2013年海風暑期知識梳理華約數(shù)學

縱觀華約近幾年的考試，由原先的多題型轉為只有大題，這給帶來了相當?shù)?，在知識點方面，華約十分喜歡以計數(shù)、概率等問題引出數(shù)列、不等式的問題，因此學好計數(shù)與概率是十分重要的。解析幾何必考，是始終的，無論是數(shù)列中對于項的估計還是解幾中的求極值問題都離不開他。此，根據(jù)自身競賽和自招的經(jīng)驗，編寫了這本暑期?！秺W數(shù)（高一，高二（練習代數(shù)部分歷屆高中數(shù)賽一試試題有進為日后自招中的厚積薄發(fā)做好準備。

代數(shù)基礎函數(shù) 例如設有集合A={1,2,3} 若 足15,23;3那么稱是從ABAB（.的在像集中的元素是唯一確定的.即若像集像集,那么不可能存在像集使得;.映射的分類:(*)DF單映射, 滿映射FDs.t雙射單調性x1x2D若fx1fx2x1x2

那么稱fx是單調增特別地若fx1fx2x1x20x1x22

（奇偶性：

若fxfx對x1x2D成立，且D關于O

稱其為偶函數(shù)；若fx-fx對x1x2D成立，且D關于O對稱周期性：若T，s.tfx+t1(xq

那么稱fxf

以1為周期但其不存在最小正周期（想想為什么）Dirichlet函數(shù)。logbln

xeln對數(shù)函數(shù)將加法“升級”lnalnbln指數(shù)函數(shù)將乘法“降階”exeyex在以后的學習中會對e與ln有更加深刻地認識cos2xsin2x1tan2xsec2Cos(A-cos2α=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2a正弦定 asin2 sin2 sin余弦定理a2b22abcosc內切圓半徑prSABC1abSinc12RSinA2RSinBSinc2R2SinASinBSin r

p

sinAsinBsinp1(abc)R(sinAsinBsinC)r

sinAsinBsin

(sinAsinBsin*（4）旁切圓半徑rabcr2a2a2a2aa2

i)

r(cossina2a2[r(cosisin)]nrn(cosisin|zz1|rz0r我半徑的圓|zz1||zz2|2a為定值的軌跡是2az1z2z1z2a2az1z2z1z22az1z2|zz1||zz2|①02a|z1z2|z1z2為焦點，實長軸為2a②2a|z1z2|z1z2③2a|z1z2||zz1||zz2|2az1z2的垂直平分線在三角函數(shù)的使用中要多加注意對稱性（sinx與cosx；tanx與cotx）并積極地做代換以起到簡化作用。[例題[多項式]我們稱p

axn xn1……+ax2ax

x 若xq是 0的一個根，則必須滿足p|an;q| apx0xa|p設px(xa)qxrx，由pa

ra的次數(shù)小于1，故其為常數(shù)xa|p②若rxpxqx的一個余式，則該余式的所有余數(shù)在qxpx的數(shù)域上。回到性質（2）設pxx1x2,……xn（這可以由代數(shù)基本定理保證）則利用因式定理px(xx1)(xx2x1x1x2x1x3對比系數(shù)即有

1x4…aa……a=a-1 設fxgxrx,則uxvs.tuxfxvxgxr 4acb2二次函數(shù)的極值點 2a xb2f(m)f(n)0f(x)0在區(qū)間(mn內至少有一個實根f(xx2pxq，p24q 方程f(x)0在區(qū)間(m,)內有根的充要條件為f(m)0或 f(m)f(n)f(x)0在區(qū)間(mnf(m)f(n)0或p24q m f(m) f(n)

或af(n0或af(m0

p24q f(x)0在區(qū)間(nf(m)0 在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L（形如，，,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(xt)t為參數(shù))f(x,t)min0(xL)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(xt)0(t為參數(shù)恒成立的充要條件是f(x,t)man0(xL)

a

af(x)

c0恒成立的充要條件是b0或

c

b4ac一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0b24ac0a與ax2bxc之外；如果a與ax2bxc異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.xx1,或xx2xx1)(xx20(x1x2.a>0時，有xax2a2axaxax2a2xaxaff

f(x)g(x)g(x)g(x)f(x)f(x)ff

.f(x)

g(x)g(x)f(x)f(x)fg(x)g(x)ff(x)

