時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)學(xué)模型

第九章

時(shí)間序列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)隨機(jī)時(shí)間序列分析模型協(xié)整分析與誤差修正模型§9.1時(shí)間序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型二、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性三、平穩(wěn)性的圖示判斷四、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經(jīng)典回歸模型

⒈常見的數(shù)據(jù)類型到目前為止，經(jīng)典計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型常用到的數(shù)據(jù)有：時(shí)間序列數(shù)據(jù)（time-seriesdata)截面數(shù)據(jù)(cross-sectionaldata)平行/面板數(shù)據(jù)（paneldata/time-seriescross-sectiondata)★時(shí)間序列數(shù)據(jù)是最常見，也是最常用到的數(shù)據(jù)⒉經(jīng)典回歸模型與數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性經(jīng)典回歸分析暗含著一個(gè)重要假設(shè)：數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計(jì)推斷基礎(chǔ)——“一致性”要求——被破懷。經(jīng)典回歸分析的假設(shè)之一：解釋變量X是非隨機(jī)變量依概率收斂：(2)放寬該假設(shè)：X是隨機(jī)變量，則需進(jìn)一步要求：(1)X與隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)∶Cov(X,)=0

第（2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的“一致性”特性：第（1）條是OLS估計(jì)的需要▲如果X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)（如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足“一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。因此：注意：在雙變量模型中：

表現(xiàn)在:兩個(gè)本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。例如：如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。⒊數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn)“虛假回歸”問題在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。這樣，仍然通過經(jīng)典的因果關(guān)系模型進(jìn)行分析，一般不會(huì)得到有意義的結(jié)果。

時(shí)間序列分析模型方法就是在這樣的情況下，以通過揭示時(shí)間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論。時(shí)間序列分析已組成現(xiàn)代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的重要內(nèi)容，并廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測當(dāng)中。二、時(shí)時(shí)間序序列數(shù)數(shù)據(jù)的的平穩(wěn)穩(wěn)性定義：：假定某某個(gè)時(shí)時(shí)間序序列是是由某某一隨機(jī)過過程（stochasticprocess）生成成的，，即假假定時(shí)時(shí)間序序列{Xt}（t=1,2,……）的每每一個(gè)個(gè)數(shù)值值都是是從一一個(gè)概概率分分布中中隨機(jī)機(jī)得到到，如如果滿滿足下下列條條件：：1）均值值E(Xt)=是與時(shí)時(shí)間t無關(guān)的的常數(shù)數(shù)；2）方差差Var(Xt)=2是與時(shí)時(shí)間t無關(guān)的的常數(shù)數(shù)；3）協(xié)方方差Cov(Xt,Xt+k)=k是只與時(shí)時(shí)期間間隔k有關(guān)，，與時(shí)時(shí)間t無關(guān)的的常數(shù)數(shù)；則稱該該隨機(jī)機(jī)時(shí)間間序列列是平穩(wěn)的的（stationary)，而該該隨機(jī)機(jī)過程程是一一平穩(wěn)隨隨機(jī)過過程（stationarystochasticprocess）。．一個(gè)最最簡單單的隨隨機(jī)時(shí)時(shí)間序序列是是一具具有零零均值值同方方差的的獨(dú)立立分布布序列列：Xt=t，t~N(0,2)該序列列常被被稱為為是一一個(gè)白噪聲聲（whitenoise）。由于Xt具具有相相同的的均值值與方方差，，且協(xié)協(xié)方差差為零零,由由定義義,一個(gè)白白噪聲聲序列列是平平穩(wěn)的的。．另一個(gè)個(gè)簡單單的隨隨機(jī)時(shí)時(shí)間列列序被被稱為為隨機(jī)游游走（（randomwalk）），該序列列由如如下隨隨機(jī)過過程生生成：：Xt=Xt-1+t這里，，t是一個(gè)個(gè)白噪噪聲。。容易知知道該該序列列有相相同的的均值值：E(Xt)=E(Xt-1)為了檢檢驗(yàn)該該序列列是否否具有有相同同的方方差，，可假假設(shè)Xt的的初值值為X0，，則易易知:X1=X0+1X2=X1+2=X0+1+2………Xt=X0+1+2+…+t由于X0為常數(shù)數(shù)，t是一個(gè)個(gè)白噪噪聲，，因此此:Var(Xt)=t2即Xt的方差差與時(shí)時(shí)間t有關(guān)而而非常常數(shù)，，它是是一非非平穩(wěn)穩(wěn)序列列。然而而，，對(duì)對(duì)X取取一階階差差分分（firstdifference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于于t是一一個(gè)個(gè)白白噪噪聲聲，，則則序序列列{Xt}是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。后面面將將會(huì)會(huì)看看到到:如果果一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的，，它它常常常常可可通通過過取取差差分分的的方方法法而而形形成成平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列。事實(shí)實(shí)上上，，隨機(jī)機(jī)游游走走過過程程是下下面面我我們們稱稱之之為為1階階自自回回歸歸AR(1)過過程程的特特例例:Xt=Xt-1+t不難難驗(yàn)驗(yàn)證證:1)||>1時(shí)時(shí)，，該該隨隨機(jī)機(jī)過過程程生生成成的的時(shí)時(shí)間間序序列列是是發(fā)發(fā)散散的的，，表表現(xiàn)現(xiàn)為為持持續(xù)續(xù)上上升升(>1)或或持持續(xù)續(xù)下下降降(<-1)，，因因此此是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的；；2)=1時(shí)時(shí)，，是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)游游走走過過程程，，也也是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。