2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)：專題13 圓錐曲線壓軸解答題常考套路歸類（精講精練）（解析版）

專題13圓錐曲線壓軸解答題?？继茁窔w類【命題規(guī)律】解析幾何是高考數(shù)學(xué)的重要考查內(nèi)容，常作為試卷的拔高與區(qū)分度大的試題，其思維要求高，計(jì)算量大．令同學(xué)們畏懼．通過對(duì)近幾年高考試題與模擬試題的研究，分析歸納出以下考點(diǎn)：（1）解析幾何通性通法研究；（2）圓錐曲線中最值、定點(diǎn)、定值問題；（3）解析幾何中的常見模型；解析幾何的核心內(nèi)容概括為八個(gè)字，就是“定義、方程、位置關(guān)系”．所有的解析幾何試題都是圍繞這八個(gè)字的內(nèi)容與三大核心考點(diǎn)展開．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：軌跡方程核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯核心考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題核心考點(diǎn)五：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問題核心考點(diǎn)六：定值問題核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對(duì)稱問題核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題核心考點(diǎn)十一：切線問題核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法核心考點(diǎn)十三：齊次化核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題【真題回歸】1．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．【解析】（1）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn),,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值是.（2）設(shè)直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設(shè)，所以，因?yàn)橹本€與直線交于,則,同理可得,.則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡(jiǎn)化了聯(lián)立方程的運(yùn)算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達(dá)定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點(diǎn)斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點(diǎn)由三點(diǎn)共線尋找縱坐標(biāo)關(guān)系，快速找到直線過定點(diǎn)，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡(jiǎn)化運(yùn)算的好方法．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點(diǎn).②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(diǎn)5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．【方法技巧與總結(jié)】1、直接推理計(jì)算，定值問題一般是先引入?yún)?shù)，最后通過計(jì)算消去參數(shù)，從而得到定值．2、先猜后證，從特殊入手，求出定點(diǎn)或定值，再證明定點(diǎn)或定值與參數(shù)無(wú)關(guān)．3、建立目標(biāo)函數(shù)，使用函數(shù)的最值或取值范圍求參數(shù)范圍．4、建立目標(biāo)函數(shù)，使用基本不等式求最值．5、根據(jù)題設(shè)不等關(guān)系構(gòu)建不等式求參數(shù)取值范圍．【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：軌跡方程【規(guī)律方法】求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)、表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、，然后代入點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)可得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程．【典型例題】例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）雙曲線的一條漸近線為，且一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為.(1)求雙曲線方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于異支兩點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【解析】（1）由漸近線為知，①，又焦點(diǎn)到漸近線的距離為，即到直線的距離，所以，②，聯(lián)立①②，解得，，則雙曲線方程為.（2）因?yàn)橹本€與雙曲線交于異支兩點(diǎn)，所以直線的斜率必存在，且經(jīng)過點(diǎn)，可設(shè)直線，與雙曲線聯(lián)立得：，設(shè)，則有解得，由知，兩式相除得，即代入得，又，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.例2．（2022春·吉林遼源·高三遼源市第五中學(xué)校?？计谥校┮阎^定點(diǎn)的直線交曲線于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線的傾斜角為，求；(2)若線段的中點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）由題得l方程為：，將其與聯(lián)立有，消去y得：，解得或.則令A(yù)，B，則=.（2）由題，直線存在，故設(shè)l方程為：.將其與聯(lián)立有：，消去y得：因l與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，得且.設(shè).又設(shè)M坐標(biāo)為，則.因A，B在雙曲線上，則有.又M，在直線l上，則.故由韋達(dá)定理有，，.則M坐標(biāo)為.又，且，則或.綜上點(diǎn)的軌跡方程為：，其中.例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，我們通常運(yùn)用類比猜想的方法研究問題．(1)已知?jiǎng)狱c(diǎn)為圓外一點(diǎn)，過引圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，若，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過引橢圓的兩條切線、，、為切點(diǎn)，若，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(3)在（2）問中若橢圓方程為，其余條件都不變，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是什么（直接寫出答案即可，無(wú)需過程）．