專題41：排列與組合-教師版

典型高考數(shù)學(xué)試題解讀與變式2018版考點41排列與組合一、 知識儲備匯總與命題規(guī)律展望1.知識儲備匯總：(1)兩個原理：①分類計數(shù)原理(加法原理)：完成一件事有〃類不同方案，在第1類方案中有名種不同的方法，在第2類方案中有根2種不同的方法， ，第〃類方案中有根，種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2++m種不同的方法..②分步計數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事有〃個步驟，完成第1步有m1種不同的方法，完成第2步有m2種不同的方法， ，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1xm2xxmn種不同的方法... ...(2)排列與排列數(shù)①排列：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.②排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作An.n!③排列數(shù)公式：Am=n(n—1)…(n—m+1)=- -.(n,m￡N*,且m<n).注：規(guī)定0!=1.n (n—m)!(3)組合與組合數(shù)①組合：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.②組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(mWn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作Cm.nAmn(n—1)?…(n—m+1) n! …③組合數(shù)公式：Cm=丁=———— =—— (n￡N*,meN，且m<n).nAm 1x2x?…xm m!?(n—m)!m注:規(guī)定C0=1.n④組合數(shù)的兩個性質(zhì)(1)Cm=Cn-m； (2)Cm+Cm-1=Cm.nn nn n+12.命題規(guī)律展望：排列與組合是高考考查的熱點和重點，主要考查利用分步計數(shù)原理、分類計數(shù)原理、排列組合的知識計算計數(shù)問題和古典概型的計算，題型為選擇填空或解答題中利用排列組合知識求隨機(jī)變量分布列，分值為5至12分，難度為基礎(chǔ)題或中檔題.二、題型與相關(guān)高考題解讀.兩個定理應(yīng)用

考題展示與解讀例1（2016?全國甲卷）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（）VI?—I—■A.24B.18C.12 D.9【命題意圖探究】本題主要考查利用兩個原理計算計數(shù)問題，是基礎(chǔ)題【答案】呂【解析】分兩步：第一步，從―月有6條可以選擇的最短路徑」第二步，從一公有3條可以選擇的最坦路筏.由分步乘法計數(shù)原理可知有6X3=18條可以選擇的最短路徑.故選B.【解題能力要求】分類整合思想、運(yùn)算求解能力【方法技巧歸納】利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路：（1）弄清“完成一件事”是什么事；（2）確定是先分類后分步，還是先分步后分類;（3）弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么；（4）利用兩個計數(shù)原理求解；（5）對于分類計數(shù)原理，要重點抓住“類”字，應(yīng)用時要注意“類”及“類”之間的獨立性和并列性，對于分步計數(shù)原理，要重點抓住“步”字，應(yīng)用時要注意“步”與“步”之間的相依性和連續(xù)性，對于稍復(fù)雜問題，常常結(jié)合相關(guān)知識混合使用兩個計數(shù)原理.【典型考題變式】【變式1：改編條件】將1,2,3,…，9這九個數(shù)字填在如圖所示的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下增大，當(dāng)3,4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法有（）A.6種B.12種C.18種D.24種【答案】A第一步，數(shù)字1,2,9第一步，數(shù)字1,2,9必須放在如圖的位置，只有1種方法.第二步，數(shù)字5可以放在左下角或右上角兩個位置，故數(shù)字5有2種方法.第三步，數(shù)字6如果和數(shù)字5相鄰，則7,8有1種方法；數(shù)字6如果不和數(shù)字5相鄰，則7,8有2種方法，故數(shù)字6,7,8共有3種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有1X2X3=6（種）填寫空格的方法，故選A.【變式2：改編結(jié)論】4名學(xué)生被中大、華工、華師錄取，若每所大學(xué)至少要錄取1名，則共有不同的錄取方法.【答案】36種【解析】先從4名學(xué)生中任意選2個人作為一組，方法。2=6種；再把這一組和其它2個人分配到3所大4學(xué)，方法有A3=6種，再根據(jù)分步計數(shù)原理可得不同的錄取方法6X6=36種，故答案為36種.3【變式3：改編問法】在高校自主招生中，某學(xué)校獲得5個推薦名額，其中清華大學(xué)2名，北京大學(xué)2名，浙江大學(xué)1名，并且清華大學(xué)和北京大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個推薦對象，則不同的推薦方法共有()A.36種B.24種C.22種D.20種【答案】B【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①第一類三個男生每個大學(xué)各推薦一大，兩名女生分別推薦北京大學(xué)和清華大學(xué)，共有罵名=12種推薦方法』②將三個男生分成兩組分別推薦北京大學(xué)和清華大學(xué)，其余2個女生從剩下的2個大學(xué)中選，共有穹石石=12種推薦方法S故共有12+12=24種推薦方法，故選：E.2.