§9.2中中將將證證明明:只有有當(dāng)當(dāng)-1<<1時(shí)，，該該隨隨機(jī)機(jī)過過程程才才是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。1階階自自回回歸歸過過程程AR(1)又是是如如下下k階階自自回回歸歸AR(K)過過程程的特特例例：：Xt=1Xt-1+2Xt-2…+kXt-k該隨隨機(jī)機(jī)過過程程平平穩(wěn)穩(wěn)性性條條件件將將在在第第二二節(jié)節(jié)中中介介紹紹。。三、、平平穩(wěn)穩(wěn)性性檢檢驗(yàn)驗(yàn)的的圖圖示示判判斷斷給出出一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)時(shí)時(shí)間間序序列列，，首首先先可可通通過過該該序序列列的的時(shí)間間路路徑徑圖圖來粗粗略略地地判判斷斷它它是是否否是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。一個(gè)個(gè)平穩(wěn)穩(wěn)的的時(shí)時(shí)間間序序列列在圖圖形形上上往往往往表表現(xiàn)現(xiàn)出出一一種種圍圍繞繞其其均均值值不不斷斷波波動(dòng)動(dòng)的的過過程程。。而非平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列則往往往往表表現(xiàn)現(xiàn)出出在在不不同同的的時(shí)時(shí)間間段段具具有有不不同同的的均均值值（（如如持持續(xù)續(xù)上上升升或或持持續(xù)續(xù)下下降降））。。進(jìn)一一步步的的判判斷斷:檢驗(yàn)驗(yàn)樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)及及其其圖圖形形定義義隨隨機(jī)機(jī)時(shí)時(shí)間間序序列列的的自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)（autocorrelationfunction,ACF）如如下下：k=k/0自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)是是關(guān)關(guān)于于滯滯后后期期k的的遞遞減減函函數(shù)數(shù)(Why?)。。實(shí)際際上上,對(duì)對(duì)一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)過過程程只只有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)（（樣樣本本）），，因因此此，，只只能能計(jì)計(jì)算算樣本本自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)（Sampleautocorrelationfunction））。。一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)間間序序列列的的樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)定定義義為為：：易知知，，隨隨著著k的的增增加加，，樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)下下降降且且趨趨于于零零。。但但從從下下降降速速度度來來看看，，平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列要要比比非非平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列快快得得多多。。注意意:確定定樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)rk某一一數(shù)數(shù)值值是是否否足足夠夠接接近近于于0是是非非常常有有用用的的，，因因?yàn)闉樗煽蓹z驗(yàn)驗(yàn)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)k的真真值值是是否否為為0的的假假設(shè)設(shè)。。Bartlett曾曾證證明明:如如果果時(shí)時(shí)間間序序列列由由白白噪噪聲聲過過程程生生成成，，則則對(duì)對(duì)所所有有的的k>0，，樣樣本本自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)近近似似地地服服從從以以0為為均均值值，，1/n為為方方差差的的正正態(tài)態(tài)分分布布，，其其中中n為為樣樣本本數(shù)數(shù)。。也可可檢檢驗(yàn)驗(yàn)對(duì)對(duì)所所有有k>0，，自自相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)都都為為0的的聯(lián)聯(lián)合合假假設(shè)設(shè)，，這這可可通通過過如如下下QLB統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量進(jìn)進(jìn)行行：：該統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量近近似似地地服服從從自自由由度度為為m的的2分布布（（m為為滯滯后后長長度度））。。因此此:如果果計(jì)計(jì)算算的的Q值值大大于于顯顯著著性性水水平平為為的臨界值值，則有有1-的把握拒拒絕所有有k(k>0)同時(shí)時(shí)為0的的假設(shè)。。序序列Random1是是通過一一隨機(jī)過過程（隨隨機(jī)函數(shù)數(shù)）生成成的有19個(gè)樣樣本的隨隨機(jī)時(shí)間間序列。。容易驗(yàn)證證：該樣本序序列的均均值為0，方差差為0.0789。從圖形看看：它在其樣樣本均值值0附近近上下波波動(dòng)，且且樣本自自相關(guān)系系數(shù)迅速速下降到到0，隨隨后在0附近波波動(dòng)且逐逐漸收斂斂于0。。由于該序序列由一一隨機(jī)過過程生成成，可以以認(rèn)為不不存在序序列相關(guān)關(guān)性，因因此該序列為為一白噪噪聲。根據(jù)Bartlett的理論論：k~N(0,1/19)，因此任一一rk(k>0)的95%的的置信區(qū)區(qū)間都將將是:可以看出出:k>0時(shí)，，rk的值確實(shí)實(shí)落在了了該區(qū)間間內(nèi)，因因此可以以接受k(k>0)為為0的假假設(shè)。同樣地，從QLB統(tǒng)計(jì)量量的計(jì)算算值看，，滯后17期的的計(jì)算值值為26.38，未超超過5%顯著性性水平的的臨界值值27.58，，因此,可以接接受所有有的自相相關(guān)系數(shù)數(shù)k(k>0)都都為0的的假設(shè)。。因此，該隨機(jī)過過程是一一個(gè)平穩(wěn)穩(wěn)過程。。序列Random2是是由一隨隨機(jī)游走走過程Xt=Xt-1+t生成的一一隨機(jī)游游走時(shí)間間序列樣樣本。其其中，第第0項(xiàng)取取值為0，t是由Random1表表示的白白噪聲。。圖形表示示出：該序列具具有相同同的均值值，但從從樣本自自相關(guān)圖圖看，雖雖然自相相關(guān)系數(shù)數(shù)迅速下下降到0，但隨隨著時(shí)間間的推移移，則在在0附近近波動(dòng)且且呈發(fā)散散趨勢。。樣本自相相關(guān)系數(shù)數(shù)顯示：r1=0.48，落落在了區(qū)區(qū)間[-0.4497,0.4497]之外，，因此在在5%的的顯著性性水平上上拒絕1的真值為為0的假假設(shè)。該隨機(jī)游游走序列列是非平平穩(wěn)的。。例9.1.4檢驗(yàn)中國國支出法法GDP時(shí)間序序列的平平穩(wěn)性。表9.1.21978~2000年中中國支出出法GDP（單單位：億億元）圖形：表表現(xiàn)出了了一個(gè)持持續(xù)上升升的過程程，可初步步判斷是非平穩(wěn)穩(wěn)的。樣本自相相關(guān)系數(shù)數(shù)：緩慢慢下降，再次表表明它的的非平穩(wěn)性。從滯后18期的的QLB統(tǒng)計(jì)量量看：QLB(18)=57.18>28.86=20.05拒絕：該時(shí)間間序列的的自相關(guān)關(guān)系數(shù)在在滯后1期之后后的值全全部為0的假設(shè)設(shè)。