課件匯總附案例-9.0模型及解分析檢驗

1.9模型及解的分析檢驗求解數(shù)學模型

實際問題分析建立數(shù)學模型模型與模型解的分析及檢驗

始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界數(shù)學建模工作最終要得到現(xiàn)實問題的解答

求出模型的數(shù)學解以后，應對解的意義進行分析、檢驗一、模型解分析常需討論以下類似問題：1.這個解說明了什么問題？2.是否達到了建模目的？3.模型的適用范圍怎樣？4.所建模型是否合理？是否合乎實際？是否有原理性錯誤、常識性錯誤？……

例1.9.1P65《格列佛游記》中小人國的小人們?yōu)楣浪愀窳蟹鸬氖沉?，利用身體的相似性，建立了一個數(shù)學模型.

W=aH3

W是人的體重，H

是人的身高.檢驗先確定參數(shù)a，新生嬰兒身長約50厘米，重約3千克,代入模型得

得模型為

W=24H3

這是一個適用于肥胖人群的體重－身高模型,據(jù)此可計算得

身高為1.5米的兒童體重為

W(1.5)=81(千克)；身高為2米的運動員體重為

W(2)=192(千克).檢驗模型及其解是數(shù)學建模工作的重要環(huán)節(jié)

例1.9.2(P66)將一塊石頭扔進洞中估計洞的深度.一名學生建立了從扔下石頭到聽到聲音的時間

t和洞深

h的關系模型：h—洞深，t—聽到回聲的時間.用到假設：其中k為比例系數(shù).*1

石頭下降時所受空氣的阻力和速度成正比;*2

阻力產(chǎn)生的加速度也和速度成正比.系列分析檢驗：1.檢查模型的量綱是否正確?

應用量綱齊次原則對數(shù)學模型和模型的解進行量綱一致性檢驗.

參見律師辯護問題P89~92此例中根據(jù)比例系數(shù)k

的定義有

LT－2=[k]LT－1

[k]=T－1

量綱齊次原則:任一有意義的物理方程必定是量綱一致的,即有

[左邊]=[右邊]

注意到exp(－kt)是無量綱量，驗證得模型的量綱正確.

2.檢驗模型是否與物理定律相符?

若忽略空氣阻力（即k=0）,應有

h=0.5gt2

驗證模型是否與此物理定律相符.能否將k=0代入模型？參見講義P66.3.參數(shù)的靈敏度分析取參數(shù)

k的值為0.05(克/秒),可算得即若回聲在4秒聽到，模型測算出洞深73.50米.

若參數(shù)k有微小變化，測算值會怎樣變化？令k=0.045,

參數(shù)的相對變化幅度為︱0.045－0.05︱/0.05=10%，

計算得

h2=h(4)≈73.98，洞深預測值相對變化幅度為

（73.5－73.89）/73.5＜1%.

怎樣解釋這兩個數(shù)據(jù)？？

說明模型對空氣阻力比例系數(shù)k不敏感,即對洞深預測影響不大,可忽略空氣阻力.

問題在模型中完全不考慮空氣影響？4.進一步分析空氣的影響

若完全忽略空氣的影響,有

h1=h(4)=0.5gt2=0.5×9.81×42≈78.48(米)，絕對誤差為

78.48－73.50≈5(米)，相對誤差為（78.48－73.50）/73.50≈7%，結果分析

說明被忽略的空氣因素對模型解產(chǎn)生較明顯的影響.空氣空氣阻力？

事實上，

模型中用到隱含假設：石頭撞擊地面的聲音能立即聽到.未考慮聲音在空氣中的傳播速度.

傳播速度大約為330米／秒

,則石頭著地聲音的傳播時間大約為取修正時間為

t=4－0.223=3.777（秒）

可得

h(3.777)≈65.77(米)h／330≈73.5／330≈0.223（秒）

結論

聲速的影響遠甚于空氣阻力的影響.

