Leslie人口模型及例題詳解

實(shí)用文案Leslie人口模型現(xiàn)在我們來建立一個(gè)簡(jiǎn)單的離散的人口增長(zhǎng)模型，借用差分方程模型，僅考慮女性人口的發(fā)展變化。如果僅把所有的女性分成為未成年的和成年的兩組，則人口的年齡結(jié)構(gòu)無法刻劃，因此必須建立一個(gè)更精確的模型。 20世紀(jì)40年代提出的 Leslie人口模型，就是一個(gè)預(yù)測(cè)人口按年齡組變化的離散模型。模型假設(shè)將時(shí)間離散化，假設(shè)男女人口的性別比為1:1，因此本模型僅考慮女性人口的發(fā)展變化。假設(shè)女性最大年齡為 S歲，將其等間隔劃分成 m個(gè)年齡段，不妨假設(shè) S為m的整數(shù)倍，每隔S/m年觀察一次，不考慮同一時(shí)間間隔內(nèi)人口數(shù)量的 變化;記ni(t)為第i個(gè)年齡組t次觀察的女性總?cè)藬?shù)，記n(t) [n1(t),n2(t), ,nm(t)]第i年齡組女性生育率為 bi（注：所謂女性生育率指生女率），女性死亡率為 di，記si 1 di,假設(shè)bi,di不隨時(shí)間變化;(3)不考慮生存空間等自然資源的制約 ,不考慮意外災(zāi)難等因素對(duì)人口變化的影響 ;生育率僅與年齡段有關(guān)，存活率也僅與年齡段有關(guān)。建立模型與求解t根據(jù)以上假設(shè)，可得到方程n1(t1)=miibn(t)i1t1ni1(t1)sini(t)i1,2.?,m-1寫成矩陣形式為n(t 1) Ln(t)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案b1b2bm1bms1000其中，L=0s200（1）00sm10記n(0)[n1(0),n2(0),,nm(0)]（2）假設(shè)n（0）和矩陣L已經(jīng)由統(tǒng)計(jì)資料給出，則n(t) Ltn(0), t 0,1,2,L為了討論女性人口年齡結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)遠(yuǎn)變化趨勢(shì)，我們先給出如下兩個(gè)條件：(i)si>0，i=1，2，?，m-1;(ii)bi 0，i=1，2，?，m，且bi不全為零。易見，對(duì)于人口模型，這兩個(gè)條件是很容易滿足的。在條件（ i）、（ii）下，下面的結(jié)果是成立的：定理1L矩陣有唯一的單重的正的特征根 0，且對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為n*=[1，s/0，ss/2，?，ss?sm-1/m1]T（3）11212定理2若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有10。定理3若L第一行中至少有兩個(gè)順次的bi,bi10，則（i）若1是矩陣L的任意一個(gè)特征根，則必有10。（ii）limn(t)/0t=cn*，（4）t其中c是與n（0）有關(guān)的常數(shù)。定理1至定理3的證明這里省去。由定理 3的結(jié)論知道，當(dāng) t充分大時(shí)，有標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案n(t)ct0n*(5)定理4記 i bis1s2Lsi1，q（ ）= 1/ + 2/ 2+?+ m/ m，則 是L的非零特征根的充分必要條件為q（）=1（6）所以當(dāng)時(shí)間充分大時(shí)，女性人口的年齡結(jié)構(gòu)向量趨于穩(wěn)定狀態(tài)，即年齡結(jié)構(gòu)趨于穩(wěn)定形態(tài)，而各個(gè)年齡組的人口數(shù)近似地按 －1的比例增長(zhǎng)。由（ 5）式可得到如下結(jié)論：當(dāng)>1時(shí)，人口數(shù)最終是遞增的；當(dāng)<1時(shí)，人口數(shù)最終是遞減的；當(dāng)=1時(shí)，人口數(shù)是穩(wěn)定的。根據(jù)（6）式，如果 =1，則有b1+b2s1+b3s1s2+?+bms1s2?sm-1=1記R=b1+b2s1+b3s1s2+?+bms1s2?sm-1（7）R稱為凈增長(zhǎng)率，它的實(shí)際含義是每個(gè)婦女一生中所生女孩的平均數(shù)。當(dāng)R>1時(shí)，人口遞增；當(dāng)<1時(shí)，人口遞減。RLeslie模型有著廣泛應(yīng)用，這里我們給出一個(gè)應(yīng)用的例子，供大家參考。公園大象管理南非的一家大型自然公園放養(yǎng)了大約 11000 頭大象，管理部門希望為大象創(chuàng)造一個(gè)健康的生存環(huán)境，將大象的總數(shù)控制在 11000頭左右。每年，公園的管理人員都要統(tǒng)計(jì)當(dāng)年大象的總數(shù)。過去 20年里，公園每年都要處理一些大象，以便保持大象總數(shù)維持在 11000 頭左右，通常都是采用捕殺或者遷移的方法來實(shí)現(xiàn)。統(tǒng)計(jì)表明，每年約處理 600-800 頭大象。近年來，公眾強(qiáng)烈反對(duì)捕殺大象行為，而且即使是遷移少量的大象也是不允許的。但是一種新的給大象打避孕針的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕針后，兩年內(nèi)不再懷孕。