--—-—-——--——-10分,即,解得,則滿足的最小正整數(shù)的值為35.—-—--———-——-——-———--—-————-———-12分19.(本小題滿分12分)解:解:矩形中,,,,,————--—-——-——-—--——-—--——-———--——-——--—-———————--—-—-1分因?yàn)榱庑?,且,所以,所以為正三角?為中點(diǎn),所以,—-—————--—-—--——-—————--—--—--—-—-————-————-——-—--——-—-3分所以平面,所以,又,所以平面;———-—-————-———-——--———-————--—--—-——-—————--—-5分以為原點(diǎn),,,分別為,,軸建立空間直角坐標(biāo)系,,0,,,1,,,0,,設(shè),0,,則,,,--———————-—-———-——-————-———-———--—-——-—————-—--—-————--—-——-————————--—7分設(shè)平面法向量為,由,得,——————————-—-—8分設(shè)平面的法向量為由,得,—--————-—--—-—————10分所以,化簡(jiǎn)得,故,與重合,.-——-———--—--——————-————-——--——--——12分20(本小題滿分12分)解:(1)由直方圖知,解得.設(shè)該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為,則,所以該市居民對(duì)豬肉價(jià)格上漲幅度的平均心理預(yù)期值為.—-—-—-——-—————-4分(2)由題意,樣本中,“信心十足型”型居民有人.“信心不足型"型居民有人.由分層抽樣的定義可知“信心十足型"居民抽取4人,“信心不足型”居民抽取2人.—————-————————-——-——-—————————-——-——-—-———————-—--—-—-——--—-—--—-——-—--——————6分則的可能取值為1,2,3,,,,故的分布列為1230.20。60。2——--———-—————————-—————-—--—--————————-—--——--———--——-—-————-———————10分,.—-——-—-———--——-———--—--——-——-12分21(本小題滿分12分)解:(1)當(dāng)時(shí),,,,令,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,;———————--—————-——4分(2)當(dāng)時(shí),,由于成立,即成立,等價(jià)于成立,—————--—————-——--—-——-———6分令,,令,,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,(1),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,,即恒成立,-—-——-—-—-—————-——-——-—-———--—-———-—-—--—-——-—9分令,,,令,解得,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減,(e),——-—————————-—————-—————-———-———-——--———--11分,故實(shí)數(shù)的取值范圍為,.—-—-—--—-——-——————————--—-—-———-—--——12分(二)選考題(共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做第一題計(jì)分)22.解:(1)由曲線的參數(shù)方程為可得其直角坐標(biāo)方程為,———--———-—-————-——-—-———--—————-————-————————--————--———--—-———-—--————-————-—1分將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變),得到曲線的直角坐標(biāo)方程為,其極坐標(biāo)方程為,-———-—-———-——————--———-————-——--———--—————3分又直線的極坐標(biāo)方程為,故其直角坐標(biāo)方程為;--—--—--—-——————--—-———————-—-——--——-—--—-————-———--—-—--—-———-———--————-—————-—-——5分(2)曲線是以為圓心,4為半徑的圓,圓心到直線的距離為,存在這樣的點(diǎn),,則,且點(diǎn)到直線的距離為,,.—-—-—-——————————--—-——--—-——--——--—-—-——————-———--——————————--10分23。解:(Ⅰ)由,得不等式,當(dāng)時(shí),不等式可化為
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