初三銳角三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)與典型例題

..銳角三角函數(shù)：知識(shí)點(diǎn)一：銳角三角函數(shù)的定義：銳角三角函數(shù)定義：在Rt△ABC中,∠C=900,∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c,則∠A的正弦可表示為：sinA=,∠A的余弦可表示為cosA=∠A的正切：tanA=,它們弦稱為∠A的銳角三角函數(shù)[特別提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一個(gè)整體,是兩條線段的比,沒有,這些比值只與有關(guān),與直角三角形的無(wú)關(guān)2、取值范圍<sinA<cosA<tanA>]例1．如圖所示,在Rt△ABC中,∠C＝90°．第1題圖①＝______, ＝______；②＝______, ＝______；③＝______, ＝______．例2.銳角三角函數(shù)求值：在Rt△ABC中,∠C＝90°,若a＝9,b＝12,則c＝______,sinA＝______,cosA＝______,tanA＝______,sinB＝______,cosB＝______,tanB＝______．例3．已知：如圖,Rt△TNM中,∠TMN＝90°,MR⊥TN于R點(diǎn),TN＝4,MN＝3．求：sin∠TMR、cos∠TMR、tan∠TMR．典型例題：類型一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中,求AC、AB和cosB．2．已知：如圖,⊙O的半徑OA＝16cm,OC⊥AB于C點(diǎn),求：AB及OC的長(zhǎng)．3．已知：⊙O中,OC⊥AB于C點(diǎn),AB＝16cm,<1>求⊙O的半徑OA的長(zhǎng)及弦心距OC；<2>求cos∠AOC及tan∠AOC．已知是銳角,,求,的值對(duì)應(yīng)訓(xùn)練：〔西城北3．在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝1,AB=,則tanA的值為A．B．C．D．2<房山>5．在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于〔.A．B.C.D.類型二.利用角度轉(zhuǎn)化求值：1．已知：如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°．D是AC邊上一點(diǎn),DE⊥AB于E點(diǎn)．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2．如圖,直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),與x軸的正半軸交于點(diǎn)D,B是y軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn),則cos∠OBC的值為〔A．B．C．D．3.〔2009·XX中考如圖,角的頂點(diǎn)為O,它的一邊在x軸的正半軸上,另一邊OA上有一點(diǎn)P〔3,4,則．4.〔2009·慶陽(yáng)中考如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為10cm,DE⊥AB,,則這個(gè)菱形的面積=cm2．5.〔2009·XX中考如圖,是的外接圓,是的直徑,若的半徑為,,則的值是〔A．B．C．D．6.如圖4,沿折疊矩形紙片,使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處．已知,,AB=8,則的值為<>Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．7.如圖6,在等腰直角三角形中,,,為上一點(diǎn),若,則的長(zhǎng)為<>A．B．C．D．8.如圖6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠A的平分線AD=求∠B的度數(shù)及邊BC、AB的長(zhǎng).圖6類型三.化斜三角形為直角三角形例1〔2012?XX如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,求AB的長(zhǎng)．例2．已知：如圖,△ABC中,AC＝12cm,AB＝16cm,<1>求AB邊上的高CD；<2>求△ABC的面積S；<3>求tanB．例3．已知：如圖,在△ABC中,∠BAC＝120°,AB＝10,AC＝5．求：sin∠ABC的值．對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1．〔2012?XX如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)D在BC邊上,且△ABD是等邊三角形．若AB=2,求△ABC的周長(zhǎng)．〔結(jié)果保留根號(hào)2．已知：如圖,△ABC中,AB＝9,BC＝6,△ABC的面積等于9,求sinB．3.ABC中,∠A=60°,AB=6cm,AC=4cm,則△ABC的面積是A.2cm2 B.4cm2C.6cm2 D.12cm2類型四：利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形例1〔2012?內(nèi)江如圖所示,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則sinA的值為〔A．B．C．D．對(duì)應(yīng)練習(xí)：1．如圖,△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上,則sinA=_______.2．如圖,A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)絡(luò)線的交點(diǎn)處,若將繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到,則的值為A.B.C. D.3．正方形網(wǎng)格中,如圖放置,則tan的值是〔A．EQ\F<EQ\R<,5>,5> B.EQ\F<2EQ\R<,5>,5>C.EQ\F<1,2>D.2特殊角的三角函數(shù)值銳角30°45°60°sincostan當(dāng)時(shí),正弦和正切值隨著角度的增大而余弦值隨著角度的增大而例1．求下列各式的值．〔昌平1.計(jì)算：．〔XX2計(jì)算：.