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案公園有一些關(guān)于大象的資料，供建模參考：幾乎不再遷入或遷出大象；目前性別比接近1：1，采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；3初生象的性別比也是大約 1：1，生雙胎的比例為 1.35%4母象初次懷孕大約在 10-12 歲,一直到60歲大約每 3.5年懷胎一次,60歲后不再受孕 ,懷孕期為22個(gè)月；5避孕針可能引起大象每個(gè)月都發(fā)情 ,但不受孕,因?yàn)榇笙笸ǔＣ?3.5年生育1次,所以按月循壞的方案是不足取的；6避孕針對(duì)母象沒有副作用,打了避孕針的母象2年內(nèi)不再受孕；7初生象存活到1歲的比例為70%-80%,此后,直至60歲前,存活率都比較均勻,大約在95%以上,大象一般只活到 70歲；8公園里不存在捕殺行為 ,偷獵可以不考慮；公園管理部門有一份過去兩年移出公園大象的粗略統(tǒng)計(jì) ,不幸的是沒有捕殺或公園大象的具體數(shù)據(jù)；你的任務(wù)是,構(gòu)造一個(gè)模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公園大象的總數(shù) .同時(shí)需要完成以下任務(wù)：1建立并利用模型推算 2-60歲大象可能的存活率 ,以及目前的大象年齡結(jié)構(gòu)；2估計(jì)每年需要避孕多少大象 ,才能保證大象總數(shù)控制在 11000 頭左右,說明數(shù)據(jù)不確定性對(duì)你的結(jié)論的影響 ,評(píng)價(jià)一下年齡結(jié)構(gòu)的變化以及對(duì)旅游的影響 ,(你可能被要求觀察 30-60年)；3假設(shè)每年可以移出 50-300 頭大象,避孕大象數(shù)可以減少多少 ,評(píng)價(jià)如何根據(jù)經(jīng)濟(jì)效益平衡兩種方案；4有一些反對(duì)觀點(diǎn)認(rèn)為 ,假如出現(xiàn)疾病或者失控的偷獵 ,使大象總數(shù)突然大幅度下降 ,即使停止避孕,也會(huì)對(duì)大象群的恢復(fù)存在不良影響 ,研究并回答這個(gè)問題；標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案5公園公管理部門正在構(gòu)造模型 ,特別希望批駁那些以缺乏完整數(shù)據(jù)為由而嘲笑利用模型指導(dǎo)決策的觀點(diǎn) .希望你的模型包括一份技術(shù)報(bào)告能給公園管理部門提一些建議，提高公園管理部門的信心,除此之外,你的報(bào)告,還應(yīng)該包括一個(gè)詳細(xì)的技術(shù)流程 (最多3頁)回答公共關(guān)心的問題。6假如非洲其它公園對(duì)你的模型感興趣 ,有意利用你的模型 ,請(qǐng)為公園大象數(shù)在 300-25000頭規(guī)模的公園提供一份避孕計(jì)劃 ,順便考慮一下存活率稍有不同或者可以有遷移的情況 .附過去兩年的遷出數(shù)據(jù)年齡 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9總量1 103 77 71 70 68 61 58515251母象1 50 36 41 29 31 30 28242229總量2 98 74 69 6160 54 52595857母象2 57 34 33 2934 28 27312525年齡10111213141516171819總量1 51 50 51 48 4749 48 47 4342母象1 27 27 26 27 2625 28 27 1925總量260636460635952554950母象226363830333424302130年齡20212223242526272829總量142373941424345484947母象118161924172521262927總量253576553565053494340母象229274023292421262416年齡30313233343536373839總量146424444464947484641標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案母象1 24 22 20 22 242423 2521 24總量2 38 35 37 33 203330 2929 26母象2 17 16 18 18 151812 1716 13年齡40414243444546474849總量1 41 4243 38 3434 33 30 35 26母象1 24 1926 20 2015 16 13 20 11總量2 10 242522 2122 11 21 21 19母象261114101012811129年齡50515253545556575859總量12118145976044母象110984443032總量2155109765470母象26454423240年齡6061626364656667686970總量143221302102母象121110300102總量223020201000母象221000101000假設(shè)與分析大象性別比接近1：1，初生象的性別比也是大約1：1，采取控制后，也希望維持這個(gè)比例；過去兩年遷出的大象是隨機(jī)抽樣，其結(jié)構(gòu)反映了象群總體的年齡結(jié)構(gòu)；標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案避孕是隨機(jī)的，母象是否避孕是不可識(shí)別的，假設(shè)各個(gè)年齡的母象是等比例避孕的，比例系數(shù)為k，僅通過調(diào)節(jié)k來控制公園大象數(shù)量；4母象初次懷孕大約在 10-12 歲,簡(jiǎn)化假設(shè)大象初孕時(shí)間為 11歲，當(dāng)前狀態(tài)下，成年象的成活率為s，生育母象率為 r，老年象的成活率是線性逐漸遞減的，因此其成活率可表示為si s(70 i)/10,(60 i 70)設(shè)初生象活到 1歲的存活率為 s0。5避孕針對(duì)母象沒有副作用 ,打了避孕針的母象 2年內(nèi)不再受孕；且無論打避孕針前母象是否懷孕，一旦打了避孕針，母象就被避孕或中止懷孕，平均每年有 比例的母象處于避孕狀態(tài)；每年母象的避孕率為 ，每年的避孕方案時(shí)瞬時(shí)完成的。假設(shè)大象的年齡結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的。