排列問題考題展示與解讀例2【2016年高考四川理數(shù)】用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為(A)24 (B)48 (C)60 (D)72【命題意圖探究】本題主要考查利用分步計數(shù)原理及排列的知識計算計數(shù)問題，是基礎(chǔ)題【答案】D【解析】由題意，要組成沒有重復(fù)的五位奇數(shù)，則個位數(shù)應(yīng)該為1、3、5中之一，其他位置共有隨便排共A44種可能，所以其中奇數(shù)的個數(shù)為3A4=72，故選D.4【解題能力要求】運(yùn)算求解能力【方法技巧歸納】解決排列問題的主要方法(1)解決“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置.(2)解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看做一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.(3)解決不相鄰問題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.(4)對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.⑸若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法”.2.2【典型考題變式】【變式1：改編條件】由1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)字組成七位數(shù)，要求沒有重復(fù)數(shù)字且6、7均不得排在首位與個位，1與6必須相鄰，則這樣的七位數(shù)的個數(shù)是（）A.300B.338C.600D.768【答案】D【解析】當(dāng)1在首位時，6只有一種排法，?有四種排法，余下四數(shù)共有，中排法，共有以4父父=%種,當(dāng)工在個位時，同樣共有花種s當(dāng)1即不再首位也不在個位時，先把1和5排好，有4父人：種排法，再排T有3種排法，余下四數(shù)共有《中排法，共有4MA強(qiáng)3父父=576種，綜上：共有192+576=倏，故選：D.【變式2：改編結(jié)論】生產(chǎn)過程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排一人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排一人，則不同的安排方案共有 （ ）A.24種B.36種C.48種D.72種【答案】B【解析】第一道工序安排甲則第四道工序安排丙，從剩下4選兩人照看剩下兩道工序有A2方案；第一道工序安排乙則第四道工序有兩種方案，再從剩下4選兩人照看剩下兩道工序有A2方案，因此共有A2+2A2=36，選B.【變式3：改編問法】某鐵路所有車站共發(fā)行132種普通客票，則這段鐵路共有車站數(shù)是（）A.8B.12C.16D.24【答案】B【解析】設(shè)共有n個車站，在n個車站中，每個車站之間都有2種車票，相當(dāng)于從n個元素中拿出2個進(jìn)行排列，共有A2=132=12x11，n=12，故選b.n.組合問題考題展示與解讀例312017浙江，16】從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有中不同的選法.（用數(shù)字作答）【解題能力要求】本題主要考查分類計數(shù)原理及利用組合知識計算計數(shù)問題，是中檔題【答案】660【解析】由題意可得：總的選擇方法為C4xC1xC1種方法，其中不滿足題意的選法有C4xC1xC1種方法，8 4 3 6 4 3則滿足題意的選法有：C4xC1xC1-C4xC1xC1=660種.8 4 3 6 4 3【解題能力要求】運(yùn)算求解能力，正難則反思想【方法技巧歸納】組合問題解題思路：（1）分清問題是否為組合問題；（2）對較復(fù)雜的組合問題，要搞清是“分類”還是“分步”，一般是先整體分類，然后局部分步，將復(fù)雜問題通過兩個計數(shù)原理化歸為簡單問題；（2）分組問題：①若各組元素個數(shù)均不相同，則逐組抽?。虎谌羝渲杏腥舾山M元素個數(shù)相同，則逐組選取，因元素個數(shù)相同，所以組間無差別，故除以元素個數(shù)相同組數(shù)的全排列以消序；（4）組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出元素中“含”或“不含”某些元素，或者“至少”或“最多”含有幾個元素：①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型.“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型.考慮逆向思維，用間接法處理【典型考題變式】【變式1：改編條件】【廣東省中山市第一中學(xué)2018屆月考】有6名學(xué)生，其中有3名會唱歌，2名會跳舞，1名既會唱歌又會跳舞，現(xiàn)從中選出2名會唱歌的，1名會跳舞的，去參加文藝演出，求所有不同的選法種數(shù)為（）A.18B.15C.16D.25【答案】B【解析】4名會唱歌的從中選出兩個有C2=6種，3名會跳舞的選出1名有3種選法，但其中一名既會唱歌4又會跳舞的有一個,兩組不能同時用他，???