微積分-a1第十三周習(xí)題課

yx2y例.1yy(x在y0

解:y0x0y0yy(xy2x2yy2x2y(x2y2)x0y0yy(x下凸x0y0yy(x上凸x0f(x)y(xf(x)

dy(x)y(x)x2f(x)2yx2yf(0y(00可知y

f(x)也是初值問(wèn)題y0 的解.由初值問(wèn)題解的y(x)2

f(x)y(x)x

y(x)是奇函數(shù)x0時(shí),

yx

y(x) y(x)dx

x時(shí).通理,當(dāng)x時(shí),y(x)yx3例 試研究y0

yxx2y2

y0,

x

y,

x

Miny(x)y(0)yy0y

0,

x

y,

x

yx0,xyx2y2x2xyy3x2y2x4yx2y30是下凸的函數(shù)。例.3yy(x)滿足條件xy3xy21exy(0)y(0)y(x)Ax2

x

Af(x)Ax2f(0)

f(0)y(0)y(0)0要使y(x

f(x,只要y

f

y

1x

1exx

1x

2A.而

1x

A12例.412y(xcex212

解:y2xcex2,y4x2cex22c xy(1x2)y

y2x21 例

yyy0yxy

yy

(xC)2y 4(xC)2y 41:原式y(tǒng)

yx

x dxlnlnu1lnCxyxe1Cu(lnu2:原式dyy

xylnxxyor

faxpxyqx型方例.7解方程dy1ysin 1

sin

1

y(x)

x(C

e xy(x)1(Csinxdx)1(Ccosx 解2:對(duì)方兩邊同乘x,得xyysinx xysinxxysinxdxC例.8若(x2xyy2yy2xdx12yx

y1(cosxC)x求一般解 (xy2cy2ey y

y2dx(x2xyy2)dy

dx12yxxy2cy2e

yyy=例.10求曲線yyx)yy=1

2tg

tgxtgtg2

1cos將tgyxtgx

x2y2x2y2 (2)2x2y2x2yd

x2y2x2yydyx2y

dx2y2

x2

y2xx2y

xcy22cxc2例.11將質(zhì)量為m的物體,以初速v0比例系數(shù)k0。求物體到達(dá)的高度，到這最高處的時(shí)間，落到原地時(shí)的速度及下落mdvmg上升方程及條件 mdvmg下落方程及條件 mdvmgk2v解：上升方程及條件 kgkgt

kkv0kk

v

t*

mg kkg kkgkg

Hk0k

v0

mdvmgk2v下落方程及條件 例.12某湖泊水量為VA的污水，入湖污水量6

為6,流出量3。己知1999年底湖中有污物5m0，超 。為治污從 m(tP(tQ(t分別表示第t年湖內(nèi)污物Admm0Vm V Vm(0)5m0

mm0cet2tmm0,t6ln

mm02

32m03例.13yax3

a

解:曲線族yax3 aR滿足的方程yax3

yy3yxx23y2

y3

例.14解方程

1(.2ppy)dy

d2yd

dpdypdydx

dp,代入方程得到p

12 2pdpdy,兩端積分得到ln(1p2)lnylnc1 dy c1yc1y2c2c1y解此方程得

c1 xc2

dxc 2化簡(jiǎn)得4(cy1c 21

d2

dy cosydx

sin ) 例.15求解二階微分方程的定解問(wèn)題y(1)

,y(1) 解：令

d2y

uuucosyuu2sinyuu0yCu0

uutany

，cos解為uycos

y(1,y(11，得

0

dysiny

lncscycotyty(1得出

3)tany1cosy

1cos1cos1cos

sin例.16求曲線方程，在該曲線上任意點(diǎn)的曲率半徑等于夾在該點(diǎn)與橫軸之間的法線之長(zhǎng)， (1)向下凸； 2)向上凸.解

yy21yy21y1y1 向下凸 ,令py

pdp12

1

cy

cy21ecy21 cy2cy21

cy

exc1 y1exc1exc11Shxc

1，曲線為xc2y2c21 例.17XOY坐標(biāo)平面上,L過(guò)點(diǎn)M(0,1P(xyx0)處的切OP的斜率之差等于ax（常數(shù)a0）求L的方程當(dāng)Lyax8時(shí),確定a的值3解：(Ⅰ)Lyy(xy(1)0LP(xy處切線斜率為ky(x)，y直線OP的斜率k 。由題設(shè)知kkaxx。因此yyy yy(xyyxx

yedx[Caxedx x1

x[Cadx]CxaxCa0CaLyax(x1(Ⅱ)Lyaxyax(xy

axax(x2)0，解出兩個(gè)交點(diǎn)

與(2,2a)LyaxS(a)2[axax(x1)]dxa2(2xx203233a(x2x30

a(4

8)4a 令S(a)4a8得到常數(shù)a2 y例.18HhSShs0y孔，若水流出速度v是水深h

v 解y軸方向?yàn)樗蟹匠蹋何⒃胶夥治?t到tdt的時(shí)段內(nèi)：水深變化dy引起的水量變化=dt時(shí)間內(nèi)流出的水量Sydy即y0

2gyyyt，Sy是已知函ySydyy11Syt y

dt

yyyh

dy 0合后的空氣又以同樣的速率排出，求t時(shí)刻空氣內(nèi)含有的廢氣濃度，并求使廢氣濃度解設(shè)在時(shí)刻ty(tdy y(t)dt，y(0)ay(t)

e1000

y(t)a

e10002

（min，即廢（min例.201m2m時(shí)間（水面比出水口高h(yuǎn)時(shí)，出水速度v0.6 設(shè)t時(shí)刻水面的高度為hdt時(shí)間后水面的高度降低