結(jié)論:1978—2000年年間中國國GDP時(shí)間序序列是非非平穩(wěn)序序列。例9.1.5檢驗(yàn)§2.10中關(guān)于于人均居居民消費(fèi)費(fèi)與人均均國內(nèi)生生產(chǎn)總值值這兩時(shí)時(shí)間序列列的平穩(wěn)穩(wěn)性。原圖樣樣本自自相關(guān)圖圖從圖形上上看：人均居民民消費(fèi)（（CPC）與人人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總總值（GDPPC）是非平穩(wěn)穩(wěn)的。從滯后14期的的QLB統(tǒng)計(jì)量看看：CPC與與GDPPC序序列的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量計(jì)計(jì)算值均均為57.18，超過過了顯著著性水平平為5%時(shí)的臨臨界值23.68。再再次表明它們們的非平平穩(wěn)性。。就此來說說，運(yùn)用用傳統(tǒng)的的回歸方方法建立立它們的的回歸方方程是無無實(shí)際意意義的。。不過，§9.3中將看到到，如果果兩個(gè)非非平穩(wěn)時(shí)時(shí)間序列列是協(xié)整的，則則傳統(tǒng)統(tǒng)的回回歸結(jié)結(jié)果卻卻是有有意義義的，，而這這兩時(shí)時(shí)間序序列恰恰是協(xié)整的。四、平平穩(wěn)性性的單單位根根檢驗(yàn)驗(yàn)（unitroottest）1、DF檢檢驗(yàn)隨機(jī)游游走序序列:Xt=Xt-1+t是非平平穩(wěn)的的，其其中t是白噪噪聲。。而該該序列列可看看成是是隨機(jī)機(jī)模型型:Xt=Xt-1+t中參數(shù)數(shù)=1時(shí)的情情形。。（*））式可可變形形式成成差分分形式式：Xt=(1-)Xt-1+t=Xt-1+t(**)檢驗(yàn)（（*））式是是否存存在單單位根根=1，，也可可通過過（**））式判判斷是是否有有=0。。對(duì)式：：Xt=Xt-1+t（（*））進(jìn)行回回歸，，如果果確實(shí)實(shí)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)=1，，就說說隨機(jī)機(jī)變量量Xt有一一個(gè)單位根根。一般地地:檢驗(yàn)一一個(gè)時(shí)時(shí)間序序列Xt的的平穩(wěn)穩(wěn)性，，可通通過檢檢驗(yàn)帶帶有截截距項(xiàng)項(xiàng)的一一階自自回歸歸模型型：Xt=+Xt-1+t（（*））中的參參數(shù)是否小小于1?；蛘撸海簷z驗(yàn)其其等價(jià)價(jià)變形形式：：Xt=+Xt-1+t（（**）中的參參數(shù)是否小小于0。。在第二二節(jié)中中將證證明，，（*）式式中的的參數(shù)數(shù)>1或或=1時(shí)時(shí)，時(shí)時(shí)間序序列是是非平平穩(wěn)的的;對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于（（**）式式，則則是>0或或=0。因此，，針對(duì)對(duì)式：：Xt=+Xt-1+t我們關(guān)關(guān)心的的檢驗(yàn)驗(yàn)為：零假設(shè)設(shè)H0：：=0。備擇假假設(shè)H1：<0上述檢檢驗(yàn)可可通過過OLS法法下的的t檢檢驗(yàn)完完成。。然而，，在零零假設(shè)設(shè)（序序列非非平穩(wěn)穩(wěn)）下下，即即使在在大樣樣本下下t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量量也是是有偏偏誤的的（向向下偏偏倚）），通通常的的t檢檢驗(yàn)驗(yàn)無法法使用用。Dicky和和Fuller于于1976年年提提出出了了這這一一情情形形下下t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量服服從從的的分分布布（（這這時(shí)時(shí)的的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量稱稱為為統(tǒng)計(jì)計(jì)量量），，即DF分分布布（見見表））。。由于于t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的向向下下偏偏倚倚性性，，它它呈呈現(xiàn)現(xiàn)圍圍繞繞小小于于零零值值的的偏偏態(tài)態(tài)分分布布。。因此此，，可可通通過過OLS法法估估計(jì)計(jì)：：Xt=+Xt-1+t并計(jì)計(jì)算算t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的值值，，與與DF分分布布表表中中給給定定顯顯著著性性水水平平下下的的臨臨界界值值比比較較：：如果果：：t<臨臨界界值值，，則則拒拒絕絕零零假假設(shè)設(shè)H0：=0，，認(rèn)為為時(shí)時(shí)間間序序列列不不存存在在單單位位根根，，是是平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。注意意：：在在不不同同的的教教科科書書上上有有不不同同的的描描述述，，但但是是結(jié)結(jié)果果是是相相同同的的。。例如如：：““如如果果計(jì)計(jì)算算得得到到的的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量的的絕絕對(duì)對(duì)值值大大于于臨臨界界值值的的絕絕對(duì)對(duì)值值，，則則拒拒絕絕ρρ=0””的的假假設(shè)設(shè)，，原原序序列列不不存存在在單單位位根根，，為為平平穩(wěn)穩(wěn)序序列列。。問題題的的提提出出：：在利利用用Xt=+Xt-1+t對(duì)時(shí)間序序列進(jìn)行行平穩(wěn)性性檢驗(yàn)中中，實(shí)際上假定了時(shí)時(shí)間序列列是由具具有白噪噪聲隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)的一階階自回歸歸過程AR(1)生成成的。但在實(shí)際際檢驗(yàn)中中，時(shí)間序序列可能能由更高高階的自自回歸過過程生成成的，或或者隨機(jī)機(jī)誤差項(xiàng)項(xiàng)并非是是白噪聲聲，這樣用OLS法法進(jìn)行估估計(jì)均會(huì)會(huì)表現(xiàn)出出隨機(jī)誤誤差項(xiàng)出出現(xiàn)自相相關(guān)（autocorrelation），導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無無效。2、ADF檢驗(yàn)驗(yàn)另外，如果時(shí)間間序列包包含有明明顯的隨隨時(shí)間變變化的某某種趨勢勢（如上上升或下下降），，則也容容易導(dǎo)致致上述檢檢驗(yàn)中的的自相關(guān)隨隨機(jī)誤差差項(xiàng)問題題。為了保證證DF檢檢驗(yàn)中隨隨機(jī)誤差差項(xiàng)的白白噪聲特特性，Dicky和Fuller對(duì)對(duì)DF檢檢驗(yàn)進(jìn)行行了擴(kuò)充充，形成成了ADF（（AugmentDickey-Fuller）檢檢驗(yàn)。ADF檢檢驗(yàn)是通通過下面面三個(gè)模模型完成成的：模型3中中的t是時(shí)間間變量，代表了時(shí)時(shí)間序列列隨時(shí)間間變化的的某種趨趨勢（如如果有的的話）。。模型1與另兩兩模型的的差別在在于是否否包含有有常數(shù)項(xiàng)項(xiàng)和趨勢勢項(xiàng)。檢驗(yàn)的假假設(shè)都是是：針對(duì)對(duì)H1:<0,檢檢驗(yàn)H0：=0，即即存在一一單位根根。實(shí)際檢驗(yàn)驗(yàn)時(shí)從模模型3開開始，然然后模型型2、模模型1。。何時(shí)檢驗(yàn)驗(yàn)拒絕零零假設(shè)，，即原序序列不存存在單位位根，為為平穩(wěn)序序列，何何時(shí)檢驗(yàn)驗(yàn)停止。。否則，，就要繼繼續(xù)檢驗(yàn)驗(yàn)，直到到檢驗(yàn)完完模型1為止。。檢驗(yàn)原理理與DF檢檢驗(yàn)相同同，只是是對(duì)模型型1、2、3進(jìn)進(jìn)行檢驗(yàn)驗(yàn)時(shí)，有有各自相相應(yīng)的臨臨界值。。