〔2009·XX中考計(jì)算：3－1+<2π－1>0－tan30°－tan45°<石景山>4．計(jì)算：．<通縣>5．計(jì)算：；例2．求適合下列條件的銳角．<1> <2><3> <4>〔5已知為銳角,且,求的值〔6在中,若,都是銳角,求的度數(shù).例3.三角函數(shù)的增減性1．已知∠A為銳角,且sinA<,那么∠A的取值范圍是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°已知A為銳角,且,則〔A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用1．已知：如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB于E,BE＝16cm,求此菱形的周長(zhǎng)．2．已知：如圖,Rt△ABC中,∠C＝90°,,作∠DAC＝30°,AD交CB于D點(diǎn),求：<1>∠BAD；<2>sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．4.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,,點(diǎn)D在BC邊上,DC=AC=6,求tan∠BAD的值．5.〔本小題5分如圖,△ABC中,∠A=30°,,．求AB的長(zhǎng).解直角三角形：1．在解直角三角形的過程中,一般要用的主要關(guān)系如下<如圖所示>：在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝b,BC＝a,AB＝c,①三邊之間的等量關(guān)系：________________________________．②兩銳角之間的關(guān)系：__________________________________．③邊與角之間的關(guān)系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的線段<如圖所示>．在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．類型一例1．在Rt△ABC中,∠C＝90°．<1>已知：a＝35,,求∠A、∠B,b；<2>已知：,,求∠A、∠B,c；<3>已知：,,求a、b；<4>已知：求a、c；<5>已知：∠A＝60°,△ABC的面積求a、b、c及∠B．例2．已知：如圖,△ABC中,∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝10cm．求AB及BC的長(zhǎng)．例3．已知：如圖,Rt△ABC中,∠D＝90°,∠B＝45°,∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的長(zhǎng)．例4．已知：如圖,△ABC中,∠A＝30°,∠B＝135°,AC＝10cm．求AB及BC的長(zhǎng)．類型二：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用仰角與俯角：例1．〔2012?XX如圖,從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別是30°、45°,如果此時(shí)熱氣球C處的高度CD為100米,點(diǎn)A、D、B在同一直線上,則AB兩點(diǎn)的距離是〔A．200米B．200米C．220米D．100〔米例2．已知：如圖,在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子,當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí),梯子的頂端在B點(diǎn)；當(dāng)它靠在另一側(cè)墻上時(shí),梯子的頂端在D點(diǎn)．已知∠BAC＝60°,∠DAE＝45°．點(diǎn)D到地面的垂直距離,求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC．例3〔昌平19.如圖,一風(fēng)力發(fā)電裝置豎立在小山頂上,小山的高BD=30m．從水平面上一點(diǎn)C測(cè)得風(fēng)力發(fā)電裝置的頂端A的仰角∠DCA=60°,測(cè)得山頂B的仰角∠DCB=30°,求風(fēng)力發(fā)電裝置的高AB的長(zhǎng)．例4.如圖,小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹高,已知小聰和樹都與地面垂直,且相距米,小聰身高AB為1.7米,求這棵樹的高度.例5．已知：如圖,河旁有一座小山,從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°,測(cè)得岸邊點(diǎn)D的俯角為45°,又知河寬CD為50m．現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC,求山的高度及纜繩AC的長(zhǎng)<答案可帶根號(hào)>．例5．〔2012?XX如圖,為測(cè)量某物體AB的高度,在D點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為30°,朝物體AB方向前進(jìn)20米,到達(dá)點(diǎn)C,再次測(cè)得點(diǎn)A的仰角為60°,則物體AB的高度為〔A．10米B．10米C．20米D．米例6．〔2012?XX超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同學(xué)嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速．如圖,觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在A處,離XX大道的距離〔AC為30米．這時(shí),一輛小轎車由西向東勻速行駛,測(cè)得此車從B處行駛到C處所用的時(shí)間為8秒,∠BAC=75°．〔1求B、C兩點(diǎn)的距離；〔2請(qǐng)判斷此車是否超過了XX大道60千米/小時(shí)的限制速度？〔計(jì)算時(shí)距離精確到1米,參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,≈1.732,60千米/小時(shí)≈16.7米/秒類型四.坡度與坡角例．〔2012?XX如圖,某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：,堤壩高BC=50m,則應(yīng)水坡面AB的長(zhǎng)度是〔A．