《金新學案》高考數(shù)學總復習 13.1導數(shù) 文 大綱人教

第十三章導數(shù)知識點考綱下載導數(shù)的概念與運算1.了解導數(shù)概念的實際背景．2．理解導數(shù)的幾何意義．3．掌握函數(shù)y＝C(C為常數(shù))和y＝xn(n∈N*)的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)．導數(shù)的應用1.理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．2．會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值.第1課時導數(shù)的概念及其運算1．導函數(shù)如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每點處都有導數(shù)，此時對于每一個x∈(a，b)，都對應著一個確定的導數(shù)f′(x)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f′(x)．稱這個函數(shù)f′(x)為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù)，簡稱導數(shù)，也可記作y′.即f′(x)＝函數(shù)y＝f(x)在x0處的導數(shù)y′|x＝x0就是函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)(x0∈(a，b))上導數(shù)f′(x)在x0處的函數(shù)值，即y′|x＝x0＝

．f′(x0)2．導數(shù)的意義3.幾種常見函數(shù)的導數(shù)(1)C為常數(shù)，則(C)′＝

；(2)(xn)′＝

(x∈N)．4．求導法則如果f(x)，g(x)有導數(shù)，那么(1)[f(x)±g(x)]′＝

；(2)[C·f(x)]′＝

．nxn－1f′(x)±g′(x)C·f′(x)01．質(zhì)點運動方程為S＝－t2＋1，則質(zhì)點在t＝2時的速度為(

)A．0

B．1C．－2D．2答案：

C2．曲線y＝2x－x3在x＝－1處的切線方程為(

)A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝0解析：

∵y＝2x－x3，∴y′＝2－3x2，y′|x＝－1＝2－3＝－1.于是，它在點(－1，－1)處的切線方程為y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.答案：

A3．函數(shù)f(x)滿足f′(x)＝3x2，且f(－1)＝2，則f(x)的解析式為(

)A．f(x)＝x3＋3B．f(x)＝x3＋1C．f(x)＝3x3＋5D．f(x)＝3x3－1解析：

∵f′(x)＝3x2，∴可設f(x)＝x3＋C又∵f(－1)＝2，∴C＝3∴f(x)＝x3＋3.答案：

A4．已知y＝x3－2x＋1，則y′＝________，y′|x＝2＝________.解析：

∵y＝x3－2x＋1∴y′＝3x2－2∴y′|x＝2＝3×22－2＝12－2＝10.答案：

3x2－2

105．已知點P在曲線f(x)＝x4－x上，曲線在點P處的切線平行于直線3x－y＝0，則點P的坐標為________．解析：由題意知，函數(shù)f(x)＝x4－x在點P處的切線的斜率等于3，即f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，將其代入f(x)中可得P(1,0)．答案：

(1,0)由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)的一般方法是：

一質(zhì)點運動的方程為s＝8－3t2.(1)求質(zhì)點在[1,1＋Δt]這段時間內(nèi)的平均速度；(2)求質(zhì)點在t＝1時的瞬時速度(用定義及求導兩種方法)．[變式訓練]

1.已知某運動物體的位移y(米)與其運動時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系為：y＝t3＋t.(1)設y＝f(t)，利用導數(shù)的定義求f′(t)．(2)求該物體在t＝2秒時的瞬間速度．解析：

(1)∵f(t＋Δt)－f(t)＝(t＋Δt)3－t3＋(t＋Δt)－t＝Δt[(Δt＋t)2＋t(t＋Δt)＋t2＋1]＝Δt[3t2＋3Δt·t＋(Δt)2＋1]，(2)∵t＝2秒時的瞬時速度即f′(2)，∴瞬間速度為f′(2)＝3×4＋1＝13(米/秒)．1．要正確求出導數(shù)，應熟記(xn)′＝nxn－1(n∈N*)及[Cf(x)]′＝C·f′(x)，并靈活應用．2．求幾個多項式乘積的導數(shù)時，必須先將多項式乘積展開，化為a0xn＋a1xn－1＋a2xn－2＋…＋an－1x＋an的形式，再應用求導法則進行求導．