給給出了三三個(gè)模型型所使用用的ADF分布布臨界值值表。2.202.182.172.162.162.162.612.562.542.532.522.522.972.892.862.842.832.833.413.283.223.193.183.182550100250500〉500-2.62-2.60-2.58-2.57-2.57-2.57-3.00-2.93-2.89-2.88-2.87-2.86-3.33-3.22-3.17-3.14-3.13-3.12-3.75-3.58-3.51-3.46-3.44-3.432550100250500〉5002-1.60-1.61-1.61-1.61-1.61-1.61-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-1.95-2.26-2.25-2.24-2.23-2.23-2.23-2.66-2.62-2.60-2.58-2.58-2.582550100250500〉50010.100.050.0250.01樣本容量量統(tǒng)計(jì)量模型不不同模型型使用的的ADF分布臨臨界值表表ststat2.392.382.382.382.382.382.852.812.792.792.782.783.253.183.143.123.113.113.743.603.533.493.483.462550100250500〉5002.772.752.732.732.722.723.203.143.113.093.083.083.593.423.423.393.383.384.053.873.783.743.723.712550100250500〉500-3.24-3.18-3.15-3.13-3.13-3.12-3.603.50-3.45-3.43-3.42-3.41-3.95-3.80-3.73-3.69-3.68-3.66-4.38-4.15-4.04-3.99-3.98-3.962550100250500〉50030.100.050.0250.01樣本容容量統(tǒng)計(jì)量量模型續(xù)表：不不同模模型使使用的的ADF分分布臨臨界值值表statbt同時(shí)估估計(jì)出出上述述三個(gè)個(gè)模型型的適適當(dāng)形形式，，然后后通過過ADF臨臨界值值表檢檢驗(yàn)零假設(shè)設(shè)H0：=0。1）只要其其中有有一個(gè)個(gè)模型型的檢檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果拒拒絕了了零假假設(shè)，，就可可以認(rèn)認(rèn)為時(shí)時(shí)間序序列是是平穩(wěn)穩(wěn)的；；一個(gè)簡簡單的的檢驗(yàn)驗(yàn)過程程：2）當(dāng)三個(gè)個(gè)模型型的檢檢驗(yàn)結(jié)結(jié)果都都不能能拒絕絕零假假設(shè)時(shí)時(shí)，則則認(rèn)為為時(shí)間間序列列是非非平穩(wěn)穩(wěn)的。。這里所所謂模型適適當(dāng)?shù)牡男问绞骄褪窃谠诿總€(gè)個(gè)模型型中選選取適適當(dāng)?shù)牡臏蠛蟛罘址猪?xiàng)，，以使使模型型的殘殘差項(xiàng)項(xiàng)是一一個(gè)白白噪聲聲（主主要保保證不不存在在自相相關(guān)））。例9.1.6檢驗(yàn)1978~2000年間間中國國支出出法GDP序列列的平平穩(wěn)性性。1）經(jīng)過償償試，，模型型3取取了2階滯滯后：：通過拉格朗朗日乘乘數(shù)檢檢驗(yàn)（Lagrangemultipliertest）對(duì)隨機(jī)機(jī)誤差差項(xiàng)的的自相相關(guān)性性進(jìn)行行檢驗(yàn)驗(yàn)：LM（（1））=0.92，，LM（2）=4.16，小于5%顯顯著性性水平平下自自由度度分別別為1與2的2分布布的臨臨界值值，可可見不不存在在自相相關(guān)性性，因因此該該模型型的設(shè)設(shè)定是是正確確的。。從的系系數(shù)數(shù)看看，，t>臨臨界界值值，，不不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。。時(shí)間間T的的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量小小于于ADF分分布布表表中中的的臨臨界界值值，，因因此此不能能拒拒絕絕不不存存在在趨趨勢勢項(xiàng)項(xiàng)的的零零假假設(shè)設(shè)。需進(jìn)進(jìn)一一步步檢檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)ＤＰ托?。2））經(jīng)經(jīng)試試驗(yàn)驗(yàn)，，模模型型2中中滯滯后后項(xiàng)項(xiàng)取取2階階：：LM檢檢驗(yàn)驗(yàn)表表明明模模型型殘殘差差不不存存在在自自相相關(guān)關(guān)性性，，因因此此該該模模型型的的設(shè)設(shè)定定是是正正確確的的。。從GDPt-1的的參參數(shù)數(shù)值值看看，，其其t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量為為正正值值，，大大于于臨臨界界值值，不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量小小于于AFD分分布布表表中中的的臨臨界界值值，不能能拒拒絕絕不不存存常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的的零零假假設(shè)設(shè)。。需進(jìn)進(jìn)一一步步檢檢驗(yàn)驗(yàn)?zāi)ＤＰ托?。。3)經(jīng)經(jīng)試試驗(yàn)驗(yàn)，，模模型型1中滯滯后后項(xiàng)項(xiàng)取取2階：LM檢檢驗(yàn)驗(yàn)表表明明模模型型殘殘差差項(xiàng)項(xiàng)不不存存在在自自相相關(guān)關(guān)性性，，因因此此模模型型的的設(shè)設(shè)定定是是正正確確的的。。從GDPt-1的的參參數(shù)數(shù)值值看看，，其其t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量為為正正值值，，大大于于臨臨界界值值，，不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。?？蓴鄶喽ǘㄖ兄袊鴩еС龀龇ǚ℅DP時(shí)時(shí)間間序序列列是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。例檢驗(yàn)驗(yàn)§2.10中中關(guān)關(guān)于于人人均均居居民民消消費(fèi)費(fèi)與與人人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值這這兩兩時(shí)時(shí)間間序序列列的的平平穩(wěn)穩(wěn)性性。。1)對(duì)對(duì)中國國人人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值GDPPC來說說，，經(jīng)經(jīng)過過償償試試，，三三個(gè)個(gè)模模型型的的適適當(dāng)當(dāng)形形式式分分別別為為：：三個(gè)個(gè)模模型型中中參參數(shù)數(shù)的的估估計(jì)計(jì)值值的的t統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量均均大大于于各各自自的的臨臨界界值值，，因因此此不能能拒拒絕絕存存在在單單位位根根的的零零假假設(shè)設(shè)。結(jié)論論：：人均均國國內(nèi)內(nèi)生生產(chǎn)產(chǎn)總總值值（（GDPPC））是是非非平平穩(wěn)穩(wěn)的的。。2））對(duì)對(duì)于于人均均居居民民消消費(fèi)費(fèi)CPC時(shí)間間序序列列來來說說，，三三個(gè)個(gè)模模型型的的適適當(dāng)當(dāng)形形式式為為：三個(gè)模型中中參數(shù)CPCt-1的t統(tǒng)計(jì)量量的值均比比ADF臨臨界值表中中各自的臨臨界值大，不能拒絕該該時(shí)間序列列存在單位位根的假設(shè)設(shè)，因此,可判斷人均均居民消費(fèi)費(fèi)序列CPC是非平平穩(wěn)的。