或g(x0.當a1時af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)

af(x)

g(x)g(x) f(x)當0a1時af(x)ag(x)f(x)g(x)f(x)

af(x)

g(x)g(x)f(x)微積 1有趣的極限 n nxyfx這樣若將各點的情況一一表示出來，便得到了定義域D2[差分]fx2

fxhfxA

fxx容易注意到以下簡單事實：AX是相關的。并且可以感受到大部分（有特例）A是唯一的。以fxx2為例fxhfxAxh2x2Ahoh2hxh2Ahoh2xhAoh即2xo1AA

現(xiàn)在我們具體來論證AAfxhfxoh Alimfxhf Afxx[微分

f

稱為fx的差

fxx點的微分，記為dffxx點可微fxx（dfx dxfxx?？梢缘玫阶宰兞康奈⒎?eln的底數(shù)，那么，在高等數(shù)學組en[定義n

1nn

1因為這是一個定義式，所以，我們所要做的僅是證明n

nn利用公理：若數(shù)列

滿足b

且lim

，那么liman

*利用壓像原理：an1在這里用1和

an

，其中r＜1，r 1 記a 1

1

1n1n11nn1

1

1n1 即an

1 作輔助數(shù)列b

nbn1 nn 我們去證n1

n

n1

1n1n1+1n2 n1 n2 這樣說明bn

n于是我們有不等式a1a2anbnbn-1所以an}單調增有界，bn} 這樣lima

1 n n 1我們記 n n 1lim n n

1lnlimn

nn1 n1x有l(wèi)imlnln1x 我們記ln1x令xet1則又有t~et 1

11n

＜e＜1n 1＜ln1+1＜n

n 1.ex證明ex

exh

xeh

h0axlnaaxxasinxcoscosxsinaf(xbg(x)af(xb導數(shù)的乘法法則：設f(x)和g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)f(x)、g(xg(x)0F(x)

fg(x)F(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)復合函數(shù)求導法則:f(xg(xF(x)

f(g(x))在該區(qū)間上也可導，且F(x)f(g(x))六、對數(shù)求導法則（隱函數(shù)求導fx 可以將x、y看作xt,yttxtx反函數(shù)求導法則：若函數(shù)y

f

的反函數(shù)f1(x)存在，且f(x)0，記f1(x)g(x)，則f(x)

g(

g(f[例題]推導arcsinx，arccosxaa11xd

f d

f那么dfx

2x 1

dx x

2xdx +

dx1 1Dx在運算重視有確切含義的，而

的作用是：若經(jīng)過化簡的

dx11注意到2xdxdx11

2xdx 1

1

2x1所以11

2xdx

1

d1x2ln1x2cF(x和f(x)F(x)

f(xdF(x)

f(x)dxF(xf(xf(x的原函數(shù)全體稱為這個函數(shù)的不定積分，記做f(x)dx，這里"f(x被稱為被積函x稱為積分變量。 SxfxS a

fb由牛頓萊布尼茨公式afxdxFbbFermatf(xx0fx0f(xx0Rollef(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內可導,f(a)=f(b)那么在(a,b)內至少有一點ξ 使得函數(shù)f(x)在該點的導數(shù)等于零，即（1）（2）（a，bf(x在abfx0fx2fx1

所以x2 所以x2

xf

xx

xa, 即ff單調增。則 flimf 即ff單調增。則

于是我們得到若fx0則f(x)單調增，若f(x)單調增則fx0。特別地fx＞0則f(x)嚴格單調增。但反之不成立。

x3若二次函數(shù)fx的定義域為R x2

f12且在x=tt

處取得最值，若ygx為一次函數(shù)，且（1）y

是方程4x24tx10tR的兩個不等實根，函數(shù)

