01第一章 線性規(guī)劃

第一章線性規(guī)劃§1線性規(guī)劃在人們的生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會遇到如何利用現(xiàn)有資源來安排生產(chǎn)，以取得最大經(jīng)濟(jì)效益的問題。此類問題構(gòu)成了運(yùn)籌學(xué)的一個重要分支一數(shù)學(xué)規(guī)劃，而線性規(guī)劃（LinearProgramming簡記LP）則是數(shù)學(xué)規(guī)劃的一個重要分支。自從1947年G.B.Dantzi提出求解線性規(guī)劃的單純形方法以來，線性規(guī)劃在理論上趨向成熟，在實(shí)用中日益廣泛與深入。特別是在計(jì)算機(jī)能處理成千上萬個約束條件和決策變量的線性規(guī)劃問題之后，線性規(guī)劃的適用領(lǐng)域更為廣泛了，已成為現(xiàn)代管理中經(jīng)常采用的基本方法之一。1.1線性規(guī)劃的實(shí)例與定義例1某機(jī)床廠生產(chǎn)甲、乙兩種機(jī)床，每臺銷售后的利潤分別為4000元與3000元。生產(chǎn)甲機(jī)床需用A、B機(jī)器加工，加工時間分別為每臺2小時和1小時；生產(chǎn)乙機(jī)床需用A、B、C三種機(jī)器加工，加工時間為每臺各一小時。若每天可用于加工的機(jī)器時數(shù)分別為A機(jī)器10小時、B機(jī)器8小時和C機(jī)器7小時，問該廠應(yīng)生產(chǎn)甲、乙機(jī)床各幾臺，才能使總利潤最大？上述問題的數(shù)學(xué)模型：設(shè)該廠生產(chǎn)x臺甲機(jī)床和x乙機(jī)床時總利潤最大，則xx21212應(yīng)滿足（目標(biāo)函數(shù)）maxz4叮3X? （1）2xx1012xx8s.t（.約束條件） 1 2 （2）x72x,x012這里變量珥川?稱之為決策變量，（1）式被稱為問題的目標(biāo)函數(shù)，（2）中的幾個不等式是問題的約束條件，記為s.t.（subjectto）由于上面的目標(biāo)函數(shù)及約束條件均為線性函數(shù)，故被稱為線性規(guī)劃問題。總之，線性規(guī)劃問題是在一組線性約束條件的限制下，求一線性目標(biāo)函數(shù)最大或最小的問題。在解決實(shí)際問題時，把問題歸結(jié)成一個線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型是很重要的一步，但往往也是困難的一步，模型建立得是否恰當(dāng)，直接影響到求解。而選適當(dāng)?shù)臎Q策變量，是我們建立有效模型的關(guān)鍵之一。1.2線性規(guī)劃的Matlab標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)可以是求最大值，也可以是求最小值，約束條件的不等號可以是小于號也可以是大于號。為了避免這種形式多樣性帶來的不便，Matlab中規(guī)定線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為mincTxxAxbs.t.Aeqxbeqlbxub其中C和x為n維列向量,A、其中C和x為n維列向量,量。

例如線性規(guī)劃maxcTxs.t.Axbx的Matlab標(biāo)準(zhǔn)型為mincTxs.t.Axbx例如線性規(guī)劃maxcTxs.t.Axbx的Matlab標(biāo)準(zhǔn)型為mincTxs.t.Axbx1.3線性規(guī)劃問題的解的概念一般線性規(guī)劃問題的（數(shù)學(xué)）標(biāo)準(zhǔn)型為nmaxzcxjjj1(3)s.t.axbi1,2,,mijjij1x0j1,2,,nj可行解滿足約束條件（4）的解x（x1,x2,而使目標(biāo)函數(shù)（3）達(dá)到最大值的可行解叫最優(yōu)解（4）,x），稱為線性規(guī)劃問題的可行解n可行域所有可行解構(gòu)成的集合稱為問題的可行域，記為R。圖解法簡單直觀，有助于了解線性規(guī)劃問題求解的基本原理。我們先應(yīng)用圖解法來求解例1。對于每一固定的值z,使目標(biāo)函數(shù)值等于z的點(diǎn)構(gòu)成的直線稱為目標(biāo)函數(shù)等位線，當(dāng)z變動時，我們得到一族平行直線。