五、單整、、趨勢平穩(wěn)穩(wěn)與差分平平穩(wěn)隨機(jī)過過程隨機(jī)游走序序列Xt=Xt-1+t經(jīng)差分后等等價(jià)地變形形為Xt=t，由于t是一個(gè)白噪噪聲，因此此差分后的序序列{Xt}是平穩(wěn)的的。如果一個(gè)時(shí)時(shí)間序列經(jīng)經(jīng)過一次差差分變成平平穩(wěn)的，就就稱原序列列是一階單整（integratedof1）序列，記為I(1)。。⒈單整一般地，如如果一個(gè)時(shí)時(shí)間序列經(jīng)經(jīng)過d次差分后變變成平穩(wěn)序序列，則稱稱原序列是是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)穩(wěn)時(shí)間序列列?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生生活中:1)只有少少數(shù)經(jīng)濟(jì)指指標(biāo)的時(shí)間間序列表現(xiàn)現(xiàn)為平穩(wěn)的的，如利率等;2)大多數(shù)數(shù)指標(biāo)的時(shí)時(shí)間序列是是非平穩(wěn)的的，如一些價(jià)格格指數(shù)常常常是2階單單整的，以以不變價(jià)格格表示的消消費(fèi)額、收收入等常表表現(xiàn)為1階階單整。大多數(shù)非平平穩(wěn)的時(shí)間間序列一般般可通過一一次或多次次差分的形形式變?yōu)槠狡椒€(wěn)的。但也有一些些時(shí)間序列列，無論經(jīng)經(jīng)過多少次次差分，都都不能變?yōu)闉槠椒€(wěn)的。。這種序列列被稱為非單整的（（non-integrated）。例9.1.8中國支出法法GDP的的單整性。。經(jīng)過試算，，發(fā)現(xiàn)中國支出法法GDP是是1階單整整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋海豪?.1.9中國人均居居民消費(fèi)與與人均國內(nèi)內(nèi)生產(chǎn)總值值的單整性性。經(jīng)過試算，，發(fā)現(xiàn)中國人均國國內(nèi)生產(chǎn)總總值GDPPC是2階單整的的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋海和瑯拥?，CPC也是是2階單整整的，適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑椋海孩糙厔萜椒€(wěn)與與差分平穩(wěn)穩(wěn)隨機(jī)過程程前文已指出出，一些非非平穩(wěn)的經(jīng)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序序列往往表表現(xiàn)出共同同的變化趨趨勢，而這這些序列間間本身不一一定有直接接的關(guān)聯(lián)關(guān)關(guān)系，這時(shí)時(shí)對(duì)這些數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行回回歸，盡管管有較高的的R2，但其結(jié)果果是沒有任任何實(shí)際意意義的。這這種現(xiàn)象我我們稱之為為虛假回歸或偽回歸（spuriousregression）。如：用中國國的勞動(dòng)力力時(shí)間序列列數(shù)據(jù)與美美國GDP時(shí)間序列列作回歸，，會(huì)得到較較高的R2，但不不能認(rèn)為兩兩者有直接接的關(guān)聯(lián)關(guān)關(guān)系，而只只不過它們們有共同的的趨勢罷了了，這種回回歸結(jié)果我我們認(rèn)為是是虛假的。。為了避免這種種虛假回歸的的產(chǎn)生，通常常的做法是引引入作為趨勢勢變量的時(shí)間間，這樣包含含有時(shí)間趨勢勢變量的回歸歸，可以消除除這種趨勢性性的影響。然而這種做法法，只有當(dāng)趨趨勢性變量是是確定性的（deterministic）而非隨機(jī)性的（stochastic）），才會(huì)是有效的的。換言之，如果一個(gè)包含含有某種確定定性趨勢的非非平穩(wěn)時(shí)間序序列，可以通通過引入表示示這一確定性性趨勢的趨勢勢變量，而將將確定性趨勢勢分離出來。。1)如果=1，=0，則（*）式成成為一帶位移的隨隨機(jī)游走過程程：Xt=+Xt-1+t（**）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為隨機(jī)性趨勢（（stochastictrend）?？紤]如下的含含有一階自回回歸的隨機(jī)過過程：Xt=+t+Xt-1+t（*）其中:t是一白噪聲，，t為一時(shí)間間趨勢。2)如果=0，0，則（*）式成為一帶時(shí)時(shí)間趨勢的隨隨機(jī)變化過程程：Xt=+t+t（***）根據(jù)的正負(fù)，Xt表現(xiàn)出明顯的的上升或下降降趨勢。這種種趨勢稱為確定性趨勢（（deterministictrend））。3)如果=1，0，則Xt包含含有確定性與隨機(jī)機(jī)性兩種趨勢勢。判斷一個(gè)非平平穩(wěn)的時(shí)間序序列，它的趨趨勢是隨機(jī)性性的還是確定定性的，可通通過ADF檢檢驗(yàn)中所用的的第3個(gè)模型型進(jìn)行。該模型中已引引入了表示確確定性趨勢的的時(shí)間變量t，即分離出出了確定性趨趨勢的影響。。因此：(1)如果檢檢驗(yàn)結(jié)果表明明所給時(shí)間序序列有單位根根，且時(shí)間變變量前的參數(shù)數(shù)顯著為零，，則該序列顯顯示出隨機(jī)性性趨勢;(2)如果沒沒有單位根，，且時(shí)間變量量前的參數(shù)顯顯著地異于零零，則該序列列顯示出確定定性趨勢。隨機(jī)性趨勢勢可通過差差分的方法法消除例如：對(duì)式式：Xt=+Xt-1+t可通過差分分變換為：：Xt=+t該時(shí)間序列列稱為差分平穩(wěn)過過程（differencestationaryprocess））；確定性趨勢勢無法通過過差分的方方法消除，，而只能通通過除去趨趨勢項(xiàng)消除除例如：對(duì)式式：Xt=+t+t可通過除去去t變換為：：Xt－t=+t該時(shí)間序列列是平穩(wěn)的的，因此稱稱為趨勢平穩(wěn)過過程（trendstationaryprocess）。。最后需要說說明的是，，趨勢平穩(wěn)過過程代表了了一個(gè)時(shí)間間序列長期期穩(wěn)定的變變化過程，，因而用于于進(jìn)行長期期預(yù)測則是是更為可靠靠的。§9.2隨隨機(jī)時(shí)間間序列分析析模型一、時(shí)間序列模模型的基本本概念及其其適用性二、隨機(jī)時(shí)間序序列模型的的平穩(wěn)性條條件三、隨機(jī)時(shí)間序序列模型的的識(shí)別四、隨機(jī)時(shí)間序序列模型的的估計(jì)五、隨機(jī)時(shí)間序序列模型的的檢驗(yàn)說明經(jīng)典計(jì)量經(jīng)經(jīng)濟(jì)學(xué)模型型與時(shí)間序序列模型確定性時(shí)間間序列模型型與隨機(jī)性性時(shí)間序列列模型一、時(shí)間序序列模型的的基本概念念及其適用用性1、時(shí)間序序列模型的的基本概念念隨機(jī)時(shí)間序序列模型（（timeseriesmodeling）是指僅用它它的過去值值及隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)所建建立起來的的模型，其其一般形式式為:Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具體的的時(shí)間序列列模型，需需解決如下下三個(gè)問題題：(1)模型型的具體形形式(2)時(shí)序序變量的滯滯后期(3)隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的的結(jié)構(gòu)例如，取線線性方程、、一期滯后后以及白噪噪聲隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)（t=t），模型將將是一個(gè)1階自回歸歸過程AR(1)：Xt=Xt-1+t，這里，t特指一白噪聲。