高三數(shù)學第一輪復習-導數(shù)的應用課件-新人教B版

學案12導數(shù)的應用1.考點1考點2考點3填填知學情課內(nèi)考點突破規(guī)律探究考綱解讀考向預測考點4名師伴你行SANPINBOOK2.返回目錄

考綱解讀導數(shù)的應用(1)了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系;能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)不超過三次).(2)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件;會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)不超過三次）；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)不超過三次）.(3)會用導數(shù)解決實際問題.名師伴你行SANPINBOOK3.考向預測返回目錄

1.以解答題的形式考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,求極值與最值.2.以實際問題為背景,考查利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.3.以解答題的形式考查導數(shù)與解析幾何、不等式、平面向量等知識相結(jié)合的問題.名師伴你行SANPINBOOK4.返回目錄

1.函數(shù)的單調(diào)性與導函數(shù)(1)如果在(a,b)內(nèi),

,則f(x)在此區(qū)間是增函數(shù),(a,b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)如果在(a,b)內(nèi),

,則f(x)在此區(qū)間是減函數(shù),(a,b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間.2.函數(shù)的極值f′(x)>0f′(x)<0名師伴你行SANPINBOOK5.返回目錄

(1)函數(shù)極值的定義①已知函數(shù)y=f(x),設x0是定義域(a,b)內(nèi)任一點,如果對x0附近的所有點x,都有f(x)<f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取

,記作

.并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個

.②如果在x0附近都有f(x)>f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處取

,記作

.并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個

.③極大值與極小值統(tǒng)稱為

.

與

統(tǒng)稱為極值點.

極大值y極大=f(x0)極大值點極小值y極小=f(x0)極小值點極值極大值點極小值點名師伴你行SANPINBOOK6.返回目錄

(2)求函數(shù)極值的方法解方程f′(x)=0,當f′(x0)=0時,①如果在x0附近左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極大值.②如果在x0附近左側(cè)

,右側(cè)

,那么f(x0)是極小值.③如果f′(x)在點x0的左、右兩側(cè)

，則f(x0)不是函數(shù)極值.3.函數(shù)的最值(1)函數(shù)f(x)在［a,b］上有最值的條件如果在區(qū)間［a,b］上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條

的曲線,那么它必有最大值和最小值.函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點取得.

f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0符號不變連線不斷名師伴你行SANPINBOOK7.返回目錄

(2)求函數(shù)y=f(x)在［a,b］上的最大值與最小值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的

.②將函數(shù)y=f(x)的各極值與

比較,其中

的一個是最大值,

的一個是最小值.

4.用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題解決優(yōu)化問題的基本思路是:最小極值端點處的函數(shù)值f(a),f(b)最大名師伴你行SANPINBOOK8.返回目錄

考點1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)

［2010年高考北京卷］已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).(1)當k=2時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.名師伴你行SANPINBOOK9.返回目錄

【分析】(1)利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.(2)對k的不同取值分類討論,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)當k=2時,f(x)=ln(1+x)-x+x2,f′(x)=-1+2x.由于f(1)=ln2,f′(1)=,所以曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線.方程為y-ln2=(x-1),即3x-2y+2ln2-3=0.名師伴你行SANPINBOOK10.返回目錄

(2)f′(x)=,x∈(-1,+∞).當k=0時,f′(x)=,所以，在區(qū)間(-1,0)上，f′(x)>0;在區(qū)間(0,+∞)上，f′(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+∞).當0<k<1時，由f′(x)==0,得x1=0,x2=>0,所以，在區(qū)間(-1,0)和（,+∞）上，f′(x)>0;在區(qū)間（0,）上，f′(x)<0.名師伴你行SANPINBOOK11.返回目錄

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和（,+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0,）.當k=1時，f′(x)=.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+∞).當k>1時，由f′(x)==0,得x1=∈(-1,0),x2=0.所以，在區(qū)間（-1,）和(0,+∞)上，f′(x)>0;在區(qū)間（,0）上，f′(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1,）和(0,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是（,0）.名師伴你行SANPINBOOK12.

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應注意f′(x)>0(或f′(x)<0)僅是f(x)在某個區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件,在(a,b)內(nèi)可導的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增(或遞減)的充要條件應是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］,x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,這就是說,函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點處有f′(x0)=0,甚至可以在無窮多個點處f′(x0)=0,只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間,因此,在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時,應令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗參數(shù)的取值能否使f′(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個值應舍去,若f′(x)不恒為0,則由f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK13.設函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.由已知得函數(shù)f(x)的定義域為（－１，＋∞）,且f′(x)=(a≥－1).(1)當-1≤a≤0時,由f′(x)<0知,函數(shù)f(x)在(-1，+）上單調(diào)遞減.返回目錄

(2)當a>0時，由f′（x）=0,解得x=.f′（x）,f(x)隨x的變化情況如下表：名師伴你行SANPINBOOK14.x(-1,)f′（x）-0+f（x）極小值返回目錄