數(shù)據(jù)處理與分析1）2-60歲大象的存活率與年齡結(jié)構(gòu)母象生育率為r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448 頭/年12歲的母象生育母象的生育率為 r/6。由題設(shè)知道存活率s(0.95,0.99)。以下是第一年遷移出0至70歲大象數(shù)據(jù)x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4, 4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ];以下是第二年遷移的 0-70 歲大象數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案x2=[98,7469616054525958576063646063595255495053576553565053494340383537332033302929261024252221221121211915510976547023020201000];x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y1=[503641293130282422292727262726252827192518161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032];以下是第二年遷移的0-59歲母象數(shù)據(jù)y2=[57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240];考慮到有些數(shù)據(jù)較小及抽樣的隨機(jī)性，我們?nèi)纱纬闃拥钠骄底鳛榉治龅幕緮?shù)據(jù)。t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis([10,40,0,5]);title(' 圖1')標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案圖154.543.532.521.510.5010 15 20 25 30 35 40通過以上分析大致可以得到， 1-60歲大象的存活率約為 0.98。0-70 歲年齡結(jié)構(gòu)向量見圖2。y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,y0,'stacked');title(' 圖2')圖24.543.532.521.510.5001020304050607080-10下面我們?nèi)?s0 0.75,s1 s2 0.98。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案endm1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title(' 圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu) ')7圖3穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu)654321001020304050607080-10plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');title(' 圖4年齡結(jié)構(gòu)當(dāng)前狀態(tài)與穩(wěn)定狀態(tài)比較 ')圖 4 年 齡 結(jié) 構(gòu) 當(dāng) 前 狀 態(tài) 與 穩(wěn) 定 狀 態(tài) 比 較765432100 10 20 30 40 50 60 70polyfit(y0,m1,1)ans=標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案0.1981 -0.0694從所給的數(shù)據(jù)來看，象群的年齡結(jié)構(gòu)還沒有達(dá)到相對(duì)穩(wěn)定的狀態(tài)。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，大體可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩陣的唯一正特征值為 1.0322。對(duì)于不同的存活率，得到的唯一正特征值為：s00.75,s0.97,p1.023;s00.75,s0.98,p1.0322;s00.75,s0.99,p1.042.下面我們估計(jì)每年處于避孕狀態(tài)母象的比率。此時(shí)，女性生育率為0.1448(1)。記s00.75,s1s20.98130.1448(1)s0s111/6,i0.1448(1)s0s111Ls2i12(14i61)由（6）式得標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案q(1) 13 14 L 61 1解得110.6240.376,0.1448s0s111[1/6s2(1s248)/(1s2)]ans=0.6240即每年應(yīng)該有 62.4%的母象處于避孕狀態(tài)。為了保證有 62.4%的母象處于避孕狀態(tài)，下面分析每年應(yīng)該打避孕針母象的比例 。在假設(shè)3和假設(shè)5的前提下，如果每年打避孕針母象比例為 。母象可以分成 3類：即當(dāng)年被打避孕針而上一年沒有被打避孕針或上一年被打避孕針而本年沒有被打避孕針 ,比例為2(1 )；連續(xù)兩年被打避孕針 2；連續(xù)兩年沒有被打避孕針。只有最后一類母象具有生育能力。因此，只需要 滿足方程2(1 )1-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003