共有3x6-3=15種，故選B.【變式2：改編結(jié)論】在一個圓周上有10個點，任取3個點作為頂點作三角形，一共可以作個三角形（用數(shù)字作答）.【答案】120【解析】由于圓周上的任意三點不共線，所以任取3點方法數(shù)為C；o=120，填120.【變式3：改編問法】省中醫(yī)院5月1號至5月3號擬安排6位醫(yī)生值班，要求每人值班1天，每天安排2人.若6位醫(yī)生中的甲不能值2號，乙不能值3號，則不同的安排值班的方法共有種.【答案】42;【解析】分兩類（1）甲、乙同一天值班，則只能排在1號，有C4=6種排法；（2）甲、乙不在同一天值班，有CiCix3=36種排法，故共有42種方法.43.排列組合綜合問題考題展示與解讀例412017課標(biāo)II,理6】安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【命題意圖探究】本題主要考查利用分步計數(shù)原理及排列組合知識計算計數(shù)問題，是基礎(chǔ)題【答案】D【解析】由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份:有C4種方法，然后進(jìn)行全排列A；即可，由乘法原理，不同的安排方式共有C:XA3=36種方法。故選D?！窘忸}能力要求】運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識【方法技巧歸納】排列、組合的混合題推理是從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上的問題.其基本的解題步驟為：第一步：選，根據(jù)要求先選出符合要求的元素.第二步：排，把選出的元素按照要求進(jìn)行排列.第三步：乘，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解不同的排列種數(shù)，得到結(jié)果.【典型考題變式】【變式1：改編條件】從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)，物理，化學(xué)，生物四科競賽，其中甲不能參加生物競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為A.48B.72C.90D.96【答案】D【解析】因甲不參加生物競寒，則安排甲參加另外3場比塞或甲學(xué)生不參加任何比蹇①當(dāng)甲參加另外3場比賽時，共有g(shù)1?4打72種選擇方案s②當(dāng)甲學(xué)生不參加任何比賽時,共有種選擇方案.綜上所述，所有參賽方案有六+%=非種，故選【變式2：改編結(jié)論】某校的A、B、C、D四位同學(xué)準(zhǔn)備從三門選修課中各選一門，若要求每門選修課至少有一人選修，且A,B不選修同一門課，則不同的選法有（）A.36種B.72種C.30種D.66種【答案】C【解析】先從4人中選出2人作為1個整體有C2=6種選法，減去A、B在同一組還有5種選法，再選34門課程有A3種選法，利用分步計數(shù)原理有5A3=30種不同選法.選C.【變式3：改編問法】在高校自主招生中，某學(xué)校獲得5個推薦名額，其中中山大學(xué)2名，暨南大學(xué)2名，華南師范大學(xué)1名，并且暨南大學(xué)和中山大學(xué)都要求必須有男生參加，學(xué)校通過選拔定下3男2女共5個A.36B.24C.22D.20【答案】B【解析】由題意可分成兩類:第一類是將3個男生每個大學(xué)各推薦1人,共有A3A2=12種推薦方法;第二類是將3個男生分成兩組分別推薦給暨南大學(xué)和中山大學(xué) ，其余2個女生從剩下的大學(xué)中選，共有C2A2A2=12種推薦方法，故共有12+12=24種推薦方法，故選擇B.322三、課本試題探源選修2-3 P28頁習(xí)題1.2B第3題：從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)，從2,4,6,8中任取2個數(shù)，一共可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？【解析】分三步，第一步，從從1,3,5,7,9中任取3個數(shù)有或種不同的取法，第二步從2,4再E中任取2個數(shù)有第種不同取法，第三步，將這五個數(shù)排成一排有過不同排法，一種對應(yīng)一個沒有重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)，更具分步計數(shù)原理，可組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)個數(shù)為或=7200.四.典例高考試題演練（2018屆河南三門峽市階段考）5名成人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數(shù)有（）A.A；A42種 B.A5”種 C.A|A;種 D.A7-4A6種【答案】A【解析】首先5名大人先排隊，共有A;種，然后把兩個小孩插進(jìn)中間的4個空中，共有A42種排法，根據(jù)乘法原理，共有A55A42種，故選A.2.【廣東省德慶縣香山中學(xué)2018屆第一次模擬】從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有（）種.A.36B.30C.12D.6【答案】A【解析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔(dān)任文藝委員，再從4人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，所以不同的選法共有C3A42=36種，故選A.3.