平面向量知識點

1．向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量：向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為±la1\a/1平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方皿同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算一―形法則平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a.(2)結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).減法求a與b的相反向量一b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a—b=a+(—b)數(shù)乘求實數(shù)A與向量a的積的運算(1)IAaI=IIAIIIaI；(2)當A>0時，Aa的方向與a的方向相同；當A<0時，Aa的方向與a的方向相反；當A=0時，Aa=0A(pa)=(A/i)a；(A+p)a=Aa+pa；A(a+b)=Aa+Ab3.共線向量定理向量a(aW0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)九使b=^a.4．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)丸1、丸2,使a=A1e1+丸2e2.其中，不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.5．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a=(x1,y1),b=(%2，y2)，貝°a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1—x2,y1-y2),A設a=(x1,y1),b=(%2，y2)，(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A(x1,y1),B(x2,y2),則AB=(x2—1,2—1),ABI=%'(x2—x1)2+(y2—y1)2.6．平面向量共線的坐標表示

設a=(%1,y1),b=(%2，y2)，其中b/0."〃b04^2n2X1=0.7．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為仇則數(shù)量IaIIbIcos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a?b=1aIIbIcos夕規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.兩個非零向量a與b垂直的充要條件是a，b=0,兩個非零向量a與b平行的充要條件是a，b=±lallbl.8．平面向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a*b等于a的長度IaI與b在a的方向上的投影IbIcos6的乘積.9．平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)(1)e?a=a?e=IaIcos6；(2)非零向量a(1)e?a=a?e=IaIcos6；⑶當a與b同向時，a，b=lallbl；當a與b反向時，a，b=—lallbl,a.a=IaI2,IaI=、5a；(4)cos6=(4)cos6=a，b麗；(5)IIa-bI_三lallbl.10．平面向量數(shù)量積滿足的運算律(1)a'b=b，a(交換律)； (2)(Aa)?b=A(a*b)=a?(Xb)(A為實數(shù))； (3)(a+b)?c=a^c+b，c.11．平面向量數(shù)量積有關性質(zhì)的坐標表示設向量a=(%1,y1),b=(4,y2)，則a，b=x142+y1y21，由此得到⑴若a=(x,y)，則IaI2=x2+y2或aI=、：%2+y2.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點間的距離IABI=IABI=\.''(x2—x1)2+(y2—y1)2.(3)設兩個非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則aXbox1x2+1y2=0.12．向量在平面幾何中的應用(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧：問題類型所用知識公式表示線平行、點共線等問題共線向量定理a〃b0a=Xb0xy—x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)垂直問題數(shù)量積的運算性質(zhì)aXb0a?b=0041x2+y1y2=0,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，其中a,b為非零向量夾角問題數(shù)量積的定義a?b ，一 .....cos6=Ia,Ibi(6為向量a,b的夾角)長度問題數(shù)量積的定義IaI=a2=={x2+y2,其中a=(x,y)《平面向量》單元測試卷一、選擇題：(本題共10小題，每小題4分，共40分)．下列命題中的假命題是(22、AB與BA的長度相等；、零向量與任何向量都共線;、只有零向量的模等于零;、共線的單位向量都相等。.若才是任一非零向量，Z是單位向量；①IXi>I/；②X〃隹③11\>0、AB與BA的長度相等；、零向量與任何向量都共線;、只有零向量的模等于零;、共線的單位向量都相等。-X⑤a-=x，其中正確的有（）IXI、①④⑤ 、③ 、①②③⑤ 、②③⑤.設X,X,X是任意三個平面向量，命題甲：X+X+X=X；命題乙：把X,X,X首尾相接能、充分不必要條件、必要不充分條件圍成一個三角形。則命題甲是命題乙的（ ）、充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、（AB、充要條件、（AB+CD）+bC、（aC+AB）+（AD—CB）、（）C-OA+CD、非充分也非必要條件.下列四式中不能化簡為AD的是（ ）、（AM+MB）+（BC+CD）a與a與b共線且方向相反a與b共線且方向相同a與b不平行a與b是相反向量.如圖，△的是（ ）^別是邊和的中點，是4中的重心，則下列各等式中不成立口ABDC1%1、BG=2BE、DGa與b不平行a與b是相反向量.如圖，△的是（ ）^別是邊和的中點，是4中的重心，則下列各等式中不成立口ABDC1%1、BG=2BE、DG=lAG、CG=-2FG、1DA+2fC=1BC3 2 3 3 2?設a=（-2,i-cos?）,b=（i+cos。,一工），且a//b，則銳角。=（）

4兀［、.兀、一或一.若C分AB所成比為-3,則A分CB所成的比是（ ）?若H<o,則/與E的夾角e的范圍是(?設才與E都是非零向量，若二在？方向的投影為3,E在不方向的投影為4,則才的模與ETOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"的模之比值為( )4 3 4\o"CurrentDocument"、一 、一 、- S-3 7 7二、填空題(本題共小題，每題分，共分).若才與『都是單位向量，貝“才-『I的取值范圍是 的AABC中，Bi=-Bi,則用品和Xfe表示AJ)=-3設才=(x+3,x-3y-4),若一與感相等,且A、B兩點的坐標分別為(1,2)和(3,2),則O設才與r是共線向量，1前=3,足1=5,則/日 ?三、解答題：本題共小題，每題分，共分.已知〃=(2sin(兀-x),cosx\b=(cos(兀-x),2<3sinx),記/(x)=五?萬4 4()求/(x)的周期和最小值；()若/。)按所平移得到y(tǒng)=2sin2x,求向量成.已知16是兩個不共線的向量，且；(a,a)b(P,P)汽求(I)求證：aB與a-b垂直；汽求(H)若…E),p，且門”+”,其中-，-且“()計算的值；()當為何值時 ”與--互相垂直?TOC\o"1-5"\h\z—.e心=__ __ n已知向量- o,i,- o，-i，其中￡,一求—?一及一+一；若二一?一-21+-的最小值為--，物的值參考答案、． ． ． ． ． ． ． ． ． ．?［，］ ?心:3AB+3AC - ?±解： (1)_Xx尸3?9=2sin(--x)cos(-—x)+273sinxcosx4 4=sin(--2x)+V3sin2x 2=cos2x+V3sin2xfT-2sin（2x+-）. 6?，犬0的周期為n,最小值為-2. （2）若左）按向置前平移得到產(chǎn)2sin2x,則向量薪=（而十卷0）（代Z）.L4注：若僅寫出向量薪的某個特殊解，扣1分..解：()；a(a,a),b(P，P)又?二（甘6）?（五-6）W-Ea-B??.(ab)±(a-b)()ab(ab)aba-bacosP+sinasinP). 3??cos(ot-p)=-ac嚀:) -p<(a—P)—— a=sin[(a-P)+PJ(a-P)*P+cos(oc-P)-sinP44i34i 4i X F—X = 52 52 10.解：

I~a+4|2=（-2[+4,）2=412-16e^-e^+16e^2TOC\o"1-5"\h\zXe±e,e-e=e-e=1.1 2 1 2 2 2e-e=0.IeI=Ie1=1.1 2 1 2Ia+?R=20 /.Ia+?I=V20=2后.?「（k；+『）,（J-3『）=k不2+（1_3k）：4一3￥2又不2=（9+2：）2=51 242=（—31+2《）2=131 2[.*=（7+2-）.（-37+2不）=一3+4=1