2xx2

的定義域，求gt

解關于x的不等式2x22x yf

y

a（a0y

y

fxafy質”

滿足“a和性質”y

yy

y

滿足“agx

yfxx＞0a＞0，滿足“a積性質”yfx

ax3aa＞0，a1yf

y

的圖像與函數(shù)yf 的y

f1

xa2a3a 設定義在02上的函數(shù)fx滿足下列條件x02f2

fx

②對于x，y12，若x

fxfyfxy2

f1

21nN x12時，1f1111

， cosx sinx

，xt

sin cos

將函數(shù)gx化簡為AsinxB求函數(shù)gx的值域

tanAtan c在ABCA,B,Ca，b，c，已知a2b2c2abtanAtanB

cABCABC內有一個內接正方形，它的一邊在ABCBCAB=a，∠ABC=，用a和表示ABCS1S2Sa固定，S1取得最小值的S2Chapter凸函若fx1x21fxf

,則稱其下 若fx1x21fxf

,則稱其上 若fx1+1-fx2fx11x2則稱其下若fx1+1-fx2fx11x2則稱其上*在連續(xù)函數(shù)的前提下定義一定義二首先我們利用[定義二]得到一些有意思的結論，進一步得到fx下凸

f''x0由【定義二】令x1 x3

① fx2fx1x2

fx3fx1x3

①反映了割線斜的事

3若取四 ，2'令x4 ；x1 f2'

x4 x3 f'

Df''x0二、Jason不等1、Cauthy中值定推導二階Taylor公fx

fxf'xxx1f''xx 構造輔助函數(shù)Fxfxf

f'xxxGx1xx

則Fx則

FxFx0

F'

f'f'x

0G0

GxGx G' Fx0Gx0又Fxf'' fxfxf'xx

(多次利用lagrange中值定理令

x1x2 n fxnfxx

f'xnf

x1x2x1x2nxn

1

fxfx1x2 xn——這即為我們的詹森不 例如ab20的等號成立條件是ab。ab越來越靠近時ab20a、b經(jīng)等號成立條件靠近的過程中ab2也經(jīng)等號成立方向靠近fx1,x2 ,xn并且一般的xi有約束條件x1x2 xnSfx1, 調整為fx1t, nnfx1x2 xn0xn=Cx1xn=Cx1x2 xnDfx1x2,xnfxin①f是DJason②f在D,我們先假設x1,,

我們對上凸部分可以做調整xk1 , ,

xnk ,xk1,xk2 ,xn則變?yōu)殛P于xk1xn的函

fxk1

fxntfxnfxk1

k

于是對每個在D2中的點進行上述的調ffx1,x2 ,xnfx1,x2 ,xn1,xn其中x1,x2 ,xn-1f n1f1f n1f1nxx n1

=n1f1Cxn nfx,x ,

n1f1Cxfx

n n

其他xy是二次的，xyz

x2y2xy

1

x2y2

02ab 2a2b

80不妨可設a事實上。若ak，令a1kaa

2abc82a2bc2xx2y2

附ababa對于n個正數(shù)x1，x2 ，xnnx1x2...算數(shù)平均數(shù)記為A1(xxnx1x2... x2x2 x2x2 nnnQ調和平均數(shù)

...

平方平均數(shù)：HnGnAnabRa2b22ab(當且僅當a＝b時取“=”號abRab (當且僅當a＝b時取“=”號2a3b3c33abc(a0,b0,cx1x2xnp1p2...pnap

...

a1p1a2p2...anpn

p1p2... ""p1

p2...pn x1x2xny1y2...yn(xyxy...xy)2(x2x2...x2)(y2y2...y21 2 n “=”x1x2 消參的作用（1）(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,d（2）n(x2x2...x2)(xx...

)2（n為整數(shù) （3）

...

)(1

1)n2

(x

...xa,a

均為正數(shù)，則12

a1a2...參數(shù)柯西不等式：對于任意的一組實數(shù)1， n均有aba

...ab2(a2a2...a2)(1b2

1b2...

