雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)

雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)社會(huì)統(tǒng)計(jì)學(xué)第一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日第一節(jié)兩總體大樣本假設(shè)檢驗(yàn)

為了把單樣本檢驗(yàn)推廣到能夠比較兩個(gè)樣本的均值的檢驗(yàn)，必須再一次運(yùn)用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來(lái)的重要定理：如果從和兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立隨機(jī)樣本，那么兩個(gè)樣本的均值差的抽樣分布就是。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下(兩個(gè)樣本的容量都超過(guò)50)，這個(gè)定理可以推廣應(yīng)用于任何具有均值μ1和μ2以及方差和

的兩個(gè)總體。當(dāng)n1和n2逐漸變大時(shí)，的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。2023/1/232第二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日1．大樣本均值差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定2023/1/233第三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)均值差異進(jìn)行比較，如果是大樣本就是Z檢驗(yàn)法，小樣本就是t檢驗(yàn)法。二者都同時(shí)要求：①樣本是隨機(jī)樣本②每個(gè)總體都是正態(tài)分布的③數(shù)據(jù)是定距及以上層次的變量。如果所研究的只有兩個(gè)樣本，也可以用方差分析法（analysisofvariance，簡(jiǎn)稱ANOVA，也稱為F檢驗(yàn)法）來(lái)檢驗(yàn)兩個(gè)樣本均值的差異，不一定要按照Z(yǔ)或t檢驗(yàn)法。2023/1/234第四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

[例]為了比較已婚婦女對(duì)婚后生活的態(tài)度是否因婚齡而有所差別，將已婚婦女按對(duì)婚后生活的態(tài)度分為“滿意”和“不滿意”兩組。從滿意組中隨機(jī)抽取600名婦女，其平均婚齡為8.5年，標(biāo)準(zhǔn)差為2.3年；從不滿意組抽出500名婦女，其平均婚齡為9.2年，標(biāo)準(zhǔn)差2.8年。試問(wèn)在0.05顯著性水平上兩組是否存在顯著性差異？

樣本人數(shù)均值標(biāo)準(zhǔn)差滿意組6008.52.3不滿意組5009.22.82023/1/235第五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]據(jù)題意，“不滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝9.2年，

S1＝2.8年，n1＝500；“滿意”組的抽樣結(jié)果為：＝8.5年，S2＝2.3年，

n2＝600。

H0：μ1―μ2＝D0＝0H1：μ1―μ2≠0

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，因而有Zα/2＝1.96＜4.47

因此否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.05顯著性水平上，婚齡對(duì)婦女婚后生活的態(tài)度是有影響的。同時(shí)我們看到，由于樣本計(jì)算值Z＝4.47遠(yuǎn)大于單側(cè)Z0.05的臨界值1.65，因此本題接受μ1―μ2

＞0的備擇假設(shè)，即可以認(rèn)為婦女婚齡長(zhǎng)容易對(duì)婚后生活產(chǎn)生“不滿意”。

2023/1/236第六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2．大樣本成數(shù)差檢驗(yàn)

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

其中:

為總體1的樣本成數(shù)

為總體2的樣本成數(shù)。2023/1/237第七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算時(shí)，分以下兩種情況討論：①若零假設(shè)中兩總體成數(shù)的關(guān)系為，這時(shí)兩總體可看作成數(shù)P相同的總體，它們的點(diǎn)估計(jì)值為

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Z可簡(jiǎn)化為

②若零假設(shè)中兩總體成數(shù)，那么它們的點(diǎn)估計(jì)值有

此時(shí)上式中檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z為（5）判定2023/1/238第八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]有一個(gè)大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類，四年級(jí)學(xué)生中有58％屬于“外向”類。樣本中新生有171名，四年級(jí)學(xué)生有117名。試問(wèn)，在0.01水平上，兩類學(xué)生有無(wú)顯著性差異？外向內(nèi)向四年級(jí)58%（117）42%一年級(jí)73%（171）27%2023/1/239第九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]據(jù)題意新生組的抽樣結(jié)果為：

＝0.73，＝0.27，n1＝171

四年級(jí)學(xué)生組的抽樣結(jié)果為:＝0.58，＝0.42，n2＝117H0：p1―p2＝D0＝0H1：p1―p2＝D0≠0

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域因?yàn)棣粒?.01，因而有Zα/2＝Z0.005＝2.58＜2.66

因而否定零假設(shè)，即可以認(rèn)為在0.01顯著性水平上，兩類學(xué)生在性格上是有差異的。

2023/1/2310第十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)兩總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)