100mB．100mC．150mD．50m類型五.方位角1．已知：如圖,一艘貨輪向正北方向航行,在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°,貨輪以每小時(shí)20海里的速度航行,1小時(shí)后到達(dá)B處,測(cè)得燈塔M在北偏西45°,問該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí),與燈塔M之間的最短距離是多少?<精確到0.1海里,>2．〔2012?XX州新聞鏈接,據(jù)[僑報(bào)網(wǎng)訊]外國(guó)炮艇在南海追襲中國(guó)漁船被中國(guó)漁政逼退20XX5月18日,某國(guó)3艘炮艇追襲5條中國(guó)漁船．剛剛完成黃巖島護(hù)漁任務(wù)的"中國(guó)漁政310"船人船未歇立即追往北緯11度22分、東經(jīng)110度45分附近海域護(hù)漁,保護(hù)100多名中國(guó)漁民免受財(cái)產(chǎn)損失和人身傷害．某國(guó)炮艇發(fā)現(xiàn)中國(guó)目前最先進(jìn)的漁政船正在疾速馳救中國(guó)漁船,立即掉頭離去．〔見圖1解決問題如圖2,已知"中國(guó)漁政310"船〔A接到陸地指揮中心〔B命令時(shí),漁船〔C位于陸地指揮中心正南方向,位于"中國(guó)漁政310"船西南方向,"中國(guó)漁政310"船位于陸地指揮中心南偏東60°方向,AB=海里,"中國(guó)漁政310"船最大航速20海里/時(shí)．根據(jù)以上信息,請(qǐng)你求出"中國(guó)漁政310"船趕往出事地點(diǎn)需要多少時(shí)間．綜合題：三角函數(shù)與四邊形：〔西城二模1．如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=135°,∠BCD=90°,AB=BC=2,tan∠BDC=eq\f<\r<,6>,3>．<1>求BD的長(zhǎng)；<2>求AD的長(zhǎng)．〔2011東一18．如圖,在平行四邊形中,過點(diǎn)A分別作AE⊥BC于點(diǎn)E,AF⊥CD于點(diǎn)F．〔1求證：∠BAE=∠DAF；〔2若AE=4,AF=,,求CF的長(zhǎng)．三角函數(shù)與圓：1．如圖,直徑為10的⊙A經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn),與x軸的正半軸交于點(diǎn)D,B是y軸右側(cè)圓弧上一點(diǎn),則cos∠OBC的值為〔A．B．C．D．〔延慶19.已知：在⊙O中,AB是直徑,CB是⊙O的切線,連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠AOD=2∠C若AD=8,tanC=,求⊙O的半徑?！?013XX期末21.如圖,DE是⊙O的直徑,CE與⊙O相切,E為切點(diǎn).連接CD交⊙O于點(diǎn)B,在EC上取一個(gè)點(diǎn)F,使EF=BF.〔1求證:BF是⊙O的切線;〔2若,DE=9,求BF的長(zhǎng)．作業(yè)：〔昌平1．已知,則銳角A的度數(shù)是A．B．C．D．〔西城北2．在Rt△ABC中,∠C＝90°,若BC＝1,AB=,則tanA的值為A．B．C．D．2<房山>3．在△ABC中,∠C=90°,sinA=,那么tanA的值等于〔.A．B.C.D.<大興>4.若,則銳角＝.<石景山>1．如圖,在Rt△ABC中,∠C＝90°,BC＝3,AC=2,則tanB的值是A．B．C．D．〔豐臺(tái)5．將∠α放置在正方形網(wǎng)格紙中,位置如圖所示,則tanα的值是A．B．2C．D．<大興>5.△ABC在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示,則的值是A. B.C. D.<通縣>4．如圖,在直角三角形中,斜邊的長(zhǎng)為,,則直角邊的長(zhǎng)是〔A．B．C．D．〔通州期末1．如圖,已知P是射線OB上的任意一點(diǎn),PM⊥OA于M,且OM:OP=4:5,則cosα的值等于〔A．B．C．D．〔西城6．如圖,AB為⊙O的弦,半徑OC⊥AB于點(diǎn)D,若OB長(zhǎng)為10,,則AB的長(zhǎng)是A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果cosA=,那么tanA的值是A．B．C．D．11．如圖,在△ABC中,∠ACB=∠ADC=90°,若sinA=,則cos∠BCD的值為．計(jì)算：13．計(jì)算.13．計(jì)算：．14.如圖,小聰用一塊有一個(gè)銳角為的直角三角板測(cè)量樹高,已知小聰和樹都與地面垂直,且相距米,小聰身高AB為1.7米,求這棵樹的高度.15．已知在Rt△ABC中,∠C＝90°,a=,b=.解這個(gè)直角三角形20.如圖,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,AD是∠CAB的平分線,tanB=,求的值．〔延慶19.已知：在⊙O中,AB是直徑,CB是⊙O的切線,連接AC與⊙O交于點(diǎn)D,求證：∠AOD=2∠C若AD=8,tanC=,求⊙O的半徑?！惭討c期末19．如圖,某同學(xué)在樓房的處測(cè)得荷塘的一端處的俯角為,荷塘另一端處、在同一條直線上,已知米,米,求荷塘寬為多少米？〔結(jié)果保留根號(hào)18.〔6分如圖,在△ABC中,點(diǎn)O在AB上,以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過A,C兩點(diǎn),交AB于點(diǎn)D,已知2∠A+∠B=〔1求證：BC是⊙O的切線；〔2若OA=6,BC=8,求BD的長(zhǎng)〔1證明：〔2解：〔西城 15．如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在AC邊上．若DB=6,AD=CD,sin∠CBD=,求AD的長(zhǎng)和tanA的值．18．如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東45°方向,距離燈塔100海里的A處,它計(jì)劃沿正北方向航行,去往位于燈塔P的北偏東30°方向上的B處.〔1B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)？〔2圓形暗礁區(qū)域的圓心位于PB的延長(zhǎng)線上,距離燈塔200海里的O處．已知圓形暗礁區(qū)域的半徑為50海里,進(jìn)入圓形暗礁區(qū)域就有觸礁的危險(xiǎn)．請(qǐng)判斷若海