對于例1,顯然等位線越趨于右上方，其上的點(diǎn)具有越大的目標(biāo)函數(shù)值。不難看出，本例的最優(yōu)解為x*（2,6）T，最優(yōu)目標(biāo)值z*26。從上面的圖解過程可以看出并不難證明以下斷言：（1） 可行域R可能會出現(xiàn)多種情況。R可能是空集也可能是非空集合，當(dāng)R非空時，它必定是若干個半平面的交集（除非遇到空間維數(shù)的退化）。R既可能是有界區(qū)域,也可能是無界區(qū)域。（2） 在R非空時，線性規(guī)劃既可以存在有限最優(yōu)解，也可以不存在有限最優(yōu)解（其目標(biāo)函數(shù)值無界）。若線性規(guī)劃存在有限最優(yōu)解，則必可找到具有最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的可行域R的“頂點(diǎn)”。上述論斷可以推廣到一般的線性規(guī)劃問題，區(qū)別只在于空間的維數(shù)。在一般的n維空間中，滿足一線性等式"ax.b的點(diǎn)集被稱為一個超平面，而滿足一線性不等式ii.1naxb(或naxb)的點(diǎn)集被稱為一個半空間(其中(a,,a)為一n維行.. .. 1n.1.1向量，b為一實(shí)數(shù))。若干個半空間的交集被稱為多胞形，有界的多胞形又被稱為多面體。易見，線性規(guī)劃的可行域必為多胞形(為統(tǒng)一起見，空集也被視為多胞形)。在一般n維空間中，要直接得出多胞形“頂點(diǎn)”概念還有一些困難。二維空間中的頂點(diǎn)可以看成為邊界直線的交點(diǎn)，但這一幾何概念的推廣在一般n維空間中的幾何意義并不十分直觀。為此，我們將采用另一途徑來定義它。定義1稱n維空間中的區(qū)域R為一凸集，若xi,x2R及(0,1)，有x1(1 )x2R。定義2設(shè)R^n維空間中的一個凸集，R中的點(diǎn)x被稱為R的一個極點(diǎn)，若不存在X1、X2R及 (0,1)，使得x x11 )X2。定義1說明凸集中任意兩點(diǎn)的連線必在此凸集中；而定義2說明，若x是凸集R的一個極點(diǎn)，則x不能位于R中任意兩點(diǎn)的連線上。不難證明，多胞形必為凸集。同樣也不難證明，二維空間中可行域R的頂點(diǎn)均為R的極點(diǎn)(R也沒有其它的極點(diǎn))。1.5求解線性規(guī)劃的Matlab解法單純形法是求解線性規(guī)劃問題的最常用、最有效的算法之一。這里我們就不介紹單純形法，有興趣的讀者可以參看其它線性規(guī)劃書籍。下面我們介紹線性規(guī)劃的Matlab解法。Matlab中線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)型為m.ncTxxAxbs.t.Aeqxbeqlbxub基本函數(shù)形式為linprog(c,A,,b它的返回值是向量x的值。還有其它的一些函數(shù)調(diào)用形式(在Matlab指令窗運(yùn)行helplinprc可以看到所有的函數(shù)調(diào)用形式)，如：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,0,UOBP,TXIONS)這里fval返回目標(biāo)函數(shù)的值,LB和UB分別是變量x的下界和上界，X。是x的初始值，OPTIONS是控制參數(shù)。例2求解下列線性規(guī)劃問題maxz2x3x5x123s.t.xxx71232x5xx10123x3xx12123x,1x,x230

解(i)編寫M文件c=[2;3;-5];a=[-2,5,-1;1,3,1];b=[-10;12];aeq=[1,1,1];beq=7;x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))value=c'*x(ii)將M文件存盤，并命名為examplel.m(ii)在Matlab指令窗運(yùn)行examplel即可得所求結(jié)果。例3求解線性規(guī)劃問題minz2x3xxl2x4x2x8l233x2x6l2x,x,x0l23解編寫Matlab程序如下：c=[2;3;l];a=[l,4,2;3,2,0];b=[8;6];[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,l))l.6可以轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題很多看起來不是線性規(guī)劃的問題也可以通過變換變成線性規(guī)劃的問題來解決。