2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷）3

2015年高考數(shù)學(xué)（理）試題（北京卷）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．復(fù)數(shù)A． B． C． D．答案：A解析：知識點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算2.若x，y滿足則的最大值為A．0 B．1 C． D．2答案：D解析：如圖，先畫出可行域，由于，則，令z=0，作直線，在可行域中作平行線，得最優(yōu)解(0,1)，此時直線的截距最大，z取得最小值2.知識點(diǎn)：線性規(guī)劃3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為A． B． C． D．答案：B解析：運(yùn)行程序：x=1，y=1，k=0，s=1-1=0，t=1+1=2，x=0，y=2，k=0+1=1，因?yàn)?≥3不滿足，s=-2，t=2，x=-2，y=2，k=2，因?yàn)?≥3不滿足，s=-4，t=0，x=-4，y=0，k=3，因?yàn)?≥3滿足，輸出(-4,0).知識點(diǎn)：程序框圖4.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件答案：B解析：因?yàn)棣粒率莾蓚€不同的平面，m是直線且．若“”，則平面α，β可能相交也可能平行，不能推出，反過來若，，則有，則“”是“”的必要而不充分條件.知識點(diǎn)：空間直線與平面的位置關(guān)系、充要條件.5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是A．B．C．D．5答案：C解析：根據(jù)三視圖恢復(fù)成三棱錐P-ABC，其中PC⊥平面ABC，取AB棱的中點(diǎn)D，連接CD、PD，有PD⊥AB，CD⊥AB，底面ABC為等腰三角形底邊AB上的高CD為2，AD=BD=1,PC=1,,,，,三棱錐表面積.知識點(diǎn)：三視圖、三棱錐的表面積.6.設(shè)是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則答案：C解析：若a1+a2＞0，則2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0時，結(jié)論成立，即A不正確；

若a1+a3＜0，則a1+a2=2a1+2d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0時，結(jié)論成立，即B不正確；

{an}是等差數(shù)列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正確；

若a1＜0，則(a2-a1)(a2-a3)=-d2＜0，即D不正確．

故選：C．知識點(diǎn)：等差數(shù)列通項(xiàng)公式、作差比較法7.如圖，函數(shù)的圖象為折線ACB，則不等式的解集是A．B．C．D．答案：C解析：如圖所示，把函數(shù)的圖像向左平移一個單位得到的圖像x=1時兩圖相交，不等式的解為-1<x≤1，用集合表示解集選C.知識點(diǎn)：函數(shù)圖象、解不等式8.汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是A．消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米B．以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多C．甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油D．某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油答案：D解析：“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，A中乙車消耗1升汽油，最多行駛的路程為乙車圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，A錯誤；B中以相同速度行駛相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B錯誤，C中甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，甲車每消耗1升汽油行駛的里程10km,行駛80km，消耗8升汽油，C錯誤，D中某城市機(jī)動車最高限速80千米/小時.由于丙比乙的燃油效率高，相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油,選D.知識點(diǎn)：函數(shù)應(yīng)用問題、對“燃油效率”新定義的理解、對圖象的理解.二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9.在的展開式中，的系數(shù)為 ．（用數(shù)字作答）答案：40解析：利用通項(xiàng)公式，，令r=3，得出的系數(shù)為知識點(diǎn)：二項(xiàng)式定理10.已知雙曲線的一條漸近線為，則a=____．答案：解析：雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)閍>0，則知識點(diǎn)：雙曲線的幾何性質(zhì)11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為 ．答案：1解析：先把點(diǎn)極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用點(diǎn)到直線距離公式.知識點(diǎn)：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、點(diǎn)到直線距離.12.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，則 ．答案：1解析：知識點(diǎn)：正弦定理、余弦定理13.在△ABC中，點(diǎn)M、N滿足，．若，則x= ；y= ．答案：解析：特殊化，不妨設(shè)AC⊥AB，AB=4，AC=3，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，建立直角坐標(biāo)系，，，則，.知識點(diǎn)：平面向量14.設(shè)函數(shù)①若a=1，則的最小值為 ；②若恰有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．答案：(1)1，(2)或.解析：①當(dāng)a=1時，,當(dāng)x＜1時，f(x)=2x-1為增函數(shù)，f(x)＞-1，

當(dāng)x＞1時，f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x2-3x+2)=4(x-)2-1，

當(dāng)1＜x＜時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞時，函數(shù)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x=時，f(x)min=f()=-1；

②設(shè)h(x)=2x-a，g(x)=4(x-a)(x-2a)，若在x<1時，h(x)與x軸有一個交點(diǎn)，所以a>0，并且當(dāng)x=1時，h(1)=2-a>0，所以0<a<2，

而函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)有一個交點(diǎn)，所以2a≥1，且a＜1，

所以≤a<1；若函數(shù)h(x)=2x-a在x<1時，與x軸沒有交點(diǎn)，

則函數(shù)g(x)=4(x-a)(x-2a)有兩個交點(diǎn)，當(dāng)a≤0時，h(x)與x軸無交點(diǎn)，g(x)無交點(diǎn)，所以不滿足題意（舍去），當(dāng)h(1)=2-a≤0時，即a≥2時，g(x)的兩個交點(diǎn)滿足x1=a，x2=2a，都是滿足題意的，