與對(duì)單總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣，我們對(duì)兩總體小樣本假設(shè)檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情況。1.小樣本均值差假設(shè)檢驗(yàn)

(1)當(dāng)和已知時(shí)，小樣本均值差檢驗(yàn)，與上一節(jié)所述大樣本總體均值差檢驗(yàn)完全相同，這里不再贅述。2023/1/2311第十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日(2)和未知，但假定它們相等時(shí)，

關(guān)鍵是要解決

的算式。

現(xiàn)又因?yàn)棣椅粗?，所以要用它的無(wú)偏估計(jì)量替代它。由于兩個(gè)樣本的方差基于不同的樣本容量，因而可以用加權(quán)的方法求出σ的無(wú)偏估計(jì)量，得

注意，上式的分母上減2，是因?yàn)楦鶕?jù)和計(jì)算S1和S2時(shí)，分別損失了一個(gè)自由度，一共損失了兩個(gè)自由度，所以全部自由度的數(shù)目就成為(n1+n2―2)。于是有2023/1/2312第十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

這樣，對(duì)小樣本正態(tài)總體，和

未知，但σ1＝σ2，其均值差的檢驗(yàn)步驟如下:

（1）零假設(shè)：（2）備擇假設(shè)：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)或（3）否定域：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)（4）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（5）比較判定2023/1/2313第十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]為研究某地民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做如下獨(dú)立隨機(jī)抽樣：民族A：12戶，平均人口6.8人，標(biāo)準(zhǔn)差1.5人民族B：12戶，平均人口5.3人，標(biāo)準(zhǔn)差0.9人問(wèn)：能否認(rèn)為A民族的家庭平均人口高于B民族的家庭平均人口（α=0.05）？（假定家庭平均人口服從正態(tài)分布，且方差相等）t=2.97

2023/1/2314第十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

(3)和未知，但不能假定它們相等

如果不能假定σ1＝σ2

，那么就不能引進(jìn)共同的σ簡(jiǎn)化，也不能計(jì)算σ的無(wú)偏估計(jì)量。現(xiàn)在簡(jiǎn)單的做法是用

估計(jì)

，用估計(jì)

，于是有[例]用上式重新求解前例題。

[解]用上式，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算為

可以看出，求算用(10.8)式和(10.10)式，得出的結(jié)果差別不大。

2023/1/2315第十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2．小樣本方差比檢驗(yàn)

在實(shí)際研究中，除了要比較兩總體的均值外，有時(shí)還需要比較兩總體的方差。例如對(duì)農(nóng)村家庭和城鎮(zhèn)家庭進(jìn)行比較，除了平均收入的比較外，還要用方差比較收入的不平均情況。此外，剛剛在小樣本均值差的檢驗(yàn)中曾談到，當(dāng)方差未知時(shí)，往往還假設(shè)兩總體方差相等。因此，在總體方差未知的情況下，先進(jìn)行方差比檢驗(yàn)，對(duì)于均值差檢

檢驗(yàn)也是具有一定意義的。

設(shè)兩總體分別滿足正態(tài)分布和。現(xiàn)從這兩個(gè)總體中分別獨(dú)立地各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本，并具有容量n1，n2和方差，。根據(jù)第八章(8.22)式，對(duì)兩總體樣本方差的抽樣分布分別有2023/1/2316第十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)本書(shū)第八章第四節(jié)F分布中的(8.25)式有由于，所以簡(jiǎn)化后，檢驗(yàn)方差比所用統(tǒng)計(jì)量為當(dāng)零假設(shè)H0：σ1＝σ2時(shí)，上式中的統(tǒng)計(jì)量又簡(jiǎn)化為2023/1/2317第十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

這樣一來(lái)，小樣本正態(tài)總體方差比檢驗(yàn)的步驟有

(1)零假設(shè)H0

：備擇假設(shè)H1

：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)

H1

：H1

：

H1

：

(2)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（）（）

（）

單側(cè)雙側(cè)2023/1/2318第十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日(3)否定域(參見(jiàn)下圖)

單側(cè)Fα（n1―1，n2―1），雙側(cè)Fα/2（n1―1，n2―1）

方差比檢驗(yàn)，比起前面所介紹的檢驗(yàn)有一個(gè)不同點(diǎn)，那就是無(wú)論是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，F(xiàn)的臨界值都只在右側(cè)。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有≥1或者≥12023/1/2319第十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