如：例4規(guī)劃問題為min|x||x||x|l 2 ns.t.Axb其中xlx】要把上面的問題變換成線性規(guī)劃問題，只要注意到事實(shí)：對任意的 x,存在iui,vi0滿足ii其中xlx】要把上面的問題變換成線性規(guī)劃問題，只要注意到事實(shí)：對任意的 x,存在iui,vi0滿足iixuii事實(shí)上，我們只要取uix]t，A和b為相應(yīng)維數(shù)的矩陣和向量。n這樣，記u[u1變成minv，|x|uvr「xli i—2u]Tnx|x—i 十就可以滿足上面的條件。s.t.(uilA(uu,v例5min{maxxi yiy。iv)iv)b0||}i其中ixiii對于這個問題，如果我們?nèi)。[vlmax|vn]T，從而我們可以把上面的問題n|，這樣，上面的問題就變換成minx0s.t.xyx,,xyx110nn0此即我們通常的線性規(guī)劃問題?！?運(yùn)輸問題（產(chǎn)銷平衡）例6某商品有山個產(chǎn)地、n個銷地，各產(chǎn)地的產(chǎn)量分別為a,,a，各銷地的1m需求量分別為b，,b。若該商品由i產(chǎn)地運(yùn)到j(luò)銷地的單位運(yùn)價為c.,問應(yīng)該如何調(diào)1n ij運(yùn)才能使總運(yùn)費(fèi)最?。拷猓阂胱兞縓.，其取值為由i產(chǎn)地運(yùn)往j銷地的該商品數(shù)量，數(shù)學(xué)模型為ijmnmincXijiji1j1nXa,i1,,mijij1s.t.Xb,j1,2,,nijji1X0ij顯然是一個線性規(guī)劃問題，當(dāng)然可以用單純形法求解。對產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，由于有以下關(guān)系式存在：TOC\o"1-5"\h\znmn nm mb X Xaj ij ij ij1i1j1 j1i1 i1其約束條件的系數(shù)矩陣相當(dāng)特殊，可用比較簡單的計(jì)算方法，習(xí)慣上稱為表上作業(yè)法（由康托洛維奇和希奇柯克兩人獨(dú)立地提出，簡稱康—希表上作業(yè)法）?！?指派問題指派問題的數(shù)學(xué)模型例7擬分配n人去干n項(xiàng)工作，每人干且僅干一項(xiàng)工作，若分配第i人去干第j項(xiàng)工作，需花費(fèi)c單位時間，問應(yīng)如何分配工作才能使工人花費(fèi)的總時間最少？ij容易看出，要給出一個指派問題的實(shí)例，只需給出矩陣C （c），c被稱為指派ij問題的系數(shù)矩陣。引入變量x,若分配i干j工作，則取x1,否則取x°。上述指派問題的ij ij ij數(shù)學(xué)模型為nnmincxijiji1j1ns.t.x1ijj1xiji1x0或1ij上述指派問題的可行解可以用一個矩陣表示，其每行每列均有且只有一個元素為1，其余元素均為0；可以用1,,n中的一個置換表示。問題中的變量只能取0或1，從而是一個0-1規(guī)劃問題。一般的0-1規(guī)劃問題求解極為困難。但指派問題并不難解，其約束方程組的系數(shù)矩陣十分特殊(被稱為全單位模矩陣，其各階非零子式均為1),其非負(fù)可行解的分量只能取0或1,故約束X..0或1ij可改寫為X0而不改變其解。此時，指派問題被轉(zhuǎn)化為一個特殊的運(yùn)輸問題，其中..mn，a.b.1。..求解指派問題的匈牙利算法由于指派問題的特殊性，又存在著由匈牙利數(shù)學(xué)家Konig提出的更為簡便的解法—匈牙利算法。算法主要依據(jù)以下事實(shí)：如果系數(shù)矩陣C(c..)一行(或一列)中每..—元素都加上或減去同一個數(shù)，得到一個新矩陣B(b.)，則以C或B為系數(shù)矩陣的.j指派問題具有相同的最優(yōu)指派。例8求解指派問題，其系數(shù)矩陣為1615192217211918C2422181717192216解將第—行元素減去此行中的最小元素15，同樣，第二行元素減去17，第三行元素減去17，最后—行的元素減去16，得10470421B175101360再將第3列元素各減去1，得10*370*411B2750*01350*以B2為系數(shù)矩陣的指派問題有最優(yōu)指派12342134由等價性，它也是例7的最優(yōu)指派。有時問題會稍復(fù)雜—些。例9求解系數(shù)矩陣C的指派問題