通過對模型的分析、檢驗，發(fā)現(xiàn)由于模型假設不合理,考慮因素不合適,造成模型不合理.需重新進行問題的前期分析工作數(shù)學建模過程分為若干有明顯差別的階段性工作

求解數(shù)學模型

實際問題分析建立數(shù)學模型提交論文與報告

模型及模型解的分析及檢驗

1.

量綱一致性檢驗；2.

假設的合理性檢驗；3.

對模型參數(shù)的靈敏度分析；4.

模型及模型解的誤差分析，分析誤差及誤差的來源等；5.

參數(shù)或變量的臨界值；……

模型與模型解的分析與檢驗，通常需要做以下幾類工作：

1．模型誤差的客觀存在性希望建立的模型盡善盡美：

能“逼真”地模擬現(xiàn)實系統(tǒng)；

能“精確”地預測系統(tǒng)的未來情況；

能“準確”地控制系統(tǒng)；

得到問題的“最優(yōu)”解；…良好愿望

二、模型誤差分析逼真、精確、準確、最優(yōu)、…

數(shù)學模型是對現(xiàn)實世界的理想化，不可能是真實世界的再現(xiàn)

任何數(shù)學模型在建立和使用的過程中，不可避免的產(chǎn)生模型誤差.

如：附加進數(shù)據(jù)測量誤差,舍入誤差和截斷誤差等.有必要對模型誤差進行分析，并給出估計.

常用“絕對誤差”和“相對誤差”來衡量誤差的大小程度：

絕對誤差=測量值－近似值相對誤差=絕對誤差/測量值與數(shù)量級有關

例1.19.3用經(jīng)驗公式

作為土豆產(chǎn)量的近似估計公式,其誤差數(shù)值列表如下（參見p168表7.6）0.0010.0641.201960.0622.5638.4898－0.06－2.0334.50240.06相對誤差1.96絕對誤差

31.50施肥量

問題

如何評價誤差數(shù)據(jù)？2．誤差分析各類誤差

數(shù)據(jù)測量誤差

截斷誤差

模型假設誤差

1）數(shù)據(jù)測量誤差*在建立模型之前應該盡量控制實驗數(shù)據(jù)的質(zhì)量,使之測量準確可靠.

*數(shù)據(jù)帶有無法消除的測量誤差時,應分析它對模型造成的影響,并對模型誤差進行估計.例1.19.4儲油罐的變位識別與罐容表標定(2010A)通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況.油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口地平線2m6m1m1m3m油位高度圖1儲油罐正面示意圖油位探針油位探針α地平線圖2儲油罐縱向傾斜變位后示意圖油油浮子出油管油位探測裝置注油口檢查口水平線工作:已確定罐容表的基礎上用油位計來測量罐內(nèi)油位高度數(shù)據(jù),利用罐容表進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況.罐容表：罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應關系.問題:若油位計測量罐內(nèi)油位測量高度有誤差,對問題的解決會產(chǎn)生什么影響?hh+Δh例1.19.5有高為100厘米的半球形容器中裝滿了水.從某一時刻開始，水從底部一個橫截面積為1平方厘米的小孔流出，可以隨時測出水面高度h.由水力學知，水從孔口流出的流量（即通過孔口橫截面的水的體積V對時間t的變化率)Q，有關系式

其中0.62為流量系數(shù),S是小孔口橫截面積，g為重力加速度.

由測出的水面高度h,可算得水流量,由于儀器所限，測出的高度值有±

0.1厘米的誤差,這會引起水流量Q的多大誤差？

100h水面高度h有誤差Δh

分析

水面高度誤差為Δh

,水流量誤差則為

在

h=50厘米處,代入Δh=0.1厘米,可算得絕對誤差為

相對誤差為在h=50厘米處的相對誤差為約為1‰.2)截斷誤差截斷誤差的來源：

1.用數(shù)值方法近似求解會產(chǎn)生截斷誤差；

2.函數(shù)近似產(chǎn)生截斷誤差；3.計算機運算的精度誤差；

應分析截斷誤差對模型的影響

續(xù)例1.8.4廣義生日問題求最小的整數(shù)n，使

f(n)≤q(給定)

利用求根法對不同x算出n

的最小值n*，見表(P170表7.7)的前兩列,建立經(jīng)驗公式為建立滿足f(n)≤q(q=0.5)的最小值n*與x

之間的關系式.