1b1 2

n 1 2

n 2n整數(shù)n2a1a2anb1b2bn，{k1k2...kn1,2,...n}2n1a1bna2bn1...anb11

即：反序和亂序和順序設兩個正數(shù)列anbn，則（1）a1a2anb1b2bn(ab...ab)1

...

)(b...b1 n

(2)a1a2anb1b2bn(ab...ab)1

...

)(b...b1 n

（1）f(x是a,bfx1x2xn1f(xf(xf(x （2）f(x是a,bfx1x2xn1f(xf(xf(x Holder(赫德爾）ai,bi(1in是2n個正實數(shù)，1（1）若0，則abababa

...

(b

...b1 2

n

其中1時即為不完全的柯西不等式（柯西不等式可以對于負數(shù)也成立2（2）若0，則abababa

...

(b

...b1 2

n

aa

是一組正實數(shù)，也是正實數(shù)，且 naa...aa... n舒爾不等式aabac0a,bcR證明：不妨

abc0

aabac0;bbabc0;ccacb0aabacbbabcab2abc0得對稱式aabacS34SS9S 2 x例xy1，求證1x例xyzx2例xyxyz4證明xyzxyyzA，B，C為三角形三內角sinAsinBsinC 2cosAcosBcosC2a,b,cR,abc求使得tbcbc2abbcca成立的t的最小c3m，滿足a3b3c33abcmab3bc3ca3對a,bcc3

a1b4P4例：已知a,bc0a1b4

b

代數(shù)應用數(shù)NpxyyN(1p)xanana

n

(數(shù)列{a}n項的和為

aa s

,n

aa(n1)ddn

d(nN*) nsn(a1an)nan(n1)ddn2

1d)n

aaqn1a1qn(nN*) na(1qn

aa ,q1 n,qsn 1

或sn1 na,q

等比差數(shù)列anan1qanda1b(q0b(n1)d,qnabqn(db)qn1n

,q qnnbn(n1)d,(q (b

1

n,(q1) 1 q 1ab(1每次還款x(1b)n1元 a元,n次還清,每期利率為b二階線性遞推數(shù)列an2pan1qan,（1.1）以及給定初始項a

我們稱方程x2pxq為具有遞推形式 程若(1.1)的特征方程有兩個不同的根axnynx,yn=1,2時給定的a 若特征方程有兩個相同的根，則令a(xny)nx,y由給定的aa

axnb以及給定a11

cxnf(xxf(x的點(x,f(xf(x的不動點.yayby

axnb的數(shù)列的不動點

cxn

axnby

xy 時，數(shù)

cx

yxn1

acy1an

2xn1

acy2anax

當xn1 只有有一個不動點y時，數(shù)列 cxn

xy成等差數(shù)列.

xn1

a

an給一個數(shù)列an，將其相鄰兩項的差求出，得到一列新數(shù)列 這個數(shù)列稱之為原數(shù)列an的一階差分數(shù)數(shù)列為bn的一階差分數(shù)列，我們也稱之為原數(shù)列an的二階差分數(shù)列。類似可定義數(shù)列an的p階差分數(shù)列，差分數(shù)列也可以叫做差數(shù)列如果數(shù)列anp階等差數(shù)列，那么an的一階差數(shù)列是p-1階等差數(shù)nnki是一個關于n的i1k數(shù)列anp階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列an的通項是np次多項式n數(shù)列ap階等差數(shù)列，那么其前n項和是關于np1次多項式n函數(shù)fx a3求證：當n 時，必有

3lg3已知數(shù)列a滿足

1,nN+

n2n 求證：當n2時，2an2e定義02上的函數(shù)fxif12，對任意的x02有fx1.且fxf2xii對任意的xy12,當xy3時，fxfyfxy212n2n 2當x12時，fx5求證sinn2xsinnxcosnx21.nN 設數(shù)列a的前幾項和為S且S2a2n1.n 1求數(shù)列an的通項公2令a1n1 2,數(shù)列a的前n項和為T