12797989666C717121412151466104107106解：先作等價變換如下712797950*2026896662300*077171214120*10575615146610980*044410710606362容易看出，從變換后的矩陣中只能選出四個位于不同行不同列的零元素，但n5,最優(yōu)指派還無法看出。此時等價變換還可進(jìn)行下去。步驟如下：對未選出0元素的行打；對行中0元素所在列打；對列中選中的0元素所在行打；重復(fù)(2)、(3)直到無法再打?yàn)橹埂?4513可以證明，若用直線劃沒有打的行與打的列，就得到了能夠覆蓋住矩陣中所有零元素的最少條數(shù)的直線集合，找出未覆蓋的元素中的最小者，令行元素減去此數(shù)，列元素加上此數(shù)，則原先選中的0元素不變，而未覆蓋元素中至少有一個已轉(zhuǎn)變?yōu)?，且新矩陣的指派問題與原問題也等價。上述過程可反復(fù)采用，直到能選取出足夠的0元素為止。例如，對例5變換后的矩陣再變換，第三行、第五行元素減去2，第34513一列元素加上2，得70202430000835311800404140現(xiàn)在已可看出，最優(yōu)指派為§4對偶理論與靈敏度分析4.1原始問題和對偶問題

考慮下列一對線性規(guī)劃模型：maxcTx s.t.Axb,x0(P)和minbTys.t.ATyc,y0 (D)

稱（P）為原始問題，（D）為它的對偶問題。不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣f，對偶問題可被看作是原始問題的“行列轉(zhuǎn)置”：（1）（2）（3）原始問題中的第j列系數(shù)與其對偶問題中的第j行的系數(shù)相同；原始目標(biāo)函數(shù)的各個系數(shù)行與其對偶問題右側(cè)的各常數(shù)列相同原始問題右側(cè)的各常數(shù)列與其對偶目標(biāo)函數(shù)的各個系數(shù)行相同；在這一對問題中，不等式方向和優(yōu)化方向相反?？紤]線性規(guī)劃：minc原始問題中的第j列系數(shù)與其對偶問題中的第j行的系數(shù)相同；原始目標(biāo)函數(shù)的各個系數(shù)行與其對偶問題右側(cè)的各常數(shù)列相同原始問題右側(cè)的各常數(shù)列與其對偶目標(biāo)函數(shù)的各個系數(shù)行相同；在這一對問題中，不等式方向和優(yōu)化方向相反?？紤]線性規(guī)劃：mincTx s.t.Ax把其中的等式約束變成不等式約束Ab,x0可得mincTxs.t.bb,x它的對偶問題是maxbTybT 1y2maxbTybT 1y2s.t.ATAT其中V］和y2分別表示對應(yīng)于約束Ax則上式又可寫成Axy1cy2b的對偶變量組。令yy1y2，maxbTys.t.ATyc原問題和對偶的對偶約束之間的關(guān)系變量min00行約束行約束無限制0變量min00行約束行約束無限制000變量max000無限制對偶問題的基本性質(zhì)1。 對稱性：對偶問題的對偶是原問題。y是對偶問題的可行解。則存在2。 弱對偶性：若Xy是對偶問題的可行解。則存在ctxbTyo3。 無界性：若原問題（對偶問題）為無界解，則其對偶問題（原問題）無可行解4。 可行解是最優(yōu)解時的性質(zhì)：設(shè)x是原問題的可行解，y是對偶問題的可行解，當(dāng)CTXbTy時，x,y是最優(yōu)解。5。 對偶定理：若原問題有最優(yōu)解，那么對偶問題也有最優(yōu)解；且目標(biāo)函數(shù)值相同。6。 互補(bǔ)松弛性：若x,y分別是原問題和對偶問題的最優(yōu)解，則yT(Axb)0,xT(ATyc)0例10已知線性規(guī)劃問題min2x3x5x2x3x12345s.t.x1x2xx3x42 3 4 5