【解析】（1）由切線的性質(zhì)及可知，四邊形為正方形，所以點(diǎn)在以為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓上，且，進(jìn)而動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（2）設(shè)兩切線為，，①當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，化簡(jiǎn)，，進(jìn)而，所以所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，②當(dāng)與軸垂直或平行時(shí)，與軸平行或垂直，可知：點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)坐標(biāo)也滿足，綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為：．（3）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是以下是證明：設(shè)兩切線為，，①當(dāng)與軸不垂直且不平行時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，設(shè)的斜率為，則，的斜率為，的方程為，聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以，得，化簡(jiǎn)，，進(jìn)而，所以所以是方程的一個(gè)根，同理是方程的另一個(gè)根，，得，其中，②當(dāng)與軸垂直或平行時(shí)，與軸平行或垂直，可知：點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)坐標(biāo)也滿足，綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為：．核心考點(diǎn)二：向量搭橋進(jìn)行翻譯【規(guī)律方法】把幾何語(yǔ)言轉(zhuǎn)化翻譯為向量語(yǔ)言，然后用向量知識(shí)來解決．【典型例題】例4．（2023·廣西南寧·南寧二中校考一模）已知橢圓，傾斜角為的直線過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)B，且（其中A為右頂點(diǎn)）.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）由題可知解得故橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè)，，，由，，得，同理，當(dāng),時(shí)，得，所以，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，即時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去y得.因?yàn)橹本€l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，所以，即①.設(shè)，則②，則，由，得③，③代入②得，化簡(jiǎn)整理得④，將④代入①得，化簡(jiǎn)得，解得或.綜上，m的取值范圍為.例5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓：（）的離心率，點(diǎn)、之間的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)、之間的距離為，所以，因?yàn)闄E圓的離心率，所以有，而，因此組成方程組為：；（2）設(shè)的方程為，與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立為：，于是有，此時(shí)設(shè)，于是有，假設(shè)存在常數(shù)，使得與共線，因?yàn)?，，所以有，，因?yàn)?，所以，不滿足，因此不存在常數(shù)，使得與共線.例6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線與圓交于點(diǎn)第一象限，曲線為、上取滿足的部分．（1）若，求b的值；（2）當(dāng)，與x軸交點(diǎn)記作點(diǎn)、，P是曲線上一點(diǎn)，且在第一象限，且，求；（3）過點(diǎn)斜率為的直線l與曲線只有兩個(gè)交點(diǎn)，記為M、N，用b表示，并求的取值范圍．【解析】（1）由，點(diǎn)A為曲線與曲線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，；（2）由題意可得，為曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，由雙曲線的定義可得，又，，所以，因?yàn)?，則，所以，在中，由余弦定理可得，由，可得；（3）設(shè)直線，可得原點(diǎn)O到直線l的距離，所以直線l是圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為M，所以，并設(shè)與圓聯(lián)立，可得，可得，，即，注意直線l與雙曲線的斜率為負(fù)的漸近線平行，所以只有當(dāng)時(shí)，直線l才能與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，由，可得，所以有，解得或舍去，因?yàn)闉樵谏系耐队翱傻茫?，所以，則．例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，是C上一點(diǎn)．(1)求C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)N．設(shè)，，求證：為定值．【解析】（1）設(shè)C的焦距為，則，即，，；由雙曲線的定義，得，即，所以，故C的方程為．（2）設(shè)，，，顯然直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為，代入，得．由過點(diǎn)的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，得，由韋達(dá)定理，得，；

①由在直線上，得，即；

②由在直線AB上，得．

③由，得，即解得．同理，由，得，結(jié)合①②③，得．故是定值．核心考點(diǎn)三：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯【規(guī)律方法】首先仍是將題目中的基本信息進(jìn)行代數(shù)化，坐標(biāo)化，遵循直線與圓錐曲線題目通解中的套路，即設(shè)點(diǎn)設(shè)線、直由聯(lián)立、看判別式、韋達(dá)定理．將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積背景的問題進(jìn)行條件翻譯時(shí)，一般是應(yīng)用弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式及面積公式（在圓中要用半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形求弦長(zhǎng)）將有關(guān)弦長(zhǎng)、面積的條件翻譯為：（1）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的函數(shù)，根據(jù)要求求出最值；（2）關(guān)于某個(gè)參數(shù)的方程，根據(jù)要求得出參數(shù)的值或兩參數(shù)間的關(guān)系．【典型例題】例8．（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由題意知，，得，當(dāng)軸時(shí)，設(shè)，代入橢圓方程，得，解得，即，由橢圓的定義知，，又，所以，由，解得，故橢圓C的方程為；（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合，等式成立；當(dāng)切線斜率為0時(shí)，切線與x軸不相交，不符合題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，由，得，則，所以切線的斜率為，得切線方程為，即，整理得，即，所以切線方程為，令，得，即，由(1)知，，則，，又，得，所以，，所以，即，即證.