離散型隨機變量的均值與方差 課件

第九節(jié)離散型隨機變量的均值與 方差三年22考高考指數(shù):★★★★1.理解取有限個值的離散型隨機變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題.1.離散型隨機變量的均值是高考考查的重點；2.數(shù)形結合、分類討論是解決均值與方差問題的重要思想方法；3.題型以解答題為主，常與分布列等知識綜合考查.1.離散型隨機變量的均值與方差(1)離散型隨機變量X的分布列Xx1x2…xi…xnP……p1p2pipn(2)離散型隨機變量X的均值與方差均值(數(shù)學期望)方差計算公式作用標準差反映了離散型隨機變量取值的________刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的_____________方差的算術平方根為隨機變量X的標準差平均水平平均偏離程度【即時應用】(1)思考：隨機變量的均值、方差與樣本均值、方差的關系是怎樣的？提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù).樣本的均值、方差是一個變量.隨著樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值、方差.(2)隨機變量X的分布列如表，則X的數(shù)學期望是______.【解析】由題知：0.2＋0.5＋m＝1，∴m＝0.3，∴E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.答案：2.1X123P0.20.5m(3)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)＝______.【解析】X的取值為0,1,2,3，則P(X＝0)＝P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝∴E(X)＝答案：(4)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個隨機變量X、Y，其分布列分別為：若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等，則甲、乙兩人中技術較好的是______.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E(Y)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以E(X)>E(Y)，故乙的技術較好.答案：乙2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=_________，(2)D(aX+b)=________.(a,b為常數(shù))aE(X)+ba2D(X)【即時應用】(1)已知分布列為：且設Y＝2X＋3，則Y的均值是______.(2)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若取到一件次品得2分，用Y表示得分數(shù)，則D(Y)＝______.X-101Pa【解析】(1)由分布列性質(zhì)有＋a＝1，即a＝E(X)＝∴E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝(2)設X表示取到的次品數(shù)，則Y＝2X.由題意知取到次品的概率為∴X～B(3，)，D(X)＝故D(Y)＝D(2X)＝4D(X)＝答案：(1)(2)3.兩點分布與二項分布的均值、方差均值方差隨機變量X服從兩點分布X～B(n,p)E（X）=____D（X）=______E(X)=____D(X)=_______pp(1-p)npnp(1-p)【即時應用】(1)設15000件產(chǎn)品中有1000件次品，有放回地從中抽取150件進行檢查，則查得次品數(shù)的數(shù)學期望為______.(2)設ξ是服從二項分布B(n，p)的隨機變量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝則n的值為______,p的值為______.【解析】(1)設查得次品數(shù)為隨機變量ξ，由題意得ξ～B(150，)，所以E(ξ)=150×=10.(2)由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝∴p＝n＝60.答案：(1)10(2)60離散型隨機變量的均值與方差【方法點睛】求離散型隨機變量ξ的均值與方差的方法(1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；(2)求ξ取每個值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)由均值的定義求E(ξ)；(5)由方差的定義求D(ξ).【例1】(2011?福建高考)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：且X1的數(shù)學期望E(X1)=6，求a，b的值；X15678P0.4ab0.1(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望.(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由.注：(1)產(chǎn)品的“性價比”=(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.【解題指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和為1，聯(lián)立關于a,b的方程組，解方程組求得a,b的值；(2)根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù)，列等級系數(shù)X2的概率分布列，再利用期望公式求期望；(3)根據(jù)“性價比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價比，“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.