橢圓的簡單幾何性質(zhì)第二課時(shí)同步練習(xí)-2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

第=page1616頁，共=sectionpages1616頁3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）一、單選題1.已知點(diǎn)是直線l被橢圓所截得的線段AB的中點(diǎn)，則直線l的斜率為(

)A. B. C. D.22.過橢圓中心的直線交橢圓于兩點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，則的最大面積是(

)A.ab B.ac C.bc D.3.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率是(

)A. B. C. D.4.過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線分別交橢圓于A，B，C，D四點(diǎn)，則的值為(

)A. B. C.1 D.二、多選題5.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過交C于兩點(diǎn)，若的周長為8，則(

)A.橢圓焦距為； B.橢圓方程為；

C.弦長； D.6.已知直線l：被橢圓C：截得的弦長為7，則下列直線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有(

)A. B. C. D.7.畫法幾何的創(chuàng)始人-法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．直線l的方程為下列說法正確的是(

)A.C的蒙日圓的方程為

B.對直線l上任意點(diǎn)P，

C.記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則的最小值為

D.若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH面積的最大值為三、填空題8.已知點(diǎn)，在橢圓C：上，則橢圓C的方程為__________，若直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則__________.9.已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A，B滿足，則當(dāng)___________時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．10.過點(diǎn)的直線l與橢圓交于點(diǎn)A和B，且點(diǎn)Q滿足，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為__________.11.已知橢圓，若此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對稱，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.四、解答題12.已知雙曲線C和橢圓有公共的焦點(diǎn)，且離心率為

求雙曲線C的方程．

經(jīng)過點(diǎn)作直線l交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，且M為AB的中點(diǎn)，求直線l的方程并求弦長．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：已知橢圓C：的短軸長為2，離心率為

求橢圓C的方程；

設(shè)過定點(diǎn)的直線l與中的橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．15.已知橢圓的離心率為，，，，的面積為求橢圓C的方程;設(shè)M是橢圓C上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)P，直線與直線交于點(diǎn)求證：為等腰三角形.16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的長軸長為過左頂點(diǎn)A且傾斜角為的直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B，與y軸交于點(diǎn)C，且求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過點(diǎn)且不與x軸重合的直線交橢圓于點(diǎn)，連接NO并延長交AM于點(diǎn)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案和解析1.【答案】C

解：設(shè)直線l與橢圓相交于兩點(diǎn)，

代入橢圓方程可得，，

兩式相減得，

，，，

，解得

故選

2.【答案】C

解：設(shè)，則，

的面積是，

當(dāng)最大時(shí)，的面積S取最大值，

所以直線AB與x軸垂直時(shí)，的面積S取最大值，

則的面積的最大值為

故選

3.【答案】B

解：

由題意，可設(shè)，

設(shè)，，，，

，，

，

，

故選

4.【答案】D

解：由橢圓，得橢圓的右焦點(diǎn)為，

當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，AB：，

則CD：此時(shí)，，

則；

同理易得當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，；

當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，

設(shè)AB：，則

CD：

又設(shè)點(diǎn)，

聯(lián)立方程組，

消去y并化簡得，

，

，

由題知，直線CD的斜率為，

同理可得

為定值．

故選

5.【答案】BC

解：直線過，得，即，橢圓焦距為，故A錯(cuò)誤；

的周長為8，根據(jù)橢圓定義得的周長為4a，所以，得，

所以，所以橢圓方程為，故B正確；

聯(lián)立得，，

所以，故C正確；

O到直線的距離，

所以故D錯(cuò)誤，

故選

6.【答案】ACD

解：由于直線l：被橢圓截得的弦長為7，

根據(jù)對稱性可得：，，滿足條件．

直線被橢圓C截得的弦長不為

綜上可得：下列直線中被橢圓C截得的弦長一定為7的有

故選

7.【答案】AD

解：當(dāng)與一個(gè)斜率為0，另一個(gè)斜率不存在時(shí)，易知交點(diǎn)，

當(dāng)與的斜率均不為0時(shí)，可設(shè)且，

因?yàn)檫^P點(diǎn)的切線方程為，

所以聯(lián)立得

，

因?yàn)閘與橢圓相切，所以，

整理得①，

而與即為①式的兩根，

，

，

所以蒙日圓的方程為，

，

所以蒙日圓的方程為，故A正確;

B.直線過定點(diǎn)，

而剛好在蒙日圓上，過M做橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，

由蒙日圓的定義知，故B錯(cuò)誤；

C.點(diǎn)A在橢圓上，，

的最小值為到到l的距離，

而到l的距離為，

，

的最小值為，故C錯(cuò)誤.

D.因?yàn)榫匦蜯NGH的四條邊均與C相切，所以矩形MNGH為C的素日圓的內(nèi)接矩形，

設(shè)長為m，寬為n，蒙日圓半徑為R，，則，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D正確.

故選

8.【答案】

解：由題意可知：橢圓C：上，由點(diǎn)，，焦點(diǎn)在x軸上，

則，，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；

設(shè)，，

則，消去y，整理得，

則，，，，

則

故答案為：；

9.【答案】5

解：設(shè)，，

由，，

可得，，

即有，，

又，

即為，①

又，②

①-②得，

可得，

解得，，

則，

即有

，

即有時(shí)，有最大值4，

即點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對值最大．

故答案為：

10.【答案】

解：設(shè)，

由，

得則，

同理，

于是

又，則，所以點(diǎn)Q的軌跡是直線，

即為原點(diǎn)到直線的距離，

所以

故答案為

11.【答案】

解：設(shè)，，線段AB的中點(diǎn)

此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線對稱，

直線AB的方程可設(shè)為

聯(lián)立，化為

，解得

，

，

代入直線可得：，解得

代入可得：，解得

的取值范圍是

故答案為

12.【答案】解：由題意得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，

設(shè)雙曲線方程為，

則，

，

，

解得，，

雙曲線方程為

設(shè)，，分別代入雙曲線可得，，

兩式相減，得，

點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，可得，，

則，

，

直線l的方程為，

把代入，

消去y得，

，，，

13.【答案】解：，，

與x軸垂直，

直線l的方程為，

由，解得或，

的坐標(biāo)為或，

直線AM的方程為或；

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，，

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，

，

當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，，

，，則，，

則，

由，，得，

將代入，整理可得，

則，，，

，

從而，

故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，

，

綜上，

14.【答案】解：由已知得

，，

又，

解得，

橢圓C的方程為

由題意知，直線l斜率存在，可設(shè)直線l方程為，將其代入，

得，

設(shè)，，

，解得，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，

為銳角，

，

，

，

，

代入，，

化簡得，

解得，

由且，

解得

15.【答案】解：由題解得

所以橢圓C的方程為

證明：由知，，

設(shè)，則，

，

設(shè)直線方程為，直線方程為，

由解得點(diǎn)

由于，

于是直線的方程為，直線的方程為

由，解得點(diǎn)

于是，所以軸．

設(shè)PQ中點(diǎn)為N，則N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

故PQ中點(diǎn)在定直線上．

從上邊可以看出點(diǎn)B在PQ的垂