例9．（2022春·江蘇徐州·高三期末）已知橢圓：的離心率為，直線過C的焦點(diǎn)且垂直于x軸，直線被C所截得的線段長(zhǎng)為.(1)求C的方程；(2)若C與y軸的正半軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在C上，，，求的面積.【解析】（1）不妨設(shè)直線過的右焦點(diǎn)，則直線的方程為，由，解得，故①，由于橢圓的離心率②，由①②解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）得，設(shè)，，由于，所以，所以直線的方程為，由，消去并整理得，解得，由于，所以，則，，解得.所以，而.例10．（2022春·浙江金華·高三期末）已知雙曲線上一點(diǎn)，直線交于，點(diǎn).(1)證明：直線與直線的斜率之和為定值；(2)若的外接圓經(jīng)過原點(diǎn)，求的面積.【解析】（1）證明：設(shè)，，聯(lián)立得，則，又，所以，所以、，從而為定值.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，外接圓的圓心為，由，則所以，所以的中垂線方程為，即，又，的中點(diǎn)為，所以的中垂線方程為，即，聯(lián)立解得，即，由，得，整理得，解得（舍去），，所以直線：，過作軸的平行線交直線于點(diǎn)，令則，即，而，所以.核心考點(diǎn)四：斜率之和差商積問題【規(guī)律方法】在面對(duì)有關(guān)等角、倍角、共線、垂直等幾何特征時(shí)，可設(shè)法將條件翻譯成關(guān)于斜率的關(guān)系式，然后將斜率公式代入其中，得出參數(shù)間的關(guān)系式，再根據(jù)要求做進(jìn)一步的推導(dǎo)判斷．【典型例題】例11．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線C上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離之比恒為．(1)求曲線C的方程；(2)記曲線的左頂點(diǎn)為A，過的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，P，Q均在y軸右側(cè)，直線AP，AQ與y軸分別交于M，N兩點(diǎn)．若直線MB，NB的斜率分別為，，判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)曲線C上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意有，化簡(jiǎn)得：；（2）依題意作上圖，設(shè)PQ方程為，，則m必定是存在的，聯(lián)立方程得，，AP的方程為，令x=0，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理，N點(diǎn)的坐標(biāo)為，，是定值；綜上，曲線C的方程為，是定值.例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知拋物線C：，過焦點(diǎn)F斜率大于零的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)D．(1)若線段AB的長(zhǎng)為5，求直線的方程；(2)在C上是否存在點(diǎn)M，使得對(duì)任意直線l，直線的斜率始終成等差數(shù)列，若存在求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€的斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，設(shè)，聯(lián)立消，得，方程的判別式，，，，∴，∴，設(shè)直線的斜率為，則，所以，所以直線的方程為；（2）設(shè)，，，同理，，又聯(lián)立可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，∵直線的斜率始終成等差數(shù)列，所以恒成立；∴，又∵，所以，，，因?yàn)?，所以，所以存在點(diǎn)或，使得對(duì)任意直線，直線的斜率始終成等差數(shù)列．例13．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，其右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓的右頂點(diǎn)為，若點(diǎn)在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，求面積的最大值.【解析】（1）依題可得解得所以橢圓的方程為；（2）易知直線與的斜率同號(hào)，所以直線不垂直于軸，故可設(shè)，由可得，，所以，即，而，即，化簡(jiǎn)可得，，化簡(jiǎn)得，所以或，所以直線或，因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以直線經(jīng)過定點(diǎn).所以直線的方程為，易知，設(shè)定點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即面積的最大值為.例14．（2022春·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的離心率為，是上一點(diǎn).(1)求的方程.(2)設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，與交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，記的斜率為，的斜率為.證明：①為定值；②點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）由題意，橢圓的離心率為，是橢圓上一點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為；（2）①因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率不為0，所以可設(shè)的方程為，代入橢圓方程得，方程的判別式，設(shè)，，則，.兩式相除得，．因?yàn)榉謩e為橢圓的左、右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，．從而；②由①知，設(shè)，則，所以直線的方程為：，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)在定直線上.核心考點(diǎn)五：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問題【規(guī)律方法】弦長(zhǎng)和面積的最值問題首先需要將弦長(zhǎng)和面積表達(dá)出來，弦長(zhǎng)可用弦長(zhǎng)公式求出；面積的表達(dá)以直線與橢圓相交得到的為例，總結(jié)一下高考中常見的三角形面積公式．對(duì)于，有以下三種常見的表達(dá)式：①（隨時(shí)隨地使用，但是相對(duì)比較繁瑣，想想弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離）②（橫截距已知的條件下使用）③（縱截距已知的條件下使用）【典型例題】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹楊二中階段練習(xí)）已知橢圓，過點(diǎn)作關(guān)于軸對(duì)稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點(diǎn)與橢圓交于不同兩點(diǎn)，.