[例]為了研究男性青年和女性青年兩身高總體的方差是否相等，分別作了獨(dú)立隨機(jī)抽樣。對(duì)男性青年樣本有n1＝10，＝30.8(厘米2)；對(duì)女性青年樣本有n2＝8，＝27.8(厘米2)，試問(wèn)在0.05水平上，男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有無(wú)顯著性差異?2023/1/2320第二十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

[解]據(jù)題意，對(duì)男性青年樣本有n1

＝10，＝30.8(厘米2)

對(duì)女性青年樣本有n2

＝8，＝27.8(厘米2)

H0

：

H1

：

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，

Fα/2（n1―1，n2―1）＝F0.025(9,7)＝4.82＞1.08

因而不能否定零假設(shè)，即在0.05水平上，我們不能說(shuō)男性青年身高的方差和女性青年身高的方差有顯著性差異。

2023/1/2321第二十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)

配對(duì)樣本，是兩個(gè)樣本的單位兩兩匹配成對(duì)，它實(shí)際上只能算作一個(gè)樣本，也稱關(guān)聯(lián)樣本。因此對(duì)它的檢驗(yàn)，用均值差檢驗(yàn)顯然是不行的。因?yàn)?n個(gè)樣本單位(每個(gè)樣本n個(gè))不是全部獨(dú)立抽取的。而如果把每一配對(duì)當(dāng)作一個(gè)單位，在符合其他必要的假定條件下，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)與單樣本檢驗(yàn)相差無(wú)幾。2023/1/2322第二十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日1．單一實(shí)驗(yàn)組的假設(shè)檢驗(yàn)

對(duì)于單一實(shí)驗(yàn)組這種“前—后”對(duì)比型配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們的做法是，不用均值差檢驗(yàn)，而是求出每一對(duì)觀察數(shù)據(jù)的差，直接進(jìn)行一對(duì)一的比較。如果采用“前測(cè)”“后測(cè)”兩個(gè)總體無(wú)差異的零假設(shè)，也就是等于假定實(shí)驗(yàn)刺激無(wú)效。于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為每對(duì)觀察數(shù)據(jù)差的均值μd＝0的單樣本假設(shè)檢驗(yàn)了。求每一對(duì)觀察值的差，直接進(jìn)行一對(duì)一的比較。2023/1/2323第二十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)配對(duì)樣本的樣本單位前測(cè)與后測(cè)的觀察數(shù)據(jù)分別是X

0i與X

1i，其差記作di

di＝X

1i―X

0i

如果假設(shè)兩總體前測(cè)與后測(cè)無(wú)顯著性差別，即μ1

＝μ0或者。那么對(duì)取自這兩個(gè)總體的配對(duì)大樣本有2023/1/2324第二十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于大樣本，當(dāng)二總體的方差未知時(shí)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)近似。

若為小樣本則需用t分布，即對(duì)配對(duì)(小)樣本而言，其均值差的抽樣分布將服從于自由度為(n—1)的t分布。所以對(duì)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

2023/1/2325第二十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]隨機(jī)地選擇13個(gè)單位，放映一部描述吸煙有害于身體健康的影片，下表中的數(shù)字是各單位認(rèn)為吸煙有害身體健康的職工的百分比，試在0.05顯著性水平上檢檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。2023/1/2326第二十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]零假設(shè)H0：μd＝0

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(12)＝1.782＜2.76

所以否定零假設(shè)，即說(shuō)明該實(shí)驗(yàn)刺激有效。2023/1/2327第二十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

練習(xí)

以下是經(jīng)濟(jì)體制改革后，某廠8個(gè)車間競(jìng)爭(zhēng)性測(cè)量的比較。問(wèn)改革后，競(jìng)爭(zhēng)性有無(wú)增加？（取α=0.05）t=3.176

改革后8687569384937579

改革前8079589177827466

2023/1/2328第二十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日2．一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的假設(shè)檢驗(yàn)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的邏輯，是把實(shí)驗(yàn)對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化全部歸因于實(shí)驗(yàn)刺激。在社會(huì)現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化，有時(shí)除了受到實(shí)驗(yàn)刺激外，還受到其他社會(huì)因素的作用。因而，配對(duì)樣本的一實(shí)驗(yàn)組與一控制組之假設(shè)檢驗(yàn)，要設(shè)法把實(shí)驗(yàn)變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開(kāi)來(lái)，然后就像對(duì)待單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)一樣，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零假設(shè)μd＝0的單樣本檢驗(yàn)來(lái)處理。