方法一（最小二乘法）方法二泰勒近似建立泰勒近似公式為練習對兩種近似求解方法,計算各個近似值的絕對誤差和相對誤差.泰勒近似式的誤差控制函數(shù)注意到f(n)和g(n)都是單調(diào)下降函數(shù),選擇n*使g(n*)≥q≥g(n*+1)≥f(n*+1)，又若f(n*)≥q，則n*或n*＋1就是整數(shù)n滿足f(n)＜q的最小值.g(n)f(n)qn*n*+1若f(n*)=qf(n)≤q

，當n≥n*；若

f(n*)＞q對最小值n*點有當n≥n*+1.

f(n*)＞q≥g(n*+1)≥f(n*+1)≥f(n)，3)模型假設誤差續(xù)例1.5.3施肥效果分析有人做了如下兩條假設：

*1在實驗中除施肥量,其他影響因子:如環(huán)境條件,種植密度,土壤肥力等,均處于同等水平；是用g(n)代換f(n)的誤差控制函數(shù),比值越接近于零，誤差越小.*2各次實驗獨立,誤差項ε均服從N(0,σ2).分析：從數(shù)據(jù)可見在實驗點實際重復了三次試驗.問題：三次試驗的土豆產(chǎn)量分別為43.15，41.26，38.43（單位：t/ha）第七試驗水平

按照假設這3次重復試驗產(chǎn)生的產(chǎn)量波動完全因隨機誤差所致.如何解釋這3個數(shù)據(jù)的波動？并且土豆產(chǎn)量滿足回歸方程合理嗎？分析：由3個數(shù)據(jù)計算得

現(xiàn)30個試驗數(shù)據(jù)絕大多數(shù)落在區(qū)間(33.82,48.07)之內(nèi)

由施肥水平變化所引起的土豆產(chǎn)量的變動幅度不及隨機誤差產(chǎn)生的波動幅度大

.不合理不合理的原因：實際上三次重復試驗帶有系統(tǒng)誤差主要來源于土壤肥力,生長期的管理措施等多種試驗時的外界條件變化.

試驗設計中，將試驗實施過程中外界環(huán)境條件的差異所造的系統(tǒng)偏差稱為區(qū)組效應.

施肥問題中,對應于每種營養(yǎng)素的10個施肥試驗點,應并為一個區(qū)組.

可認為區(qū)組內(nèi)10次試驗的試驗條件較為一致,而不同區(qū)組間的試驗條件差別較大.

由有區(qū)組效應的數(shù)據(jù)不可能分析出各個肥素對土豆產(chǎn)量的交互作用.

利用數(shù)據(jù)建立模型應盡量消除區(qū)組效應

通過試驗設計，保證數(shù)據(jù)質(zhì)量.例1.5.3施肥效果分析

某地區(qū)作物生長所需的營養(yǎng)素主要是氮(N)、鉀(K)、磷(P).某作物研究所在某地區(qū)對土豆與生菜做了一定數(shù)量的實驗,實驗數(shù)據(jù)如下列表所示,其中ha表示公頃,……當一個營養(yǎng)素的施肥量變化時,總將另兩個營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個水平上,如對土豆產(chǎn)量關于N的施肥量做實驗時,P與K的施肥量分別取為196kg／ha與372kg／ha.施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)015.183421.366725.7210132.2913534.0320239.4525943.1533643.4640440.8347130.75施肥量(kg/