24 2 數(shù)a 3

求證：a2011a2b2c2的最大值Ap,q.對任意p,q1,1,定義ApqxRAp,q.求 aa 1求an的通項公2求an-an

ana的定義：對于0N0，使得nN時，|ana| limqn

q

(kank nk1 lim k 0

(kt)bbb

tt

(kS

a11qn

a1（S無窮等比數(shù)列a

|q|1)的和

1

1 解析幾解析幾何中的一些性質和 |yy1k

1k

|x

|

k 線的斜率，兩個端點的坐標是(x1y1，(x2y2)，一般來說這兩點是由直線和二次曲線聯(lián)立所意范圍，比些時候參數(shù)若參數(shù)可能為0，則不能直接除。(xx(xx)y2 2(xx)y2 2(x(xx)y2 2

Ka=-a2+b2+c2，Kb=-b2+a2+c2，Kc=-x重x1x2x3y重y1y2y3x內=(ax1+bx2+cx3y內=(ay1+by2+cy3x垂x1/Kax2/Kb+x3y垂y1/Ka+y2/Kb+y3x外=(a2Kax1+b2Kbx2+c2Kcx3y外=(a2Kay1+b2Kby2+c2Kcy3x1=(-ax1+bx2+cx3)/(-a+b+c)y1=(-ay11+by2+cy3)/(-a+b+c)x2=(ax1-bx2+cx3)/(a-b+c)y2=(ay1-by2+cy3)/(a-b+c)x3=(ax1+bx2-cx3)/(a+b-c)y3=(ay1+by2-cy3)/(a+b-直ky2y1（P(xyP(xyx

yy1k(x

(直線lP1(x1y1，且斜率為k斜截式y(tǒng)kxb(b為直線ly軸上的截距

y

xx1(

yP(xyP(xy

(x

y x

xy1a、ba、b0 AxByC0(A、Btan|k2k1|1k2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tan|A1B2A2B1|直線lll1l2的夾角是 k的性質，對減少變量有很大的好處，但是如果b已知，使用距離公式未嘗不是一l1到l2的角公tan

k2

.(l:ykxb，

:ykxb,kk1k2

1tanA1B2A2B1直線lll1l2的角是 ||Ax0By0CA2d

(P(x0,y0,直線lAxByC0x、yP0(x0y0yy0k(xx0(xx0),其中k是待定的系數(shù);P0(x0,y0A(xx0Byy00,AB是待定的系數(shù)．共點直線系方程：經(jīng)過兩直線l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交點的直線系方程為(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)

(除l2)，其中是待定的系數(shù)P0(x0y0，將(x0y0λ恒成立，說明了它能表示除l2的所有直線，實際上，我們可以將共點直線系寫成mA1B1C1n(A2B2C2，這樣就包含了l2。ykxb中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線AxByC0AxBy00)，λAxByC0(A≠0，B≠0)BxAy0,λ若l1yk1xb1l2yk2x①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k2若l1A1xB1yC10l2:A2xB2yC20,A1、A2、B1、B2都不為零①l||

C1 ②l1l2A1A2B1B20；AxByC0或0所表示的平面區(qū)域設直線l:AxByC0AxByC0或0所表示的平面區(qū)域是：B0BAxByC同號時，表示直線lBAxByC異號時，表示直線l的B0AAxByC同號時，表示直線lAAxByC異號時，表示直線l左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左A1xB1yC1)(A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)A1xB1yC1)(A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)域是：A1xB1yC1)(A2xB2yC20所表示的平面區(qū)域上下兩部分.y2x22x1y5x22x3x軸、yA、B兩點，且△AOB2（t,0（0<|t|<a2點

ya 1交于不同的兩點A,B，P是直線ya

l:x=my+qP3x24y212A,BA二次曲線：

(xa)2(yb)2r2

x2

D2E2DxEyFD2E22

2

4F

xarybrsin

(xx1)(xx2yy1yy20(A(x1y1B(x2y2A(x1,y1,B(x2,y2xx1)(xx2yy1yy2(axbyc0,axbyc0AB的方程,λ是待定的過直線l