2023/1/2329第二十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

在一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)之中，對(duì)前測(cè)后測(cè)之間的變化，消除額外變量影響的基本做法如下：

(1)前測(cè)：對(duì)實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；

(2)實(shí)驗(yàn)刺激：只對(duì)實(shí)驗(yàn)組實(shí)行實(shí)驗(yàn)刺激；

(3)后測(cè)：對(duì)實(shí)驗(yàn)組與控制組分別度量；

(4)求算消除了額外變量影響之后的di

后測(cè)實(shí)驗(yàn)組―前測(cè)實(shí)驗(yàn)組＝前測(cè)后測(cè)差實(shí)驗(yàn)組后測(cè)控制組―前測(cè)控制組＝前測(cè)后測(cè)差控制組

實(shí)驗(yàn)效應(yīng)di

＝前測(cè)后測(cè)差實(shí)驗(yàn)組―前測(cè)后測(cè)差控制組2023/1/2330第三十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]假定實(shí)施一種新教學(xué)法有助于提高兒童的學(xué)習(xí)成績(jī)，現(xiàn)將20名兒童兩兩匹配成對(duì)，分成一實(shí)驗(yàn)組與一控制組，然后對(duì)實(shí)驗(yàn)組實(shí)施新教學(xué)法兩年，下表列示了控制組與實(shí)驗(yàn)組前測(cè)后測(cè)的所有10組數(shù)據(jù)，試在0.05顯著性水平上檢驗(yàn)實(shí)驗(yàn)無(wú)效的零假設(shè)。2023/1/2331第三十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]零假設(shè)H0：μd＝0,即“實(shí)驗(yàn)無(wú)效”

備擇假設(shè)H1：μ1＞μ0

根據(jù)前三式，并參照上表有

計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量確定否定域，因?yàn)棣粒?.05，并為單側(cè)檢驗(yàn)，因而有t

0.05(9)＝1.833＜2.13

所以否定零假設(shè)，即說(shuō)明該教學(xué)法有效。2023/1/2332第三十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日3．對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)的評(píng)論

有了獨(dú)立樣本和非獨(dú)立樣本的認(rèn)識(shí)，讀者自然會(huì)提出什么時(shí)候使用配對(duì)樣本以及什么時(shí)候不使用配對(duì)樣本的問(wèn)題。很顯然，匹配樣本損失了自由度，使用配對(duì)樣本相當(dāng)于減小了一半樣本容量。這樣做是不是得不償失呢?答案是要看我們能否恰當(dāng)?shù)嘏鋵?duì)。在配對(duì)過(guò)程中，最好用擲硬幣的方式?jīng)Q定“對(duì)”中的哪一個(gè)歸入實(shí)驗(yàn)組，哪一個(gè)歸入控制組。從而使“對(duì)”內(nèi)隨機(jī)化。2023/1/2333第三十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)雙樣本區(qū)間估計(jì)

雙樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)的聯(lián)系是很緊密的。雙樣本區(qū)間估計(jì)，即是為均值差或成數(shù)差設(shè)置置信區(qū)間的方法，這需要我們匯合單樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)兩方面的知識(shí)

1.

和已知，對(duì)均數(shù)差的區(qū)間估計(jì)

根據(jù)本章第一節(jié)中心極限定理的推論，既然兩樣本的均值差的抽樣分布就是，那么對(duì)

統(tǒng)計(jì)量Z自然有

2023/1/2334第三十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于給定的置信水平（1―α），以構(gòu)造

的置信區(qū)間如下

同理考慮的置信區(qū)間，只需將上式中的

改為即可。

2023/1/2335第三十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]設(shè)甲乙兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)職工月收入總體分布的方差分別為＝120(元2)，＝90(元2)?，F(xiàn)從甲企業(yè)隨機(jī)抽取20人，平均月收人為840元：從乙企業(yè)隨機(jī)抽取10人，平均月收入為670元，試以95%置信水平估計(jì)兩企業(yè)人均月收入差額之范圍。2023/1/2336第三十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]據(jù)題意，

甲企業(yè)的抽樣結(jié)果為：＝840(元)，＝120(元2)，

n1＝20(人)

乙企業(yè)的抽樣結(jié)果為：＝670(元)，＝90(元2)，

n2

＝10(人)