求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝2x3－3x2＋5x－4；(2)y＝(x＋1)(2x2＋3x－1)；解析：

(1)y′＝(2x3)′－(3x2)′＋(5x)′－(4)′＝6x2－6x＋5.(2)y＝2x3＋3x2－x＋2x2＋3x－1＝2x3＋5x2＋2x－1，∴y′＝6x2＋10x＋2.[變式訓練]

2.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y＝5x2－4x＋1；(2)y＝(2x2－1)(3x＋1)．解析：

(1)y′＝(5x2－4x＋1)′＝(5x2)′－(4x)′＋(1)′＝10x－4.(2)∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.1．求曲線切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導數(shù)，即曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處切線的斜率；(2)由點斜式方程求得切線方程為y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．2．當曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線平行于y軸(此時導數(shù)不存在)時，切線方程為x＝x0；當切點坐標不知道時，應首先設出切點坐標，再求解．

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.(1)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．解析：

(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，設切點坐標為(x0，y0)，即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)．切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18，即y＝4x－18或y＝4x－14.[變式訓練]

3.若直線y＝3x＋1是曲線y＝x3－a的一條切線，求實數(shù)a的值．解析：

設切點為P(x0，y0)，對y＝x3－a求導數(shù)得y′＝3x2，∴

，∴x0＝±1.當x0＝1時，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4，即P(1,4)．又P(1,4)也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；當x0＝－1時，∵P(x0，y0)在y＝3x＋1上，∴y0＝3×(－1)＋1＝－2，即P(－1，－2)．又P(－1，－2)也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.綜上可知，實數(shù)a的值為－3或1.1．求導數(shù)時，先化簡再求導是運算的基本方法．2．求曲線在某點P(x0，y0)處的切線方程的一般步驟：(1)求出函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)；(2)求斜率k＝f′(x0)；(3)利用點斜式寫出切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3．有關(guān)導數(shù)幾何意義的題目一般有兩類：一類是求曲線的切線方程，在某點處的切線一般有一條，過某點的切線可能有兩條或多條；第二類是已知曲線的切線求字母的題目，已知曲線的切線，一般轉(zhuǎn)化為兩個條件，原函數(shù)一個條件，導函數(shù)一個條件．通過近三年高考試題的分析，有以下的命題規(guī)律：1．考查熱點：導數(shù)的幾何意義及應用．2．考查形式：一般為選擇題和填空題，解答題中第一問．3．考查角度：一是對導數(shù)的概念與幾何意義的考查，二是對導數(shù)運算的考查，求多項式函數(shù)的導數(shù)，以及求導函數(shù)的函數(shù)值．4．命題趨勢：以導數(shù)的幾何意義為背景，與直線的斜率、傾斜角相聯(lián)系．(2010·全國卷Ⅱ)若曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(

)A．a(chǎn)＝1，b＝1B．a(chǎn)＝－1，b＝1C．a(chǎn)＝1，b＝－1D．a(chǎn)＝－1，b＝－1解析：

求導得y′＝2x＋a，因為曲線y＝x2＋ax＋b在點(0，b)處的切線l的方程是x－y＋1＝0，所以切線l的斜率k＝1＝y(tǒng)′|x＝0，且點(0，b)在切線l上，答案：

A[閱后報告]

解答本題的突破點是利用(0，b)在切線上這一條件，列出方程組求a，b.1．(2010·新課標全國卷)曲線y＝x3－2x＋1在點(1,0)處的切線方程為(

)A．y＝x－1

B．y＝－x＋1C．y＝2x－2D．y＝－2x＋2解析：

由題可知，點(1,0)在曲線y＝x3－2x＋1上，求導可得y′＝3x2－2，所以在點(1,0)處的切線的斜率k＝1，切線過點(1,0)，根據(jù)直線的點斜式可得過點(1,0)的曲線y＝x3－2x＋1的切線方程為y＝x－1.答案：

A2．(2010·江西卷)若函數(shù)f(