AxByC

與圓C

x2y2DxEyF

x2y2DxEyF(AxByC0,λ過圓C:x2y2DxEyF0與圓C:x2y2DxEy

0的交點的圓系方程是 x2y2DxEyF(x2y2DxEyF P(xy與圓(xa)2yb)2r2的位置關系有 (a(ax)2(by00

，則drP在圓外drP在圓上drP在圓內直線AxByC0與圓(xa)2yb)2r2的位置關系有三種drdr相切0;dr相交0.其中d

A2A2BAaBb設兩圓圓心分別為O1，O2r1，r2O1O2dr1r24條公切線dr1r2外切3條公切線r1r2dr1r2相交2條公切線dr1

0dr1

x2y2DxEyF0P(x0,y0xxyyD(x0x)E(y0y)F0 我們已經(jīng)知道切點(x0y0OPPOP垂直的直注 方法，把x2替換成xx，y同理，把x替換成x0x，y同理，常數(shù)不變，下面橢圓，雙曲線 當(x,y圓外時,xxyyD(x0x)Ey0y)F0 xxyyD(x0x)Ey0y)F0 考， yy0k(xx0k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線．kykxbbx2y2r2①過圓上的P(xy點的切線方程為xxyyr2 1k②斜率為ky1k已知直線

:ykx1與圓Cx2)2y3)21ABO為坐標原點，S(k)表示OABk2面積，記f(k)S(k)2 ，那么f(kk232

33 33證明：不論aC當a≠2C22

A(2,0)B(0,2)，若點Cx22xy20上的動點，求ABC在△ABCB(1，2)，BCx－2y＋1＝0，∠A0，求y5l：x－2y＝0的距離為5mlC橢F1、F22a（2a>|F1F2|）P的軌跡叫做橢圓。F1的正數(shù)）其中定點F為橢圓的焦點，定直線稱為橢圓的準線x

（右準線）x

x2y2

1(ab

xa橢圓

的參數(shù)方程一般化為ybsinx2y21(ab橢圓

0

e(x

ac)，

e(ax)2c2

（1）點P(x,y)在橢 1(ab0)的內部0

1. （2）點P(x,y)在橢 1(ab0)的外部0

x y

1(ab0P(xy處的切線方程是00 x2y2

0P(x0,y0x0xy0y1.(類比圓的切點弦方程 橢圓

2y 1(ab0)與直線AxByC0相切的條件是A2a2B2b2c2.（由橢圓的y y2 P為橢 1上動點，A（-3,0)、

,1)PA+PB的最小值為（5

1的兩條切線，分別切橢圓于A、B兩點，那么AB的直線方程

5

5 C

0)，

設點M(x00)，若當且僅當橢圓CP在橢圓的頂點時，|PM|x0若橢圓C上的點P31，且與直線l:ykxmA、兩點（A，B不是橢圓的左右頂點AA2BA2。試研究直線l是否過定點？若過定點，請求出x2y2

已知橢圓 1，過橢圓左頂 的直線L與橢圓交于，與軸交于R，過原點與L平行AQ

2OPAR33

相切F1做兩條相互垂直的直線l1l2PQMNPMQN面積的最大值與P

y 1Poy

2

12M,N0M,NQPΔPQO（2）Fe（即雙曲線的離心率，e=c/a）的點的集合（F1的正數(shù)）其中定點F為雙曲線的焦點，定直線稱為雙曲線的

的距離為e，雙曲線上的左焦點的距離比上到左準線的距離為e

y 1(a0b0的焦半徑公式（通徑y(tǒng)