2解得 0.387，即每年大約需要給 2127頭母象打避孕針。在方案實(shí)施過程中，實(shí)際上根本不需要打這么多針，因?yàn)樵S多小象還是可以識(shí)別的。可以采取隨機(jī)抽樣的打針方式，對(duì)于抽到的小象只計(jì)數(shù)不打針，直至計(jì)滿 2127頭母象，就算完成當(dāng)年任務(wù)。采取打避孕針的方案對(duì)象群的年齡結(jié)構(gòu)是由一些影響的，下面給出了打與不打避孕針情況下穩(wěn)定的象群年齡結(jié)構(gòu)與各你阿爸年齡段象群數(shù)的比較。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案end;m1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end;n1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m1,'r-',a,n1,'b--');title(' 圖5年齡結(jié)構(gòu)比較 ');axis([0,70,0,1]);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b--')title(' 圖5各年齡段大象數(shù)比較圖 ')axis([-0,70,0,300])圖5年齡結(jié)構(gòu)比較圖5各年齡段大象數(shù)比較圖13000.92500.80.72000.60.51500.41000.30.2500.10204060020406000通過以上兩個(gè)圖的比較，可以發(fā)現(xiàn)采取避孕措施，將使幼象、小象數(shù)減少，中老年象數(shù)增加。由于采取避孕措施，使得初生小象數(shù)減少，因此會(huì)不可避免地引起象群年齡結(jié)構(gòu)的改變，下面分析， 15年、30年、60年后的象群年齡結(jié)構(gòu)。標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案L=zeros(71,71);fori=14:61forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L);n15=L^15*x0';n30=L^15*n15;n60=L^30*n30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title(' 圖6a避孕前種群量分布 ');axis([0,70,0,250])圖 6a 避 孕 前 種 群 量 分 布2502001501005000 10 20 30 40 50 60 70bar(a,M15)title(' 圖6b避孕15年后種群量分布 ');axis([0,70,0,250])標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案圖 6b 避 孕 15年 后 種 群 量 分 布2502001501005000 10 20 30 40 50 60 70bar(a,M30)title(' 圖6c避孕30年后種群量分布 ');axis([0,70,0,250])圖 6c 避 孕 30 年 后 種 群 量 分 布2502001501005000 10 20 30 40 50 60 70M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title(' 圖6d避孕前種群量分布 ');axis([0,70,0,250])標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案 n70=L^70*x0';n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);圖7給出了避孕前后年齡結(jié)構(gòu)穩(wěn)定狀態(tài)的比較plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.');title(' 圖7避孕前后穩(wěn)定的年齡結(jié)構(gòu) ');axis([0,70,0,5])圖 7 避 孕 前 后 穩(wěn) 定 的 年 齡 結(jié) 構(gòu)54.543.532.521.510.500 10 20 30 40 50 60 70數(shù)據(jù)不確定性對(duì)結(jié)果的影響分別取s00.7,0.8,s1s20.95,0.9910.421,0.57910.1448s0s111[1/6s2(1s248)/(1s2)]ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案0.0058ans=0.74661-sqrt(1-0.7466)ans=0.4966[0.012,0.757]每年需避孕的母象比例為 0.6%—49.7% 。對(duì)于每年可以遷移50-300頭大象及s00.75,s1s20.98，下面分析避孕方案的變化及最經(jīng)濟(jì)的方案。設(shè)增長(zhǎng)率為p，對(duì)于s00.75,s1s20.98130.1448(1)s0s111/6,i0.1448(1)s0s111Ls2i12(14i61)q(p)13/p1214/p13L61/p601令s0's0/p,s'1s1/p,s2's2/p'130.1448(1')s0's111/6,14'0.1448(1')s0'(s')111(s')i212(14i61)q(p)'13'14L'6111'10.1448s'0s'111[1/6s'2(1s'248)/(1s'2)]當(dāng)p1.01，每年的避孕率為28.2%，每年遷出110頭；當(dāng)p1.02，每年的避孕率為16.8%，每年遷出220頭；當(dāng)p1.025，每年的避孕率為11.3%，遷出275頭。ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;標(biāo)準(zhǔn)文檔實(shí)用文案ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.2822p=1.02;ans=0.30801-sqrt(0.692)a