2xx3xxx312345x0,j1,2,,5j43已知其對偶問題的最優(yōu)解為y* -,y* -;z5。試用對偶理論找出原問題的最優(yōu)1 5 2 5解。解先寫出它的對偶問題①②③④⑤maxz4y3y12y2y①②③④⑤y3y513yy212yy312y,y012將y*,y;的值代入約束條件，得②，③，④為嚴(yán)格不等式；由互補(bǔ)松弛性得x2*x3*x4*0。因y1*,y2*0；原問題的兩個約束條件應(yīng)取等式，故有23412x*3x*4152x*x*315求解后得到x*1,x*1；故原問題的最優(yōu)解為15X*[10001]';*5。4.3靈敏度分析在以前討論線性規(guī)劃問題時，假定a,b,c都是常數(shù)。但實(shí)際上這些系數(shù)往往是估ijij計(jì)值和預(yù)測值。如市場條件一變，C.值就會變化；a..往往是因工藝條件的改變而改變;jijb是根據(jù)資源投入后的經(jīng)濟(jì)效果決定的一種決策選擇。因此提出這樣兩個問題：當(dāng)這.些系數(shù)有一個或幾個發(fā)生變化時，已求得的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解會有什么變化；或者這些系數(shù)在什么范圍內(nèi)變化時，線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解或最優(yōu)基不變。這里我們就不討論了。4.4參數(shù)線性規(guī)劃參數(shù)線性規(guī)劃是研究a.,b,c.這些參數(shù)中某一參數(shù)連續(xù)變化時，使最優(yōu)解發(fā)生變化....的各臨界點(diǎn)的值。即把某一參數(shù)作為參變量，而目標(biāo)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)是這參變量的線性函數(shù)，含這參變量的約束條件是線性等式或不等式。因此仍可用單純形法和對偶單純形法進(jìn)行分析參數(shù)線性規(guī)劃問題?！?投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)5.1問題提出市場上有n種資產(chǎn)s(i1,2,,n)可以選擇，現(xiàn)用數(shù)額為M的相當(dāng)大的資金.作一個時期的投資。這n種資產(chǎn)在這一時期內(nèi)購買s.的平均收益率為r,風(fēng)險(xiǎn)損失率為..q.,投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越少，總體風(fēng)險(xiǎn)可用投資的s.中最大的一個風(fēng)險(xiǎn)來度量。..

購買S時要付交易費(fèi)，（費(fèi)率p）,當(dāng)購買額不超過給定值u時，交易費(fèi)按購買uiiii計(jì)算。另外，假定同期銀行存款利率是10,既無交易費(fèi)又無風(fēng)險(xiǎn)。（10 5%）已知n4時相關(guān)數(shù)據(jù)如表1。表1sir(%)iq.iP(%)iu.(元)is1282.51103s2211.52198s3235.54.552s 4 252.66.540試給該公司設(shè)計(jì)一種投資組合方案，即用給定資金M，有選擇地購買若干種資產(chǎn)或存銀行生息，使凈收益盡可能大，使總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小。符號規(guī)定和基本假設(shè)符號規(guī)定：S.:第i種投資項(xiàng)目，如股票，債券ir,p,q:分別為S的平均收益率，交易費(fèi)率，風(fēng)險(xiǎn)損失率iii iu:S的交易定額ii10:同期銀行利率x.:投資項(xiàng)目s.的資金iia:投資風(fēng)險(xiǎn)度Q:總體收益基本假設(shè):1.投資數(shù)額M相當(dāng)大，為了便于計(jì)算，假設(shè)M1；2．投資越分散，總的風(fēng)險(xiǎn)越小；總體風(fēng)險(xiǎn)用投資項(xiàng)目s.中最大的一個風(fēng)險(xiǎn)來度量；.n種資產(chǎn)S之間是相互獨(dú)立的；.在投資的這一時期內(nèi)，r‘p.,q.，￡為定值，不受意外因素影響；... 06?凈收益和總體風(fēng)險(xiǎn)只￡r‘p.,q.影響，不受其它因素干擾。...模型的分析與建立1?總體風(fēng)險(xiǎn)用所投資的S.中最大的一個風(fēng)險(xiǎn)來衡量，即.max{qx|.1,2,,n}..2?購買s.所付交易費(fèi)是一個分段函數(shù)，即.交易費(fèi)px,xu交易費(fèi)....