↘↗從上表可知當x∈(-1,)時，f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(-1,)上單調(diào)遞減.當x∈(,+∞)時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增.綜上所述:當-1≤a≤0時,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞減.當a>0時,函數(shù)f(x)在(-1,)上單調(diào)遞減,f(x)在(,+∞)上單調(diào)遞增.名師伴你行SANPINBOOK15.考點2函數(shù)的極值與導數(shù)［2010年高考安徽卷］設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln2-1且x>0時，ex>x2-2ax+1.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK16.【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出單調(diào)區(qū)間,再求極值.【解析】(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0，得x=ln2.于是當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下表：返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK17.x(-∞,ln2)

ln2(ln2,+∞)

f′(x)-0+f(x)單調(diào)遞減2(1-ln2+a)單調(diào)遞增返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK18.故f(x)的區(qū)間是(-∞,ln2)，區(qū)間是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2處取得極小值，極小值為f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a)(2)證明:設g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知當a>ln2-1時,g′(x)取最小值為g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是對任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增.于是當a>ln2-1時,對任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,從而對任意x∈(0,+∞)都有g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK19.本題考查導數(shù)的運算,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求函數(shù)的極值和證明函數(shù)不等式,考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK20.設函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R)，其中a∈R.(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程；(2)當a≠0時，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.(1)當a=1時,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f′(x)=-3x2+4x-1,f′(2)=-12+8-1=-5,∴當a=1時，曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為5x+y-8=0.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK21.(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f′(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0，解得x=或x=a.由于a≠0，以下分兩種情況討論.①若a>0,當x變化時，f′（x）,f(x)的變化情況如下表：因此，函數(shù)f(x)在x=處取得極小值f(),且f()=;函數(shù)f(x)在x=a處取得極大值f(a),且f(a)=0.x(-∞,-)(,a)1(a,+∞)

-0+0-0↘↗↘返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK22.②若a<0,當x變化時，f′（x）,f(x)的變化情況如下表：因此，函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值f(a),且f(a)=0;函數(shù)f(x)在x=處取得極大值f(),且f()=.x(-∞,a)a(a,)(,+∞)

-0+0-0↘↘↗返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK23.考點3函數(shù)的最值與導數(shù)返回目錄

［2010年高考江西卷］設函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在(0,1］上的最大值為,求a的值.【分析】利用單調(diào)性求最值.名師伴你行SANPINBOOK24.返回目錄

【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0,2),f′(x)=+a.(1)當a=1時,f′(x)=,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,2).(2)當x∈(0,1］時,f′(x)=+a>0,即f(x)在(0,1］上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1］上的最大值為f(1)=a,因此a=.名師伴你行SANPINBOOK25.

本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及導數(shù)的應用，同時考查運算求解能力.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK26.已知a為常數(shù)，求函數(shù)f(x)=-x3+3ax(0≤x≤1)的最大值.f′(x)=-3x2+3a=-3(x2-a).若a≤0，則f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.∴當x=0時，有最大值f(0)=0.若a＞0，則令f′(x)=0，解得x=±.∵x∈［0,1］,則只考慮x=的情況.如下表所示:【解析】返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK27.(1)0＜＜1，即0＜a＜1，當x=時,f(x)有最大值f()=2a.(2)≥1，即a≥1，當x=1時,f(x)有最大值f(1)=3a-1.綜上,當a≤0,x=0時，f(x)有最大值0;當0＜a＜1,x=時,f(x)有最大值2a;當a≥1，x=1時，f(x)有最大值3a-1.x0(0,)f′(x)+0-f(x)↗↘返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK28.返回目錄

考點4最優(yōu)化問題一艘輪船在航行中的燃料費和它速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時的燃料費是每小時6元，而其他與速度無關的費用是每小時96元.問此輪船以多大速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最小？【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最值.名師伴你行SANPINBOOK29.【解析】設船的速度為x(x＞0)（公里/小時）時,燃料費用為Q元，則Q=kx3.由6=k×103可得k=,∴Q=x3.∴總費用y=(x3+96)·=x2+.∴y′=x-.令y′=0得x=20.當x∈(0,20)時,y′＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減.當x∈(20,+∞)時,y′＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增.∴當x=20時，y取得最小值.∴此輪船以20公里/小時的速度行駛時每公里的費用總和最小.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK30.（1）用導數(shù)解應用題求最值的一般方法是：求導，令導數(shù)等于零;求y′=0的根，求出極值點;最后寫出解答.（2）在有關極值應用的問題中，絕大多數(shù)在所討論的區(qū)間上函數(shù)只有一點使得f′(x)=0,且在兩側(cè)f′(x)的符號各異，一般稱為單峰問題，此時該點就是極值點，也是最值點.返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK31.從邊長為2a的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋長方體鐵盒，要求長方體的高度與底面邊長的比值不超過常數(shù)t(t>0).試問當x取何值時，容積V有最大值?返回目錄

名師伴你行SANPINBOOK32.V=x(2a-2x)2=4(a-x)2·x.∵