(1)已知經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，求的方程；(2)證明：直線與直線交于點(diǎn);(3)求線段長(zhǎng)的取值范圍.【解析】（1）的左焦點(diǎn)為，當(dāng)過左焦點(diǎn)時(shí)，的方程為，即.（2）由題意知斜率存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立，消得，需滿足，即，，又，，，，故點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過點(diǎn)，同理可證,即點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過點(diǎn)，故直線與直線交于點(diǎn);（3）由（2）可知令，則，又由得，所以，，設(shè)，時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，，，，，.例16．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考一模）平面直角坐標(biāo)系?中，已知橢圓?，橢圓??.設(shè)點(diǎn)?為橢圓?上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)?的直線?交橢圓?于?兩點(diǎn)，射線?交橢圓?于點(diǎn)?.(1)求?的值；(2)求?面積的最大值.【解析】（1）設(shè)?，由題意知?.因?yàn)?，又?，即?，所以?，即?.（2）由(1)知，的?面積為?，設(shè)?.將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，①則有?.所以?.因?yàn)橹本€?與?軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為?，所以?的面積??.設(shè)?，將?代入橢圓?的方程，可得?，由?，可得?，②由(1)(2)可知?，因此?，故?，當(dāng)且僅當(dāng)?，即?時(shí)取得最大值?.所以面積的最大值為?.例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中學(xué)校考期末）已知橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切.(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓分別交于四點(diǎn)，如圖，求四邊形的面積的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)槎梯S的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，所以，即，又因?yàn)橹本€與圓相切，所以結(jié)合解得，所以橢圓.（2）(i)若垂直于軸，則與軸重合，由解得，所以，又因?yàn)橥泶怪庇谳S，則與軸重合時(shí).(ii)若都不與軸平行或垂直，設(shè)直線，得：與橢圓相交于兩點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，直線，將的替換為可得，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)“=”成立，綜上所以四邊形的面積的取值范圍為.核心考點(diǎn)六：定值問題【規(guī)律方法】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．【典型例題】例18．（2022春·廣東肇慶·高三肇慶市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的離心率是2，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)記雙曲線的左?右頂點(diǎn)分別是，直線與交于點(diǎn)，試問點(diǎn)是否恒在某直線上？若是，求出該直線方程；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)檫^點(diǎn)的垂直與的直線方程為，代入雙曲線方程可得，所以此時(shí)，又直線垂直于軸時(shí)，，所以①，因?yàn)殡p曲線的離心率為2，所以②，又③，由①②③解方程可得，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知，若直線的斜率為0，則直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求，所以直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立整理得，，且，則，故.由題意可得直線的方程為，直線的方程為，則，即，把代入上式，得，解得.故點(diǎn)在定直線上.例19．（2022春·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，為等腰直角三角形，且直線與圓相切．(1)求橢圓C的方程；(2)過的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（異于點(diǎn)，)，直線，相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上．【解析】（1）由題可知，，，，為等腰直角三角形，，又直線與圓相切，所以原點(diǎn)O到直線的距離為1，直線的方程為，即，所以，解得，又，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由過的直線l不過，，可設(shè)其直線方程為，把代入，得，，即，設(shè)，，則，，直線的方程為，直線的方程為設(shè)直線和的交點(diǎn)為，則，把及代入上式，得，整理得，故點(diǎn)Q在一條平行于x軸的直線上，得證．例20．（2022春·北京豐臺(tái)·高三北京豐臺(tái)二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程及其焦距；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)，求的值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)為，所以有；（2）依題意過點(diǎn)的直線為，設(shè)、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，即，于是有，?核心考點(diǎn)七：定點(diǎn)問題【規(guī)律方法】求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．【典型例題】例21．（2023·河南鄭州·高三階段練習(xí)）已知拋物線（其中）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)、分別為拋物線上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足以為直徑的圓過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的方程；(2)直線、與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，則，此時(shí)為等腰直角三角形，又點(diǎn)、在軸上，則軸，所以，，，點(diǎn)在的右側(cè)，所以，由拋物線的定義知，所以，，解得，故拋物線的方程為．（2）證明：若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，同理可知，直線與軸也不重合，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，聯(lián)立方程得，，設(shè)、，則，，所以，同理可得，當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，當(dāng)時(shí)，，直線過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線必過點(diǎn)，綜上所述，所以直線過定點(diǎn)．