|e(x

c)|，

|c

x)|

點P(x,y)在雙曲 1(a0,b0)的內部0

1. 點P(x,y)在雙曲 1(a0,b0)的外部0

1 x2y2

(1）若雙曲線方程為a bb

1漸近線方程 xy

0x

y xay若漸近線方程為y x

0雙曲線可設 a b

x若雙曲線與a上

yb

x1有公共漸近線，可設為ax

yb

（0x軸上，0y

x y

1(a0,b0P(xy處的切線方程是00

x y

1(a0,b0P(xy所引兩條切線的切點弦方程是00

y 1(a0,b0AxByC0A2a2B2b2c2y

x2y252已知點P為雙曲 52 xy xy設雙曲線C1a2

xyk(a2k0，橢圓C2a2xy

C2

C1的實軸長的比值等于4的離心率，則C1在C2422

已知雙曲線C

分別為C的左右焦點.P為C右支上一點，且使 3 3.Ce22

PN

，M20，N20P的軌跡Wyk

與WA、BSOAB（O為原點Pcx2y22y30Pc 設P是雙曲 3

1上第一象限內的任意一F1,F2是左右焦點，直線PF1PF2分別于雙曲線交

yOx P(xy在拋物線y22pxp0的內部y22pxpyOx P(xy在拋物線y22pxp0的外部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的內部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的外部y22pxp0 P(xy在拋物線x22pyp0的內部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0的外部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0的內部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0的外部x22pyp0 拋物線y22px上一點P(xy處的切線方程是yyp(xx y22pxP(xyyyp(xx 拋物線y22pxp0與直線AxByC0相切的條件是pB22AC拋物線的離心率e定義為拋物線上的點到焦點的距離比上到準線的距離，則e1即拋物線上的點到焦點和到準y22pxp0xp2M(x,y為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線OM為終邊的角記為，當在(2tanyyxtany22pxxxy

2p2ptan

（為參數(shù)）x2

t1tant( (0，則y2

（t當t0時，由參數(shù)方程得，正好為頂點O(00)，因此當t(y22px的參數(shù)方程注意：參數(shù)t的幾何意義為：表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)y3x26x5上的的點A（2,5）的切線方程為（ B.y=- 13(x13(x3)213y

2y3x4所表示的曲線是（A.拋物 45AB為過拋物線y2=4x焦點F的弦，O為坐標原點且OFA135，C為拋物線準線與x軸的交點則ACB452 2

D.244322

，已知d1d2

AD判斷ABC若ABC240ABC若BC邊所在直線的方程為4xy200，則拋物線方程為 y2

y2

y2

y2Cx22pyp0R點（1,-1）CRA,RB,A,BP變化時，ΔRAB的面積最小值.在平面內取一個定點O，叫作極點，引一條射線OX對于平面內任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從OX到OM的角度，叫點M 極徑，叫點M的極角，有序數(shù)對，就叫點M的極坐標.這樣建立的坐標系叫極坐標系，記作M，M0可以取任意值OPOPxP 1-2M(1)0，M，(2)0，M，同理，與，也是同一個點的坐標又由于一個角加2nnZ后都是和原角終邊相同的角，所以一個點的極坐標不唯一.0，02或，那么除極點外，平面內的點和極坐標就可以一一對應了1°建立適當?shù)臉O坐標系，并設動點M的坐標為，2°M3°列方程，0XM是平面內任意一點，其直角坐標x，y，極坐標是，，從點M作MNOXxcos，ysinyyMyOxNx

2x2y2,tgx

1-x注：在一般情況下，由tg確定角M圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標方程：以橢圓的左焦點(雙曲線的右焦點、拋物線的焦點)為極點，過點F作相應準線的KFK的反向延長線為極軸建立極坐標系.則橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為：1e

pF到定直線的距離，也就是焦點到相應準線的距離為|XF|2次曲線的定義知道

從而|KF|=p=cos(

1e 在直角坐標系中，以O為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極方程為．圓O的參數(shù)方程為 ，（為參數(shù)，）已知定點A（a,0）P對極點O和點A的張角OPA3P在極軸上方運動時，求Q的軌跡的極坐標方程坐標變換

2p(x,y),opr,opx軸的正向的夾角為aop圍繞原p'（s.t）s=rcos(a+b)=rcos(a)cos(b)–r t=rsin(a+b)=rsin(a)cos(b)+r 其中x=r ,y=r代入(1.11.2)s=xcos(b)–yt=xsin(b)+ys cost sin

sinbxcosby