【福建省2018屆高三基地?？倧?fù)習(xí)綜合卷數(shù)學(xué)試題】將甲，乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)，清華大學(xué)，浙江大學(xué)等三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法數(shù)為（）A.150種 B.180種C.240種D.540種【答案】A【解析】先將5個人分成三組，（3,1,1）或（1,2,2），分組方法有C3+C1CC2=25中，再將三組全排列有5 5 2A3=6種,故總的方法數(shù)有25-6=150種.選A.34.【山東省壽光現(xiàn)代中學(xué)2018屆開學(xué)考】在航天員進(jìn)行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，問實驗順序的編排方法共有 （）A.34種B.48種C.96種D.144種【答案】C【解析】先安排A兩種方法，再安排BC，有4x2=8種方法，剩下全排列，所以共有2x8xA;=96，選C.5.【浙江省臨海市白云高級中學(xué)2018屆第二次月考】2個男生和4個女生排成一排，其中男生既不相鄰也不排兩端的不同排法有（）A.A4 A2種 B.A2 A6種 C.A2A4種 D.A2 A4種4 3 4 6 6 6 2 4【答案】A【解析】4名女生站成一排有4種排法，2個男生既不相鄰也不排在兩端，采用插空法，放在4名女生的3個空中（不含兩端）有所種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同排法種數(shù)有父-羽種，選亂.【2018屆廣東省東莞市階段考】將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分配到三個不同的班，每個班至少一名，則不同分法的種數(shù)為（）A.18B.24C.36D.72【答案】C【解析】先不考慮甲、乙同班的情況，將4人分成三組有C2=6（種）方法，再將三組同學(xué)分配到三個班4級有A33=6（種）分配方法，依據(jù)分步計數(shù)原理可得不同分配方法有6X6=36種，應(yīng)選答案C。.【2018屆河南南陽一中第二次月考】安排3名志愿者完成5項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）A.90種B.150種C.180種D.300種【答案】B【解析】按每個人工作的項目數(shù)，分兩種情況：（1）1+1+3,所以先選分組，再排列C5A3=60,（2）2+2+1,C2C2C1,一先分組，為均分組，再排列，531?A3=90，總方法數(shù)150，選B.A2 32.【河北省廊坊市省級示范高中聯(lián)合體2018屆開學(xué)測】某校選定甲、乙、丙、丁、戊共5名教師去3個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必須同地，則不同的選派方案共有（）種A.27B.36C.33D.30【答案】D【解析】因為甲和丙同地，甲和乙不同地，所以有2、2、1和3、1、1兩種分配方案，2、2、1方案：甲、丙為一組，從余下3人選出2人組成一組，然后排列，共有：C；xA|=18種；3、1、1方案：在丁、戊中選出1人，與甲丙組成一組，然后排列，共有：CixA3=12種；所以，選派方案共有18+12=30種，故23選D..【2018屆廣東省揭陽市第三中學(xué)第二次月考】身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)顏色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法共有（）A.24種B.28種C.36種D.48種【答案】D【解析】由題意知先使五個人的全排列，共有6種結(jié)果.去掉同顏色衣服相的人都相鄰的情況，再去掉僅穿藍(lán)色相鄰和僅穿黃色相鄰的兩種情況.穿相同顏色衣服的人都相鄰的情況有名名H種（相鄰的看成一整體），當(dāng)穿蘭色衣服的相鄰，而穿黃色衣服的人不相鄰，共有名石工種（相鄰的看成一整體，不相鄰利用插空法）,同理當(dāng)穿黃色衣服的相鄰，而穿蘭色衣服的人不相鄰，也共有名石H種，，穿相同顏色衣服的人不能相鄰的排法是4-名石H一2名石H二姐，故答案0.【重慶市巴蜀中學(xué)2018屆高三9月高考適應(yīng)月考】將某商場某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個的長方體框架（如圖），小紅欲從4處行走至川處，則小紅行走路程最近且任何兩次向上行走都不連續(xù)的路線共有（）A.360種B.210種C.60種D.30種【答案】C【解析】根據(jù)題意，最近路線，那就是不能走回頭路，不能走重復(fù)的路；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共7次；因為不能連續(xù)向上,所以先把不向上的次數(shù)排列起來,也就是2次向左和2次向前全排列，4；，因為2次向左是沒有順序的,所以還要除以，1；，同理2次向前是沒有順序的,再除以，1；，接下來,就是把3次向上插到4次不向上之間的空當(dāng)中5個位置排三個元素,也就是《，則共有二種；故選C.42公.【山東師大附中2018屆第一次月考】如圖，小王從街道的A處到達(dá)B處，可選擇的最短路線的條數(shù)為【答案】56【解析】???從A到B的最短路線，均需走8步，包括橫向的5步和縱向的3步，只要確定第1,2…8步哪

些是橫向的，哪些是縱向的就可以，實際只要確定哪幾步是橫向走。.??每一條從A到B的最短路線對應(yīng)著從第1,2…8步取出5步（橫向走）的一個組合，.??從A