例22．（2023春·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，斜率為2的直線經(jīng)過點(diǎn)A，且點(diǎn)F到直線的距離為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：與橢圓C交于E、F兩點(diǎn)（E、F兩點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合），且以EF為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由題可知,直線的方程為,即,∴右焦點(diǎn)F到直線的距離為又∵橢圓C的離心率為,即代入上式得，所以.∴橢圓C的方程為.（2）由得：.由得：.設(shè)，橢圓的右焦點(diǎn)為，則，因?yàn)橐訣F為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，所以，所以，即，代入化簡(jiǎn)得：，解得：，皆滿足.當(dāng)時(shí)，直線的方程為過點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)時(shí)，直線的方程為過點(diǎn)，符合題意.綜上：直線l過定點(diǎn).例23．（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A與圓及圓中的一個(gè)外切，另一個(gè)內(nèi)切．(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)若直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過軌跡與軸正半軸的交點(diǎn)，證明直線經(jīng)過一個(gè)不在軌跡上的定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）依題意，，，當(dāng)動(dòng)圓與圓A外切且與圓內(nèi)切時(shí)，有，即，當(dāng)動(dòng)圓與圓A內(nèi)切且與圓外切時(shí)，有，即，即，動(dòng)圓的圓心的軌跡是以A、為焦點(diǎn)的雙曲線，其中，，軌跡的方程為；（2）證明：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，，，由得，由，得，且，依題意，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，且，，，即，，化簡(jiǎn)，得，即，或，且均滿足，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)即是點(diǎn)，不符題意，舍，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)，符合題意，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)的方程為，由解得，依題意，以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，，即，，即，解得（舍或，的方程為，直線過點(diǎn)，故直線經(jīng)過一個(gè)不在軌跡上的定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．核心考點(diǎn)八：三點(diǎn)共線問題【規(guī)律方法】證明共線的方法：（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．【典型例題】例24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，過點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程.(2)若，是直線上一點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，判斷直線的斜率是否為定值.若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【解析】（1）根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)到直線的距離為，則，令，則，解得，所以當(dāng)軸時(shí)，，則.故的方程為.（2）設(shè).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，由，得，則設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，整理得.因?yàn)?，所以，即直線AN的斜率為定值0.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，A，B，M，N都在x軸上，則直線AN的斜率為定值.綜上所述，直線AN的斜率為定值0.例25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【解析】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．例26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，離心率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），直線交軸于點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，且，求證：、、三點(diǎn)共線.【解析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的坐標(biāo)可得，由題意可得，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，則，則，直線的斜率為，則直線的方程為，令，可得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由，可得，直線的斜率為，則直線的方程為，將代入直線的方程得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為直線的斜率為，又、有公共點(diǎn)，因此，、、三點(diǎn)共線.核心考點(diǎn)九：中點(diǎn)弦與對(duì)稱問題【規(guī)律方法】對(duì)于中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法解決．【典型例題】例27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓E：的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且面積的最大值為．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)D在直線x＝﹣4上，過F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．證明：直線OD平分線段MN．【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)點(diǎn)C位于短軸頂點(diǎn)時(shí)面積最大．∴，解得，∴橢圓的方程為；（2）如圖所示，設(shè)，，，線段的中點(diǎn)；則，，由（1）可得，則直線DF的斜率為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，由橢圓性質(zhì)易知平分線段，當(dāng)時(shí)，直線的斜率；∵點(diǎn)M，N在橢圓E上，∴，整理得：，又，，∴，直線OP的斜率為，∵直線OD的斜率為，∴所以三點(diǎn)共線，即直線OD平分線段MN．