一般的p階自回歸歸過程AR(p)是Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)(1)如果果隨機(jī)擾動(dòng)動(dòng)項(xiàng)是一個(gè)個(gè)白噪聲(t=t)，則稱(*)式為為一純AR(p)過程（（pureAR(p)process），記為:Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(2)如果果t不是一個(gè)個(gè)白噪聲，，通常認(rèn)為為它是一個(gè)個(gè)q階的移動(dòng)平均（（movingaverage）過過程MA(q)：t=t-1t-1-2t-2--qt-q該式給出了了一個(gè)純MA(q)過程（pureMA(p)process）。將純AR(p)與純純MA(q)結(jié)合，，得到一個(gè)個(gè)一般的自回歸移動(dòng)動(dòng)平均（autoregressivemovingaverage）過程ARMA（p,q）：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q該式表明：：（1）一個(gè)個(gè)隨機(jī)時(shí)間間序列可以以通過一個(gè)個(gè)自回歸移移動(dòng)平均過過程生成，，即該序列可可以由其自自身的過去去或滯后值值以及隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來來解釋。（2）如果果該序列是是平穩(wěn)的，即它的行為為并不會(huì)隨隨著時(shí)間的的推移而變變化，那么我們就就可以通過過該序列過過去的行為為來預(yù)測未未來。這也正是隨隨機(jī)時(shí)間序序列分析模模型的優(yōu)勢勢所在。經(jīng)典回歸模模型的問題題：迄今為止，，對(duì)一個(gè)時(shí)間間序列Xt的變動(dòng)進(jìn)進(jìn)行解釋或或預(yù)測，是是通過某個(gè)個(gè)單方程回回歸模型或或聯(lián)立方程程回歸模型型進(jìn)行的，，由于它們們以因果關(guān)關(guān)系為基礎(chǔ)礎(chǔ)，且具有有一定的模模型結(jié)構(gòu)，，因此也常常稱為結(jié)構(gòu)式模型型（structuralmodel）。2、時(shí)間序序列分析模模型的適用用性然而，如果Xt波波動(dòng)的主要要原因可能能是我們無無法解釋的的因素，如如氣候、消消費(fèi)者偏好好的變化等等，則利用用結(jié)構(gòu)式模模型來解釋釋Xt的變變動(dòng)就比較較困難或不不可能，因因?yàn)橐〉玫孟鄳?yīng)的量量化數(shù)據(jù)，，并建立令令人滿意的的回歸模型型是很困難難的。有時(shí)，即使能估計(jì)出出一個(gè)較為滿滿意的因果關(guān)關(guān)系回歸方程程，但由于對(duì)對(duì)某些解釋變變量未來值的的預(yù)測本身就就非常困難，，甚至比預(yù)測測被解釋變量量的未來值更更困難，這時(shí)時(shí)因果關(guān)系的的回歸模型及及其預(yù)測技術(shù)術(shù)就不適用了了。例如，時(shí)間序列過去去是否有明顯顯的增長趨勢勢，如果增長趨勢勢在過去的行行為中占主導(dǎo)導(dǎo)地位，能否否認(rèn)為它也會(huì)會(huì)在未來的行行為里占主導(dǎo)導(dǎo)地位呢？或者時(shí)間序列列顯示出循環(huán)環(huán)周期性行為為，我們能否利用用過去的這種種行為來外推推它的未來走走向？另一條預(yù)測途途徑：通過時(shí)間序列列的歷史數(shù)據(jù)據(jù)，得出關(guān)于于其過去行為為的有關(guān)結(jié)論論，進(jìn)而對(duì)時(shí)時(shí)間序列未來來行為進(jìn)行推推斷。隨機(jī)時(shí)間序列列分析模型，，就是要通過過序列過去的的變化特征來來預(yù)測未來的的變化趨勢。使用時(shí)間序列列分析模型的的另一個(gè)原因因在于：如果經(jīng)濟(jì)理論論正確地闡釋釋了現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)濟(jì)結(jié)構(gòu)，則這這一結(jié)構(gòu)可以以寫成類似于于ARMA(p,q)式式的時(shí)間序列列分析模型的的形式。例如，對(duì)于如下最簡簡單的宏觀經(jīng)經(jīng)濟(jì)模型：這里，Ct、It、Yt分別表示消費(fèi)費(fèi)、投資與國國民收入。Ct與Yt作為內(nèi)生變量量，它們的運(yùn)運(yùn)動(dòng)是由作為為外生變量的的投資It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)t的變化決定的的。上述模型可作作變形如下：兩個(gè)方程等式式右邊除去第第一項(xiàng)外的剩剩余部分可看看成一個(gè)綜合合性的隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)，其特特征依賴于投投資項(xiàng)It的行為。如果It是一個(gè)白噪聲聲，則消費(fèi)序列列Ct就成為一個(gè)1階自回歸過過程AR(1)，而收入序列列Yt就成為一個(gè)(1,1)階階的自回歸移移動(dòng)平均過程程ARMA(1,1)。二、隨機(jī)時(shí)間間序列模型的的平穩(wěn)性條件件自回歸移動(dòng)平平均模型（ARMA）是是隨機(jī)時(shí)間序序列分析模型型的普遍形式式，自回歸模模型（AR））和移動(dòng)平均均模型（MA）是它的特特殊情況。關(guān)于這幾類模模型的研究，，是時(shí)間序列分析析的重點(diǎn)內(nèi)容容：主要包括模型的平穩(wěn)性性分析、模型的識(shí)別和模型的估計(jì)。1、AR(p)模型的平平穩(wěn)性條件隨機(jī)時(shí)間序列列模型的平穩(wěn)穩(wěn)性，可通過它所生生成的隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列的平平穩(wěn)性來判斷斷。如果一個(gè)p階自回歸模型型AR(p)生成的時(shí)間間序列是平穩(wěn)穩(wěn)的，就說該該AR(p)模型是平穩(wěn)穩(wěn)的。否則，就說該該AR(p)模型是非平平穩(wěn)的。考慮p階自回回歸模型AR(p)Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t(*)引入滯后算子（lagoperator）L：LXt=Xt-1,L2Xt=Xt-2,…,LpXt=Xt-p(*)式變換換為：(1-1L-2L2-…-pLp)Xt=t記(L)=(1-1L-2L2-…-pLp),則稱多項(xiàng)式方方程：(z)=(1-1z-2z2-…-pzp)=0為AR(p)的特征方程(characteristicequation)?？梢宰C明，如如果該特征方方程的所有根根在單位圓外外（根的模大大于1），則則AR(p)模型是平穩(wěn)穩(wěn)的。例9.2.1AR(1)模模型的平穩(wěn)性性條件。對(duì)1階自回歸歸模型AR(1)方程兩邊平方方再求數(shù)學(xué)期期望，得到Xt的方差：：由于Xt僅與t相關(guān)，因此，，E(Xt-1t)=0。如果該模型型穩(wěn)定，則有有E(Xt2)=E(Xt-12)，從而上式可可變換為：在穩(wěn)定條件下下，該方差是是一非負(fù)的常常數(shù)，從而有有||<1。而AR(1)的特征方程程：的根為：z=1/AR(1)穩(wěn)穩(wěn)定，即||<1，意意味著特征根根大于1。例9.2.2AR(2)模型的平穩(wěn)性性。對(duì)AR(2)模型：方程兩邊同乘乘以Xt，再再取期望得：：又由于：于是：同樣地，由原原式還可得到到：于是方差為：由平穩(wěn)性的定定義，該方差差必須是一不不變的正數(shù)，，于是有1+2<1,2-1<1,|2|<1這就是AR(2)的平穩(wěn)性條件件，或稱為平穩(wěn)域。它是一頂點(diǎn)分分別為（-2,-1），（2,-1），（0,1）的三角形。對(duì)應(yīng)的特征方方程1-1z-2z2=0的兩個(gè)根z1、z2滿足：z1z2=-1/2,z1+z2=-1/2AR(2)模型：解出1，2：由AR(2)的平穩(wěn)性，，|2|=1/|z1||z2|<1，則至少有一一個(gè)根的模大大于1，不妨妨設(shè)|z1|>1，有：于是|z2|>1。