【規(guī)范解答】(1)因為E(X1)＝6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2，又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于6,價格為6元/件，所以其性價比為=1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8,價格為4元/件，所以其性價比為=1.2.所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.【反思?感悟】求離散型隨機變量的均值與方差時，關鍵是先求出隨機變量的分布列.求離散型隨機變量的分布列時要注意兩個問題：一是求出隨機變量所有可能的值；二是求出取每一個值時的概率.求概率時，要注意概率類型的確定與轉化，如古典概型、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復試驗有k次發(fā)生的概率等.【變式訓練】在一次電視節(jié)目的搶答中，題型為判斷題，只有“對”和“錯”兩種結果，其中某明星判斷正確的概率為p，判斷錯誤的概率為q，若判斷正確則加1分，判斷錯誤則減1分，現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為Sn”.(1)當p=q=時，記ξ=|S3|，求ξ的分布列及數(shù)學期望及方差；(2)當p=q=時，求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.【解析】(1)∵ξ=|S3|的取值為1，3，又p=q=故P(ξ=1)=P(ξ=3)=所以ξ的分布列為：且E(ξ)=D(ξ)=ξ13P(2)當S8=2時，即答完8題后，回答正確的題數(shù)為5題，回答錯誤的題數(shù)是3題，又已知Si≥0(i=1,2,3,4)，若第一題和第二題回答正確，則其余6題可任意答對3題；若第一題和第三題回答正確，第二題回答錯誤，則后5題可任意答對3題.此時的概率為P=(或).【變式備選】如圖，一個小球從M處投入，通過管道自上而下落入A或B或C.已知小球從每個叉口落入左右兩個管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進行促銷活動，若投入的小球落到A，B，C，則分別設為1,2,3等獎.(1)已知獲得1,2,3等獎的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機變量ξ為獲得k(k＝1,2,3)等獎的折扣率，求隨機變量ξ的分布列及期望E(ξ)；(2)若有3人次(投入1球為1人次)參加促銷活動，記隨機變量η為獲得1等獎或2等獎的人次，求P(η＝2).【解析】(1)由題意得ξ的分布列為則E(ξ)＝ξ50%70%90%P(2)由(1)可知，獲得1等獎或2等獎的概率為由題意得η～B(3，)，則P(η＝2)＝與二項分布有關的期望與方差【方法點睛】與二項分布有關的期望與方差的求法(1)求隨機變量ξ的期望與方差時，可首先分析ξ是否服從二項分布，如果服從ξ～B(n,p)，則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解，可大大減少計算量.(2)有些隨機變量雖不服從二項分布，但與之具有線性關系的另一隨機變量服從二項分布，這時，可以綜合應用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b)，同樣還可求出D(aξ+b).【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b，但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b，D(aξ+b)≠aD(ξ).【例2】(1)某同學參加科普知識競賽，需回答4個問題，每一道題能否正確回答是相互獨立的，且回答正確的概率是若回答錯誤的題數(shù)為ξ，則E(ξ)=______，D(ξ)=______.(2)罐中有6個紅球，4個白球，從中任取1球，記住顏色后再放回，連續(xù)取4次，設ξ為取得紅球的次數(shù)，則E(ξ)=______.【解題指南】兩題中的ξ都服從二項分布，故可直接套用公式求解.【規(guī)范解答】(1)∵回答正確的概率是∴回答錯誤的概率是故ξ～B(4，)，∴E(ξ)=4×＝1，D(ξ)=(2)因為是有放回的摸球，所以每次摸球(試驗)摸得紅球(成功)的概率為連續(xù)摸4次(做4次試驗)，ξ為取得紅球(成功)的次數(shù)，則ξ～B(4，)，所以E(ξ)=答案：(1)1(2)【互動探究】在本例(1)中，若競賽規(guī)定：答對1題得10分，否則扣1分，其他條件不變，求該同學得分η的期望與方差.【解析】由題意知：η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ，故由均值與方差的性質(zhì)得E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29，D(η)=D(40-11ξ)=112D(ξ)=【反思?感悟】ξ是隨機變量,則η=f(ξ)一般也是隨機變量,在求η的均值和方差時,熟練應用均值和方差的性質(zhì),可以避免再求η的分布列帶來的繁瑣運算.【變式備選】甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生(可在高考中加分錄取)，兩次考試過程相互獨立.根據(jù)甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學能通過筆試的概率分別是0.6，0.5，0.4，能通過面試的概率分別是0.5，0.6，0.75.(1)求甲、乙、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；(2)設經(jīng)過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的期望E(ξ).【解析】(1)分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件A1、A2、A3；E表示事件“恰有一人通過筆試”，則P(E)==0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38.