例28．（2023春·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．(1)求C的方程；(2)若，試問C上是否存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出P，Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）設(shè)，則∵在橢圓上，則兩式相減得，整理得∴，即，則又∵點(diǎn)在橢圓C：上，則聯(lián)立解得∴橢圓C的方程為（2）不存在，理由如下：假定存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l：對(duì)稱，設(shè)直線PQ與直線l的交點(diǎn)為N，則N為線段PQ的中點(diǎn)，連接ON∵，則，即由（1）可得，則，即直線聯(lián)立方程，解得即∵，則在橢圓C外∴假定不成立，不存在P，Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱例29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作直線交拋物線于，（）兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)若是線段的中點(diǎn)，求直線的方程；(3)若，是準(zhǔn)線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，問直線與的交點(diǎn)是否在一條定直線上？請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)闇?zhǔn)線為，所以．（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立可得，，所以，，，而是線段的中點(diǎn)，所以，解得：，即，解得：，所以直線的方程為，即．（3）直線的方程，設(shè)，，，則，，聯(lián)立可得：，由，，代入解得：，所以直線與的交點(diǎn)在定直線上．核心考點(diǎn)十：四點(diǎn)共圓問題【規(guī)律方法】證明四點(diǎn)共圓的方法：方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓）．【典型例題】例30．（2022春·山西運(yùn)城·高三?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)在拋物線上，過動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為?，且直線與直線的斜率之積為.(1)證明：直線過定點(diǎn)；(2)過?分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為?，問：是否存在一點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓？若存在，求所有滿足條件的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）法一：將代入拋物線方程得到，所以拋物線方程為，求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，所以切線方程為，即；設(shè)，，直線方程為，由題意得，所以，聯(lián)立直線和拋物線得得，所以得，所以的直線方程為，直線過定點(diǎn)；法二：將代入拋物線方程得到，所以拋物線方程為，設(shè)，過的直線方程為，聯(lián)立得，得，由，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以聯(lián)立直線和拋物線得得，所以得，所以的直線方程為，直線過定點(diǎn)；（2）聯(lián)立直線和拋物線得得①可知，，設(shè)，，直線方程為：，直線方程為：，聯(lián)立解得，所以，所以在直線上運(yùn)動(dòng)，假設(shè)存在點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓，則，所以，因?yàn)?，可得，解得，不合題意，所以不存在點(diǎn)使得???四點(diǎn)共圓.例31．（2022·浙江麗水·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，交于點(diǎn).過拋物線上一點(diǎn)（在下方）作切線，交于點(diǎn).(1)當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；(2)證明四點(diǎn)共圓.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，由題知，，設(shè)，對(duì)于拋物線，即，所以，過拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為，即直線的斜率為，過分別作拋物線的切線的斜率分別為，所以，方程為：，的方程分別為，所以，聯(lián)立方程得，聯(lián)立方程得，所以，因?yàn)?，所以互相垂直，即互相垂直，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，面積的最大值為.（2）聯(lián)立方程，解得，設(shè)，對(duì)于拋物線，即，所以，同（1），根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得：，所以，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知的交點(diǎn)在軸上，且聯(lián)立方程，解得：，聯(lián)立方程，解得，設(shè)與交于點(diǎn)，得：，所以，，，，，所以所以，根據(jù)圓冪定理，得四點(diǎn)共圓例32．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P形成的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，試判斷是否存在直線l，使得A，B，M，N四點(diǎn)共圓.若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.【解析】（1）設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，所以，，所以，，又，整理得，即曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，直線l與曲線C沒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線l的斜率存在，設(shè)l：，將直線l與曲線C聯(lián)立，得，消去y，整理得，因?yàn)榍遥郧?，設(shè)，，則，，所以MN的中點(diǎn)，且，將，代入上式，整理得，當(dāng)時(shí)，線段MN的中垂線方程為：，令y＝0，解得，即與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)k＝0時(shí)，線段MN的中垂線為y軸，與x軸交于原點(diǎn)，符合Q點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)锳B的中垂線為x軸，所以若A，B，M，N共圓，則圓心為，所以，所以，整理得，即，因?yàn)榍遥陨鲜龇匠虩o(wú)解，即不存在直線l符合題意.核心考點(diǎn)十一：切線問題【規(guī)律方法】（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．【典型例題】例33．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，過左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方）．