由2-1<1可推出同樣的的結(jié)果。對(duì)高階自回模模型AR(p)來說，多數(shù)情況下下沒有必要要直接計(jì)算算其特征方方程的特征征根，但有有一些有用的的規(guī)則可用用來檢驗(yàn)高高階自回歸歸模型的穩(wěn)穩(wěn)定性：(1)AR(p)模型穩(wěn)定的的必要條件件是：1+2++p<1(2)由于i(i=1,2,p)可正可可負(fù)，AR(p)模型穩(wěn)定的的充分條件件是：|1|+|2|++|p|<1對(duì)于移動(dòng)平平均模型MR(q)：Xt=t-1t-1-2t-2--qt-q其中t是一個(gè)白噪噪聲，于是是：2、MA(q)模型的平穩(wěn)穩(wěn)性當(dāng)滯后期大大于q時(shí)，Xt的的自協(xié)方差差系數(shù)為0。因此:有限階移動(dòng)動(dòng)平均模型型總是平穩(wěn)穩(wěn)的。由于ARMA(p,q)模型是AR(p)模型與MA(q)模型的組合合：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…+pXt-p+t-1t-1-2t-2--qt-q3、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)穩(wěn)性而MA(q)模型總是平平穩(wěn)的，因因此ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)穩(wěn)性取決于于AR(p)部分的平穩(wěn)穩(wěn)性。當(dāng)AR(p)部分平穩(wěn)時(shí)時(shí)，則該ARMA(p,q)模型是平穩(wěn)穩(wěn)的，否則則，不是平平穩(wěn)的。4、總結(jié)（1）一個(gè)平平穩(wěn)的時(shí)間間序列總可可以找到生生成它的平平穩(wěn)的隨機(jī)機(jī)過程或模模型；（2）一個(gè)個(gè)非平穩(wěn)的的隨機(jī)時(shí)間間序列通常?？梢酝ㄟ^過差分的方方法將它變變換為平穩(wěn)穩(wěn)的，對(duì)差差分后平穩(wěn)穩(wěn)的時(shí)間序序列也可找找出對(duì)應(yīng)的的平穩(wěn)隨機(jī)機(jī)過程或模模型。因此，如果我們將將一個(gè)非平平穩(wěn)時(shí)間序序列通過d次差分，，將它變?yōu)闉槠椒€(wěn)的，，然后用一一個(gè)平穩(wěn)的的ARMA(p,q)模型作作為它的生生成模型，，則我們就就說該原始始時(shí)間序列列是一個(gè)自回歸單整整移動(dòng)平均均（autoregressiveintegratedmovingaverage）時(shí)間間序列，記記為ARIMA(p,d,q)。例如，一個(gè)ARIMA(2,1,2)時(shí)間序序列在它成成為平穩(wěn)序序列之前先先得差分一一次，然后后用一個(gè)ARMA(2,2)模型作為為它的生成成模型的。。當(dāng)然，一個(gè)ARIMA(p,0,0)過程表表示了一個(gè)個(gè)純AR(p)平穩(wěn)穩(wěn)過程；一一個(gè)ARIMA(0,0,q)表示一一個(gè)純MA(q)平平穩(wěn)過程。。三、隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的識(shí)別別所謂隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的識(shí)別別，就是對(duì)于一一個(gè)平穩(wěn)的的隨機(jī)時(shí)間間序列，找找出生成它它的合適的的隨機(jī)過程程或模型，即判斷該該時(shí)間序列列是遵循一一純AR過過程、還是是遵循一純純MA過程程或ARMA過程。。所使用的工工具主要是時(shí)間序列的的自相關(guān)函數(shù)數(shù)（autocorrelationfunction，ACF）及偏自相關(guān)函函數(shù)（partialautocorrelationfunction，PACF）。1、AR(p)過程程(1)自相相關(guān)函數(shù)ACF1階自回歸歸模型AR(1)：：Xt=Xt-1+t的k階滯后自協(xié)方差為：=1,2,…因此，AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)數(shù)為：=1,2,…由AR(1)的穩(wěn)定性知知||<1，因此，k時(shí)，呈指數(shù)數(shù)形衰減，，直到零。這種現(xiàn)象稱稱為拖尾或稱AR(1)有無窮記憶憶（infinitememory）。注意，<0時(shí)，呈振蕩蕩衰減狀。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t該模型的方方差0以及滯后1期與2期的自協(xié)方方差1,2分別為：２階自回歸歸模型AR(2)類似地,可可寫出一般般的k期滯后自協(xié)協(xié)方差：(K=2,3,…)于是,AR(2)的k階自相關(guān)函函數(shù)為：(K=2,3,…)其中:1=1/(1-2),0=1如果AR(2)穩(wěn)定，則則由1+2<1知|k|衰減趨于零零，呈拖尾狀狀。至于衰減的形形式，要看AR(2)特特征根的實(shí)虛虛性，若為實(shí)根，則則呈單調(diào)或振振蕩型衰減，，若為虛根，，則呈正弦波波型衰減。一般地，p階自回歸模型型AR(p)：：Xt=1Xt-1+2Xt-2+…pXt-p+tk期滯后協(xié)方差差為:從而有自相關(guān)函數(shù):可見，無論k有多大大，k的計(jì)算均與其其１到p階滯滯后的自相關(guān)關(guān)函數(shù)有關(guān)，因此呈拖尾狀。如果AR(p)是穩(wěn)定的的，則|k|遞減且趨于于零。事實(shí)上，自相相關(guān)函數(shù)：是一p階差分分方程，其通通解為：其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的的特征根，由由AR(p)平穩(wěn)的條件件知，|zi|<1;因此，當(dāng)1/zi均為實(shí)數(shù)根時(shí)時(shí)，k呈幾何型衰減減（單調(diào)或振振蕩）；當(dāng)存在虛數(shù)根根時(shí)，則一對(duì)對(duì)共扼復(fù)根構(gòu)構(gòu)成通解中的的一個(gè)阻尼正正弦波項(xiàng)，k呈正弦波衰減減。（2）偏自相相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)ACF(k)給出了Xt與Xt-1的總體相關(guān)性性，但總體相相關(guān)性可能掩掩蓋了變量間間完全不同的的隱含關(guān)系。。例如，在AR(1)隨機(jī)過程中，，Xt與Xt-2間有相關(guān)性可可能主要是由由于它們各自自與Xt-1間的相關(guān)性帶帶來的:即自相關(guān)函數(shù)數(shù)中包含了這這種所有的““間接”相關(guān)關(guān)。與之相反，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)函數(shù)數(shù)(partialautocorrelation，，簡記為PACF)則是消除了中中間變量Xt-1，…，Xt-k+1帶來的間接相相關(guān)后的直接接相關(guān)性，它它是在已知序序列值Xt-1，…，Xt-k+1的條件下，Xt與Xt-k間關(guān)系的度量量。從Xt中去掉掉Xt-1的的影響，則只只剩下隨機(jī)擾擾動(dòng)項(xiàng)t，顯然它與與Xt-2無無關(guān)，因此我我們說Xt與與Xt-2的的偏自相關(guān)系系數(shù)為零，記為：在AR(1)中，同樣地，在AR(p)過程中，對(duì)所有的k>p，Xt與Xt-k間的偏自相關(guān)系數(shù)數(shù)為零。AR(p)的的一個(gè)主要特特征是:k>p時(shí)，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0即k*在p以后是截尾的的。一隨機(jī)時(shí)間序序列的識(shí)別原原則：若Xt的偏自相關(guān)函函數(shù)在p以后截尾，即即k>p時(shí)，k*=0，而它的的自相關(guān)函數(shù)數(shù)k是拖尾的，則則此序列是自自回歸AR(p)序列。。