綜上所述a的取值范圍是≤a＜1，或a≥2．知識點(diǎn)：函數(shù)的圖象、函數(shù)的零點(diǎn)、分類討論思想.三、解答題15、（本小題滿分13分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)求在區(qū)間上的最小值．答案：（Ⅰ）2π，（Ⅱ）解析：(Ⅰ)的最小正周期為；(Ⅱ)，當(dāng)即時，取得最小值為：。知識點(diǎn)：三角函數(shù)式的恒等變形、三角函數(shù)圖像與性質(zhì).16.（本小題滿分13分）A、B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組：12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立，從A、B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．(Ⅰ)求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；(Ⅱ)如果a=25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；(Ⅲ)當(dāng)a為何值時，A、B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）答案：（1），（2），（3）a=11或18；解析：設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bi為“乙是B組的第i個人”，由題意可知P(Ai)=P(Bi)=，i=1，2，…，7

（Ⅰ）事件“甲的康復(fù)時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5或第6或第7個人”，所以甲的康復(fù)時間不少于14天的概率P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=；

（Ⅱ）設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”，

則C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，

∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）

=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=,

（Ⅲ）當(dāng)a為11或18時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等．17.（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O為EF的中點(diǎn)．(Ⅰ)求證：AO⊥BE；(Ⅱ)求二面角F-AE-B的余弦值；(Ⅲ)若BE⊥平面AOC，求a的值． 答案：(Ⅰ)證明見解析，(Ⅱ)，(Ⅲ)解析：(Ⅰ)由于平面AEF⊥平面EFCB，△AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，則AO⊥EF，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理，所以AO⊥平面EFCB，又BE平面EFCB，則AO⊥BE.(Ⅱ)取CB的中點(diǎn)D，連接OD,以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)E、OD、OA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，由于平面AEF與y軸垂直，則設(shè)平面AEF的法向量為，設(shè)平面AEB的法向量，，，則，二面角F-AE-B的余弦值，由二面角F-AE-B為鈍二面角，所以二面角F-AE-B的余弦值為.（Ⅲ）由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，則AO⊥BE，若BE垂直平面AOC，只需BE⊥OC，，又，，解得a=2或，由于a<2，則.知識點(diǎn)：線線垂直的證明、利用法向量求二面角、利用數(shù)量積解決垂直問題.18.（本小題滿分13分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，；（Ⅲ）設(shè)實(shí)數(shù)使得對恒成立，求k的最大值．答案：（Ⅰ）2x-y=0，（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）k的最大值為2.解析：（Ⅰ），曲線在點(diǎn)處的切線方程為2x-y=0；（Ⅱ）當(dāng)時，，即不等式，對成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，故在（0，1）上為增函數(shù)，則，因此對，成立；（Ⅲ）使成立，，等價于；，當(dāng)時，，函數(shù)在（0，1）上位增函數(shù)，，符合題意；當(dāng)k>2時，令，x﹣0+極小值，顯然不成立；綜上所述可知：k的最大值為2.知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明不等式、含參問題討論.19.（本小題滿分14分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)和點(diǎn)都在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M．（Ⅰ）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N．問：y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．答案：（Ⅰ），；解析：（Ⅰ）由于橢圓C：過點(diǎn)且離心率為，，，橢圓C的方程為.,直線PA的方程為：，令，；（Ⅱ）∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，點(diǎn)A(m,n)(m≠0)

∴點(diǎn)B(m,-n)(m≠0)∵直線PB交x軸于點(diǎn)N，∴N(,0),

∵存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q(0，yQ)，

∴tan∠OQM=tan∠ONQ，∴，即yQ2=xM?xN，+n2=1，，故y軸上存在點(diǎn)Q，使得∠OQM=∠ONQ,或。知識點(diǎn)：求橢圓方程、求直線方程及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、存在性問題.20.（本小題滿分13分）已知數(shù)列滿足：，，且．記集合．（Ⅰ）若，寫出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（Ⅲ）求集合M的元素個數(shù)的最大值．答案：（Ⅰ），（Ⅱ）證明見解析，（Ⅲ）8解析：（Ⅰ）由已知可知：。（Ⅱ）因?yàn)榧螹存在一個元素是3的倍數(shù)，所以不妨設(shè)是3的倍數(shù)，由已知，可用用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n≥k，，是3的倍數(shù)，當(dāng)k=1時，則M中的所有元素都是3的倍數(shù)，如果k>1時，因?yàn)榛?，所以?的倍數(shù)，于是是3的倍數(shù)，類似可得，都是3的倍數(shù)，從而對任意n≥1，是3的倍數(shù)，因此M的所有元素都是3的倍數(shù).（Ⅲ）由于M中的元素都不超過36，由，易得，類似可得；因?yàn)閍1是正整數(shù)，，所以所以a2是2的倍數(shù)．從而當(dāng)