(1)求證：直線的斜率乘積為定值；(2)過點(diǎn)分別作橢圓的切線，設(shè)兩切線交于點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由橢圓方程知：，；由題意知：直線斜率不為，則可設(shè)，，，由得：，，，，即直線的斜率乘積為定值.（2）橢圓在軸下方部分的方程為：，，在處的切線斜率，又，，，在處的切線方程為，整理可得：；同理可得：處的橢圓的切線方程為：；由得：，則可設(shè)，，即直線方程為，其斜率；又直線斜率，，即.例34．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，不在坐標(biāo)軸上），若直線的橫縱截距分別為，，求證：為定值【解析】（1）由題意得：，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，可解得，，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：由題意：，設(shè)點(diǎn)，，，，，，因?yàn)?，不在坐?biāo)軸上，所以，直線的方程為，化簡(jiǎn)得：，①同理可得直線的方程為，②把點(diǎn)的坐標(biāo)代入①、②得，所以直線的方程為③，令，得，令得，所以，，又點(diǎn)在橢圓上，所以，即為定值．例35．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)的橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中為切點(diǎn).設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）設(shè)橢圓和拋物線的方程分別為，，，橢圓和拋物線有相同的焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，，解得，，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由題意知過點(diǎn)與拋物線相切的直線斜率存在且不為0，設(shè)，則切線方程為，聯(lián)立，消去，得，由，得，直線，的斜率分別為，，，為定值．核心考點(diǎn)十二：定比點(diǎn)差法【典型例題】例36．已知橢圓（）的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為（）的直線與相交于，兩點(diǎn)，若，求【解析】由，可設(shè)橢圓為（），設(shè)，，，由，所以，．又由（1）-（3）得，又．又．例37．已知，過點(diǎn)的直線交橢圓于，（可以重合），求取值范圍．【解析】設(shè)，，，由，所以．由由（1）-（3）得：，又，又，從而．例38．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，，，是橢圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的值．【解析】設(shè)，，，，由，得①滿足滿足②由③由（1）-（3）得：，又，同理可得．核心考點(diǎn)十三：齊次化【典型例題】例39．已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：．【解析】直線由，得則由，得：，整理得：，即：．所以，則，即：．例40．如圖，橢圓，經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)，證明：直線AP與AQ的斜率之和為2．【解析】設(shè)直線則．由，得：．則，故．所以．即．例41．已知橢圓，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于A，B兩點(diǎn)．若直線與直線的斜率的和為，證明：直線過定點(diǎn)．【解析】設(shè)直線．．．．．．（1）由，得即：．．．．．．（2）由（1）（2）得：整理得：則，則，代入直線，得：顯然，直線過定點(diǎn)．核心考點(diǎn)十四：極點(diǎn)極線問題【典型例題】例42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，若過點(diǎn)且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，直線AM與BN相交于點(diǎn)Q．證明：點(diǎn)Q在定直線上．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率，，，又，．因?yàn)椋?，，所以橢圓C的方程為．（2）解法一：設(shè)直線，，，，可得，所以．直線AM的方程：①直線BN的方程：②由對(duì)稱性可知：點(diǎn)Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立①②可得．因?yàn)?，所以所以點(diǎn)Q在直線上．解法二：設(shè)，，，兩兩不等，因?yàn)镻，M，N三點(diǎn)共線，所以，整理得：．又A，M，Q三點(diǎn)共線，有：①又B，N，Q三點(diǎn)共線，有②將①與②兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因?yàn)橹本€與橢圓相交故）所以Q在定直線上．【點(diǎn)晴】求解直線與圓錐曲線定點(diǎn)定值問題：關(guān)鍵在于運(yùn)用設(shè)而不求思想、聯(lián)立方程和韋達(dá)定理，構(gòu)造坐標(biāo)點(diǎn)方程從而解決相關(guān)問題.例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，直線（不與坐標(biāo)軸垂直）過點(diǎn)，且與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若，求直線的方程；（2）若直線與相交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【解析】設(shè)直線的方程為，設(shè)，，把直線與雙曲線聯(lián)立方程組，，可得，則，（1），，由，可得，即①，②，把①式代入②式，可得，解得，，即直線的方程為或．（2）直線的方程為，直線的方程為，直線與的交點(diǎn)為，故，即，進(jìn)而得到，又，故，解得故點(diǎn)在定直線上．【點(diǎn)晴】方法點(diǎn)晴：直線與圓錐曲線綜合問題，通常采用設(shè)而不求，結(jié)合韋達(dá)定理求解.例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓與軸的交點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)的上方），為左焦點(diǎn)，原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）設(shè)的坐標(biāo)為，由面積法有，橢圓的離心率.（2）若，由(1)得，橢圓方程為，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得：，由，解得：.由韋達(dá)定理得：,,設(shè)，的方程是，的方程是，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，即，所以直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【新題速遞】1．（2023春·福建泉州·高三階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，分別以PQ，PF為直徑作圓和圓，且圓和圓交于P，R兩點(diǎn)，且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡E的方程；(2)若直線：交軌跡E于A，B兩點(diǎn)，直線：與軌跡E交于M，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)A，B在直線兩側(cè)，直線與交于點(diǎn)且，求面積的最大值.