在實(shí)際識(shí)別時(shí)時(shí)，由于樣本本偏自相關(guān)函函數(shù)rk*是總體偏自相相關(guān)函數(shù)k*的一個(gè)估計(jì)，，由于樣本的的隨機(jī)性，當(dāng)當(dāng)k>p時(shí)，rk*不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)。。但可以證明明，當(dāng)k>p時(shí)，rk*服從如下漸近近正態(tài)分布:rk*~N(0,1/n)式中n表示樣本容量量。需指出的是，我們就有95.5%的把握判斷原原時(shí)間序列在在p之后截尾。因此，如果計(jì)計(jì)算的rk*滿足：對(duì)MA(1)過程：2、MA(q)過過程可容易地寫出出它的自協(xié)方差系數(shù)數(shù)：于是，MA(1)過程的的自相關(guān)函數(shù)為：可見，當(dāng)k>1時(shí)，，k>0，即Xt與Xt-k不相關(guān)，，MA(1)自相關(guān)函數(shù)數(shù)是截尾的。。MA(1)過過程可以等價(jià)價(jià)地寫成t關(guān)于無窮序序列Xt，Xt-1，……的線性組合合的形式：或：（*）(*)是一個(gè)AR()過程，它的的偏自相關(guān)函函數(shù)非截尾但但卻趨于零，，因此MA(1)的的偏自相關(guān)函函數(shù)是非截尾尾但卻趨于零零的。注意:(*)式只有當(dāng)||<1時(shí)才有意義，，否則意味著著距Xt越遠(yuǎn)遠(yuǎn)的X值，對(duì)Xt的的影響越大，，顯然不符合合常理。因此，我們把||<1稱為MA(1)的可逆性性條件（invertibilitycondition）或可逆逆域。其自協(xié)方差系數(shù)數(shù)為：一般地，q階移動(dòng)平均過過程MA(q)相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為：可見，當(dāng)k>q時(shí)，Xt與Xt-k不相關(guān)，即存存在截尾現(xiàn)象象，因此，當(dāng)k>q時(shí)，，k=0是MA(q)的一個(gè)個(gè)特征。于是：可以根據(jù)自相相關(guān)系數(shù)是否否從某一點(diǎn)開開始一直為0來判斷MA(q)模型型的階。與MA(1)相仿，可以以驗(yàn)證MA(q)過程的的偏自相關(guān)函函數(shù)是非截尾尾但趨于零的的。MA(q)模型的識(shí)別規(guī)規(guī)則：若隨機(jī)序列的的自相關(guān)函數(shù)數(shù)截尾，即自自q以后，k=0（k>q）；而它它的偏自相關(guān)關(guān)函數(shù)是拖尾尾的，則此序序列是滑動(dòng)平平均MA(q)序列。同樣需要注意意的是：在實(shí)際識(shí)別別時(shí)，由于于樣本自相相關(guān)函數(shù)rk是總體自相相關(guān)函數(shù)k的一個(gè)估計(jì)計(jì)，由于樣樣本的隨機(jī)機(jī)性，當(dāng)k>q時(shí)，rk不會(huì)全為0，而是在0的上下波動(dòng)動(dòng)。但可以以證明，當(dāng)當(dāng)k>q時(shí)，rk服從如下漸漸近正態(tài)分分布:rk~N(0,1/n)式中n表示示樣本容量量。因此，如果計(jì)算的的rk滿足：我們就有95.5%的把把握判斷原原時(shí)間序列列在q之后截尾。ARMA(p,q)的自相關(guān)函函數(shù)，可以看作MA(q)的自相關(guān)函函數(shù)和AR(p)的自相關(guān)函函數(shù)的混合合物。當(dāng)p=0時(shí)，它具有有截尾性質(zhì)質(zhì)；當(dāng)q=0時(shí)，它具有有拖尾性質(zhì)質(zhì)；當(dāng)p、q都不為0時(shí)，它具有有拖尾性質(zhì)質(zhì)3、ARMA(p,q)過過程從識(shí)別上看看，通常：：ARMA(p，q)過程的偏偏自相關(guān)函函數(shù)（PACF）可能在p階階滯后前有有幾項(xiàng)明顯顯的尖柱（（spikes），，但從p階階滯后項(xiàng)開開始逐漸趨趨向于零；；而它的自相關(guān)關(guān)函數(shù)（ACF）則是在q階階滯后前有有幾項(xiàng)明顯顯的尖柱，，從q階滯滯后項(xiàng)開始始逐漸趨向向于零。四、隨機(jī)時(shí)時(shí)間序列模模型的估計(jì)計(jì)AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估估計(jì)方法較較多，大體上分為為3類：（1）最小小二乘估計(jì)計(jì)；（2）矩估估計(jì)；（3）利用用自相關(guān)函函數(shù)的直接接估計(jì)。下面有選擇擇地加以介介紹。結(jié)構(gòu)階數(shù)模型識(shí)別確定估計(jì)參數(shù)⒈AR(p)模型型的YuleWalker方程估計(jì)計(jì)在AR(p)模型的識(shí)別別中，曾得得到：利用k=-k，得到如下下方程組：此方程組被被稱為YuleWalker方程組。該方程組建建立了AR(p)模模型的模型型參數(shù)1,2,,p與自相關(guān)函函數(shù)1,2,,p的關(guān)系，利用實(shí)際時(shí)時(shí)間序列提提供的信息息，首先求求得自相關(guān)關(guān)函數(shù)的估估計(jì)值：然后利用YuleWalker方程組，，求解模型型參數(shù)的估估計(jì)值：由于：于是,從而可得2的估計(jì)值在具體計(jì)算算時(shí)，可用樣本自自相關(guān)函數(shù)數(shù)rk替代。⒉MA(q)模型型的矩估計(jì)計(jì)將MA(q)模型的自協(xié)協(xié)方差函數(shù)數(shù)中的各個(gè)個(gè)量用估計(jì)計(jì)量代替，，得到：(*)首先求得自協(xié)方方差函數(shù)的的估計(jì)值，，(*)是一個(gè)包含含(q+1)個(gè)待估參數(shù)數(shù)的非線性方方程組，可可以用直接法或迭代法求解。常用的迭代代方法有線性迭代法法和Newton-Raphsan迭代法法。（1）MA(1)模模型的直接接算法對(duì)于MA(1)模型型，（*））式相應(yīng)地地寫成：于是：或：有：于是有解：：由于參數(shù)估估計(jì)有兩組組解，可根根據(jù)可逆性性條件|1|<1來判斷選取取一組。（2）MA(q)模模型的迭代代算法對(duì)于q>1的MA(q)模型型，一般用用迭代算法法估計(jì)參數(shù)數(shù)：由（*）式式得（**）第一步，給出的一組初值值，比如,代入（**）式，計(jì)算算出第一次次迭代值，第二步，將第一次次迭代值代代入（**）式，計(jì)算算出第二次次迭代值按此反復(fù)迭迭代下去，，直到第m步的迭代值值與第m-1步的迭代值值相差不大大時(shí)（滿足足一定的精精度），便便停止迭代代，并用第第m步的迭代結(jié)結(jié)果作為（（**）的近似解解。⒊ARMA(p,q)模型型的矩估計(jì)計(jì)在ARMA(p,q)中共有有(p+q+1)個(gè)個(gè)待估參數(shù)數(shù)1,2,,p與1,2,,q以及2，其估計(jì)量計(jì)計(jì)算步驟及及公式如下下：第一步，估計(jì)1,2,,p是總體自相相關(guān)函數(shù)的的估計(jì)值，，可用樣本本自相關(guān)函函數(shù)rk代代替。第二步，改寫模型，，求1,2,,q以及2的估計(jì)值將模型：改寫為：令，于是(*)可以寫成：(*)構(gòu)成一個(gè)MA模型。按照照估計(jì)MA模型參數(shù)的的方法，可可以得到1,2,,q以及2的估計(jì)值。。⒋AR(p)的最最小二乘估估計(jì)假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計(jì)計(jì)值已經(jīng)得得到，即有有，殘差的平方方和為：(*)根據(jù)最小二二乘原理，，所要求的的參數(shù)估計(jì)計(jì)值是下列列方程組的的解：即，j=1,2,…,p(**)解該方程組組，就可得得到待估參參數(shù)的估計(jì)計(jì)值。為了與AR(p)模型的YuleWalker方程估計(jì)進(jìn)進(jìn)行比較，，將(**)改寫成：j=1,2,…,p由自協(xié)方差差函數(shù)的定定義，并用用自協(xié)方差差函數(shù)的估估計(jì)值。代入，上式式表示的方方程組即為為：或