(2)方法一：因為甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格的概率均為p=0.3，所以ξ～B(3,0.3)，故E(ξ)=np=3×0.3=0.9.方法二：分別記甲、乙、丙三個同學經(jīng)過兩次考試后合格為事件A,B,C，則P(A)=P(B)=P(C)=0.3所以P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343,P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189，P(ξ=3)=0.33=0.027.于是,E(ξ)=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.均值與方差的實際應用【方法點睛】均值與方差的實際應用(1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用來描述X的分散程度.(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.【例3】(2012?深圳模擬)甲有一個裝有x個紅球、y個黑球的箱子，乙有一個裝有a個紅球、b個黑球的箱子，兩人各自從自己的箱子里任取一球，并約定：所取兩球同色時甲勝，異色時乙勝(a,b,x,y∈N*).(1)當x=y=3,a=3,b=2時，求甲獲勝的概率；(2)當x+y=6,a=b=3時，規(guī)定：甲取紅球獲勝得3分；取黑球獲勝得1分；甲負得0分，求甲的得分期望達到最大時的x,y值；(3)當x=a，y=b時，這個游戲規(guī)則公平嗎？請說明理由.【解題指南】(1)甲勝即兩人同時取到紅球或同時取到黑球.(2)明確隨機變量的取值為0，1，3，并求出各自的概率.(3)是否公平看兩人獲勝的概率是否相等.【規(guī)范解答】(1)由題意，甲、乙都取到紅球的概率甲、乙都取黑球的概率∴甲獲勝的概率(2)令ξ表示甲的分數(shù)，則ξ的取值為0，1，3，P(ξ=1)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=得ξ的分布列如下：于是E(ξ)=又x,y∈N*且x+y=6，∴1≤x≤5,且E(ξ)=故當x=5，y=1時，E(ξ)的最大值為ξ013P(3)由題意，兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有種不同情形，每種情形都是等可能的，記甲獲勝為事件A，乙獲勝為事件B，則當x=y時，P(A)=P(B),甲、乙獲勝的概率相等，這個游戲規(guī)則是公平的；當x≠y時，P(A)>P(B)，甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率，這個游戲規(guī)則不公平，有利于甲.【反思?感悟】解決此類題目的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，求得該事件發(fā)生的概率.對于實際問題要通過分析題意抽象出具體的數(shù)學模型來求解.【變式訓練】某慈善機構舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元.在演出過程中穿插抽獎活動.第一輪抽獎從這一萬張票根中隨機抽取10張，其持有者獲得價值1000元的獎品，并參加第二輪抽獎活動.第二輪抽獎由第一輪獲獎者獨立操作按鈕，電腦隨機產(chǎn)生兩個數(shù)x，y(x，y∈{1,2,3})，隨即按如圖所示程序框圖運行相應程序.若電腦顯示“中獎”，則抽獎者獲得9000元獎金；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎.(1)已知小曹在第一輪抽獎中被抽中，求小曹在第二輪抽獎中獲獎的概率；(2)若小葉參加了此次活動，求小葉參加此次活動收益的期望；(3)若此次募捐除獎品和獎金外，不計其他支出，該機構想獲得96萬元的慈善款.問該慈善機構此次募捐是否能達到預期目標？【解析】(1)從1，2，3三個數(shù)字中有重復地取2個數(shù)字，其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9個，設“小曹在第二輪抽獎中獲獎”為事件A，且事件A所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2個，∴P(A)=(2)設小葉參加此次活動的收益為ξ，ξ的可能取值為-100,900,9900.P(ξ=-100)=P(ξ=900)=P(ξ=9900)=∴ξ的分布列為∴E(ξ)=ξ-1009009900P(3)由(2)可知，購票者每人收益期望為-97.∵有一萬人購票，除獎金和獎品外，不計其他支出，∴該機構此次收益期望為97×10000=970000元=97萬元，∵97>96，∴該慈善機構此次募捐能達到預期目標.【滿分指導】離散型隨機變量均值解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011?天津高考)學校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.(每次游戲結束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中，①摸出3個白球的概率；②獲獎的概率；(2)求在2次游戲中獲獎次數(shù)X的分布列及數(shù)學期望E(X).【解題指南】(1)根據(jù)古典概型、互斥事件的概率公式求解；(2)先求出獨立事件的概率，再求數(shù)學期望.【規(guī)范解答】(1)①設“在1次游戲中摸出i個白球”為事件Ai(i=0,1,2,3),則P(A3)=……………………2分②設“在1次游戲中獲獎”為事件B，則B=A2∪A3，又

…………………4分且A2，A3互斥，所以…………6分(2)由題意可知X的所有可能取值為0，1，2.………………7分

………10分所以X的分布列是X的數(shù)學期望E(X)=………………12分X012P【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結，我們可以得到以下失分警示與備考建議：失分警示

在