【解析】（1）設(shè)點(diǎn),因?yàn)?由正弦定理知,所以,解得,所以曲線的方程為.（2）直線與曲線在第一象限交于點(diǎn),因?yàn)?所以,由正弦定理得:,所以.設(shè)，所以,得,所以，所以直線方程為:,聯(lián)立，得由韋達(dá)定理得,又因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方,所以,所以,所以,又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為,所以方法一：令,則,所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,所以，所以當(dāng)時(shí),面積最大,此時(shí)最大值為.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,過程如下:，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，其離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線分別與直線相交于兩點(diǎn)，若為銳角，求直線斜率的取值范圍．【解析】（1）由題意知：橢圓的離心率，因?yàn)橐粋€(gè)焦點(diǎn)為，所以，則，由可得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則有，由條件可知：直線所在直線方程為：，因?yàn)橹本€與直線相交于所以，同理可得：，則，若為銳角，則有，所以，則，解得：或，所以或或，故直線斜率的取值范圍為.3．（2023·青海海東·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，，求直線的方程.【解析】（1），，則，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）設(shè)，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值2，即.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值2.因?yàn)?，所以，?即，所以直線的方程為，即.4．（2023春·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，．(1)若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過點(diǎn)作斜率的直線l交橢圓于不同兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為S，直線交x軸于點(diǎn)T，點(diǎn)P在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)Q，使，記四邊形的面積為，求的最大值．【解析】（1），∴，，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2），∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯(lián)立方程組：，消去y得，由韋達(dá)定理得，，有，因?yàn)椋海?，，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，而此時(shí)：.令，所以直線，令得，由韋達(dá)定理化簡(jiǎn)得，，而，O點(diǎn)到直線l的距離，所以：，，，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以，得，即令，求導(dǎo)得，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減.所以：，即.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的右頂點(diǎn)為，過左焦點(diǎn)F的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，交軸于P點(diǎn)，，，記，，（為C的右焦點(diǎn)）的面積分別為.(1)證明：為定值；(2)若，，求的取值范圍.【解析】（1）由題意得，左焦點(diǎn)F，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.設(shè)，顯然，令，，則，則，，由得，解得，同理.聯(lián)立，得.，從而（定值）（2）結(jié)合圖象，不妨設(shè)，，，，由得代入，有，則，解得，，設(shè)，則，設(shè)，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，且，則，則.6．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【解析】（1）由已知得，解得，，所求橢圓的方程為；（2）由（1）得.①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，由得.設(shè)，，這與已知相矛盾.②若直線的斜率存在，設(shè)直線直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消元得，，，又，，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）所求直線的方程為或.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，到直線的距離為3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若，求的取值范圍；(3)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（1）設(shè)的坐標(biāo)分別為，其中；由題意得的方程為.因?yàn)榈街本€的距離為3，所以解得，所以①因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4，所以，即

②聯(lián)立①②解得:,所求橢圓D的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以所以，代入橢圓的方程，所以，解得或.（3）由，設(shè)根據(jù)題意可知直線的斜率存在，可設(shè)直線斜率為，則直線的方程為，把它代入橢圓的方程，消去整理得：由韋達(dá)定理得則，；所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.（i）當(dāng)時(shí)，則，線段垂直平分線為軸，于是，由解得.（ii）當(dāng)時(shí)，則線段垂直平分線的方程為.由點(diǎn)是線段垂直平分線的一點(diǎn)，令，得；于是由，解得，所以.綜上可得實(shí)數(shù)的值為.8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，為橢圓的左?右頂點(diǎn)，焦距長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率之積為.(1)求橢圓的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)不重合），直線交于點(diǎn).求證：直線的斜率之積為定值，并求出該定值.【解析】（1）由題意，，設(shè)，，由題意可得，即，可得又，所以，解得所以，橢圓的方程為；（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線，且聯(lián)立，得由，得，所以，設(shè)，由三點(diǎn)共線可得所以，直線的斜率之積為定值.9．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的上、下焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)