由（1―α）＝0．95，得Zα/2＝1.96，代入前式有

得到在95％置信水平上，兩企業(yè)人均收入之差額在162.4元到177.6元之間。

2023/1/2337第三十七頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

對(duì)于大樣本，和未知，可以用和替

代，然后用前式求出均值差的置信區(qū)間即可。

對(duì)于小樣本，和未知，兩樣本均值差的抽樣分布就不再服從Z分布，而是服從t分布了。此時(shí)對(duì)給定的置信水平（1―α），得之估計(jì)區(qū)間為

2.和未知，對(duì)均數(shù)差的區(qū)間估計(jì)

2023/1/2338第三十八頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

由上式可見(jiàn)，要解決小樣本均值差區(qū)間估計(jì)問(wèn)題，關(guān)鍵是要解決的算式問(wèn)題，而如果能假設(shè)

，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)在本章第二節(jié)中解決了，即2023/1/2339第三十九頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]某市對(duì)兒童體重情況進(jìn)行調(diào)查，抽查8歲的女孩20人，平均體重22.2千克，標(biāo)準(zhǔn)差2.46千克；抽查8歲的男孩18人，平均體重21.3千克，標(biāo)準(zhǔn)差1.82千克。若男女兒童體重的總體方差相等，試在95％置信水平上，估計(jì)8歲男女兒童體重差額之范圍。2023/1/2340第四十頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

[解]據(jù)題意，

女孩組的抽樣結(jié)果為：＝22.2(千克)，

S1＝2.46(千克)，n1＝20(人)

男孩組的抽樣結(jié)果為：＝21.3(千克)，S2＝1.82(千克)，

n2＝18(人)

代人前式得

由（1―α）＝0.95，得tα/2(n1+n2―2)＝t0.025(36)＝2.028，于是

[(22.2―21.3)―2.028×0.728，(22.2—21.3)+2.028×0.728)]

得在95％置信水平上8歲男女兒童體重之差額在―0.58千克到2.38千克之間。

2023/1/2341第四十一頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

如果不能假設(shè)

，求算則要用下

式，即

[例]研究正常成年男女血液紅細(xì)胞的平均數(shù)之差別，

抽查男子20人，計(jì)算得紅細(xì)胞平均數(shù)465萬(wàn)／毫米3，樣本

標(biāo)準(zhǔn)差為54.8萬(wàn)／毫米3；抽查女子24名，計(jì)算得紅細(xì)胞

平均數(shù)422萬(wàn)／毫米3，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為49．2萬(wàn)／毫米3，試

以99％的置信水平，求正常成年男女紅細(xì)胞平均數(shù)的差異

范圍。

2023/1/2342第四十二頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[解]據(jù)題意，

男性組抽查結(jié)果為：＝465，S1＝54.8，

n1＝20(人)

女性組抽查結(jié)果為：＝422，S2＝49.2，

n2＝24(人)

代人前式得

由（1―α）＝0.99，得tα/2(n1+n2―2)＝t0.005(42)＝2.698，于是

[(465―422)―2.698×16.2，(465—422)+2.698×16.2)]

得在99％置信水平上，正常成年男女紅細(xì)胞平均數(shù)之差異范圍在―0.7萬(wàn)／毫米3到86.7萬(wàn)／毫米3之間。

2023/1/2343第四十三頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

3．大樣本成數(shù)差的區(qū)間估計(jì)與單樣本成數(shù)的區(qū)間估計(jì)一樣，成數(shù)差區(qū)間估計(jì)可以被看作均值差的特例來(lái)處理(但它適用于各種量度層次)。即對(duì)給定的置信水平（1―α），得兩總體成數(shù)差(p1―p2)之估計(jì)區(qū)間為

2023/1/2344第四十四頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算，同時(shí)分以下兩種情況討論：

①若能假設(shè)，上式變?yōu)槭街?

②若不能假設(shè)，上式變?yōu)?/p>

2023/1/2345第四十五頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日[例]有一個(gè)大學(xué)生的隨機(jī)樣本，按照性格“外向”和“內(nèi)向”，把他們分成兩類。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新生中有73％屬于“外向”類，四年級(jí)學(xué)生中有58％屬于“外向”類。樣本中新生有171名，四年級(jí)學(xué)生有117名。試在99％的置信水平上，求新生、老生性性格“外向”的成數(shù)差的置信區(qū)間。2023/1/2346第四十六頁(yè)，共五十三頁(yè)，2022年，8月28日

[解]據(jù)題意，

新生組的抽樣結(jié)果為：＝0.73，

＝027，

n1＝171(人)