pu,xu....而題目所給定的定值u（單位：元）相對總投資M很少，pu更小，可以忽略不...計(jì)，這樣購買s.的凈收益為@P.）x.。....3.要使凈收益盡可能大，總體風(fēng)險(xiǎn)盡可能小，這是一個多目標(biāo)規(guī)劃模型:目標(biāo)函數(shù)為max(rp)xiiii0minmaxq{x}ii約束條件為(1p)xMiii0x0,i0,1,,ni4．模型簡化在實(shí)際投資中，投資者承受風(fēng)險(xiǎn)的程度不一樣，若給定風(fēng)險(xiǎn)一個界限a，使最qx大的一個風(fēng)險(xiǎn)滬a,可找到相應(yīng)的投資方案。這樣把多目標(biāo)規(guī)劃變成一個目標(biāo)的線性規(guī)劃。模型一固定風(fēng)險(xiǎn)水平，優(yōu)化收益max(rp)xiiii0qxiiaMs.t.(1p)xM,x0,i0,1,,nii ii0若投資者希望總盈利至少達(dá)到水平k以上，在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋求相應(yīng)的投資組合。模型二固定盈利水平，極小化風(fēng)險(xiǎn)min{max{qx}}(riiip)xiiks.t.i0n(1p)xM,x0,i0,1,,ni0iii投資者在權(quán)衡資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益兩方面時，希望選擇一個令自己滿意的投資組合。因此對風(fēng)險(xiǎn)、收益分別賦予權(quán)重s(0s1)和1s)，s稱為投資偏好系數(shù)。n模型三mins{max{qx}}(1s)(rp)xii iiii0ns.t.(1p)xM,x0,i0,1,2,,nii ii05.4模型一的求解模型一為：minf(0.05,0.27,0.19,0.185,0.185)(x,x,x,x,x)T01234x1.01x1.02x1.045x1.065x1012340.025xa10.015xas.t.20.055xa30.026xa4x0(i0,1,,4)i由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，到底怎樣沒有一個準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險(xiǎn)度。我們從ao開始，以步長a0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：clc,cleara=0;holdonwhilea<0.05c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];b=a*ones(4,1);Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];beq=1;LB=zeros(5,1);[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);Q=-Q;plot(a,Q,'*r');a=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')5.5結(jié)果分析1.風(fēng)險(xiǎn)大，收益也大。2．當(dāng)投資越分散時，投資者承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)越小，這與題意一致。即：冒險(xiǎn)的投資者會出現(xiàn)集中投資的情況，保守的投資者則盡量分散投資。3?在a0.006附近有一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這一點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時，利潤增長很快。在這一點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時，利潤增長很緩慢，所以對于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)該選擇曲線的拐點(diǎn)作為最優(yōu)投資組合，大約是a0.6%，Q20%，所對應(yīng)投資方案為：風(fēng)險(xiǎn)度a0.006，收益Q0.2019，x0，x0.24，x 0.4，x 0.1091，x 0.2212。4習(xí)題一1．試將下述問題改寫成線性規(guī)劃問題：mmmmaxminax,ax,,axi1ii2iinxii1i1i1xxx1st.12mx0,i1,,mi2．試將下列問題改寫成線性規(guī)劃問題：c|x|jjj1st.axb(i1,2,,m)ijjist.j1X取值無約束j3．線性回歸是一種常用的數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，這個方法要求對圖上的一系列點(diǎn)(X,y),(X,y),,(X,y)選配一條合適的直線擬合。方法通常是先定直線方程為1122nnyabx,然后按某種準(zhǔn)則求定a,b。通常這個準(zhǔn)則為最小二乘法，但也可用其他準(zhǔn)則。試根據(jù)以下準(zhǔn)則建立這個問題的線性規(guī)劃模型：min|y(abx)|iii14?某廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品I,IIIII每種產(chǎn)品要經(jīng)過A,B兩道工序加工。設(shè)該廠有兩種規(guī)格的設(shè)備能完成A工序，它們以^，人？表示；有三種規(guī)格的設(shè)備能完成B工序，它們以B］，B2，B3表示。產(chǎn)品I可在A，B任何一種規(guī)格設(shè)備上加工。產(chǎn)品II可在任何規(guī)格的A設(shè)備上加工，但完成B工序時，只能在B］設(shè)備上加工；產(chǎn)品II只能在A2與B2設(shè)備上加工。已知在各種機(jī)床設(shè)備的單件工時，原1材料費(fèi)，產(chǎn)品銷售價格，各種設(shè)備有效臺時以及滿負(fù)荷操作時機(jī)床設(shè)備的費(fèi)用如表2，求安排最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，使該廠利潤最大。表2設(shè)備產(chǎn) 品設(shè)備有效臺