離散型隨機(jī)變量的均值與方差 課件_第1頁(yè)
離散型隨機(jī)變量的均值與方差 課件_第2頁(yè)
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第九節(jié)離散型隨機(jī)變量的均值與 方差三年22考高考指數(shù):★★★★1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.1.離散型隨機(jī)變量的均值是高考考查的重點(diǎn);2.數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論是解決均值與方差問(wèn)題的重要思想方法;3.題型以解答題為主,常與分布列等知識(shí)綜合考查.1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)離散型隨機(jī)變量X的分布列Xx1x2…xi…xnP……p1p2pipn(2)離散型隨機(jī)變量X的均值與方差均值(數(shù)學(xué)期望)方差計(jì)算公式作用標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量取值的________刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的_____________方差的算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差平均水平平均偏離程度【即時(shí)應(yīng)用】(1)思考:隨機(jī)變量的均值、方差與樣本均值、方差的關(guān)系是怎樣的?提示:隨機(jī)變量的均值、方差是一個(gè)常數(shù).樣本的均值、方差是一個(gè)變量.隨著樣本容量的增加,樣本的均值、方差趨于隨機(jī)變量的均值、方差.(2)隨機(jī)變量X的分布列如表,則X的數(shù)學(xué)期望是______.【解析】由題知:0.2+0.5+m=1,∴m=0.3,∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:2.1X123P0.20.5m(3)有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,從中任取3件,若X表示取到次品的個(gè)數(shù),則E(X)=______.【解析】X的取值為0,1,2,3,則P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=∴E(X)=答案:(4)甲、乙兩工人在一天生產(chǎn)中出現(xiàn)廢品數(shù)分別是兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y,其分布列分別為:若甲、乙兩人的日產(chǎn)量相等,則甲、乙兩人中技術(shù)較好的是______.X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2【解析】甲、乙一天中出現(xiàn)廢品數(shù)的均值分別為E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1,E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9,所以E(X)>E(Y),故乙的技術(shù)較好.答案:乙2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX+b)=_________,(2)D(aX+b)=________.(a,b為常數(shù))aE(X)+ba2D(X)【即時(shí)應(yīng)用】(1)已知分布列為:且設(shè)Y=2X+3,則Y的均值是______.(2)有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若取到一件次品得2分,用Y表示得分?jǐn)?shù),則D(Y)=______.X-101Pa【解析】(1)由分布列性質(zhì)有+a=1,即a=E(X)=∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=(2)設(shè)X表示取到的次品數(shù),則Y=2X.由題意知取到次品的概率為∴X~B(3,),D(X)=故D(Y)=D(2X)=4D(X)=答案:(1)(2)3.兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差均值方差隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布X~B(n,p)E(X)=____D(X)=______E(X)=____D(X)=_______pp(1-p)npnp(1-p)【即時(shí)應(yīng)用】(1)設(shè)15000件產(chǎn)品中有1000件次品,有放回地從中抽取150件進(jìn)行檢查,則查得次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為_(kāi)_____.(2)設(shè)ξ是服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量,又E(ξ)=15,D(ξ)=則n的值為_(kāi)_____,p的值為_(kāi)_____.【解析】(1)設(shè)查得次品數(shù)為隨機(jī)變量ξ,由題意得ξ~B(150,),所以E(ξ)=150×=10.(2)由ξ~B(n,p),有E(ξ)=np=15,D(ξ)=np(1-p)=∴p=n=60.答案:(1)10(2)60離散型隨機(jī)變量的均值與方差【方法點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的方法(1)理解ξ的意義,寫(xiě)出ξ可能取的全部值;(2)求ξ取每個(gè)值的概率;(3)寫(xiě)出ξ的分布列;(4)由均值的定義求E(ξ);(5)由方差的定義求D(ξ).【例1】(2011?福建高考)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,……,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠(chǎng)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件;乙廠(chǎng)執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件,假定甲、乙兩廠(chǎng)的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示:且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)=6,求a,b的值;X15678P0.4ab0.1(2)為分析乙廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2,從該廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本,數(shù)據(jù)如下:353385563463475348538343447567用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望.(3)在(1)、(2)的條件下,若以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個(gè)工廠(chǎng)的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性?說(shuō)明理由.注:(1)產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”=(2)“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.【解題指南】(1)利用期望公式和E(X1)=6以及分布列中的所有概率和為1,聯(lián)立關(guān)于a,b的方程組,解方程組求得a,b的值;(2)根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù),列等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列,再利用期望公式求期望;(3)根據(jù)“性?xún)r(jià)比”公式求兩工廠(chǎng)的產(chǎn)品的性?xún)r(jià)比,“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)镋(X1)=6,所以5×0.4+6a+7b+8×0.1=6,即6a+7b=3.2,又由X1的概率分布列得0.4+a+b+0.1=1即a+b=0.5.由解得(2)由已知得,樣本的頻率分布表如下:用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下:X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8,即乙廠(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠(chǎng)的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性,理由如下:因?yàn)榧讖S(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價(jià)格為6元/件,所以其性?xún)r(jià)比為=1.因?yàn)橐覐S(chǎng)產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價(jià)格為4元/件,所以其性?xún)r(jià)比為=1.2.所以乙廠(chǎng)的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.【反思?感悟】求離散型隨機(jī)變量的均值與方差時(shí),關(guān)鍵是先求出隨機(jī)變量的分布列.求離散型隨機(jī)變量的分布列時(shí)要注意兩個(gè)問(wèn)題:一是求出隨機(jī)變量所有可能的值;二是求出取每一個(gè)值時(shí)的概率.求概率時(shí),要注意概率類(lèi)型的確定與轉(zhuǎn)化,如古典概型、互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率等.【變式訓(xùn)練】在一次電視節(jié)目的搶答中,題型為判斷題,只有“對(duì)”和“錯(cuò)”兩種結(jié)果,其中某明星判斷正確的概率為p,判斷錯(cuò)誤的概率為q,若判斷正確則加1分,判斷錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該明星答完n題后總得分為Sn”.(1)當(dāng)p=q=時(shí),記ξ=|S3|,求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望及方差;(2)當(dāng)p=q=時(shí),求S8=2且Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.【解析】(1)∵ξ=|S3|的取值為1,3,又p=q=故P(ξ=1)=P(ξ=3)=所以ξ的分布列為:且E(ξ)=D(ξ)=ξ13P(2)當(dāng)S8=2時(shí),即答完8題后,回答正確的題數(shù)為5題,回答錯(cuò)誤的題數(shù)是3題,又已知Si≥0(i=1,2,3,4),若第一題和第二題回答正確,則其余6題可任意答對(duì)3題;若第一題和第三題回答正確,第二題回答錯(cuò)誤,則后5題可任意答對(duì)3題.此時(shí)的概率為P=(或).【變式備選】如圖,一個(gè)小球從M處投入,通過(guò)管道自上而下落入A或B或C.已知小球從每個(gè)叉口落入左右兩個(gè)管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式進(jìn)行促銷(xiāo)活動(dòng),若投入的小球落到A,B,C,則分別設(shè)為1,2,3等獎(jiǎng).(1)已知獲得1,2,3等獎(jiǎng)的折扣率分別為50%,70%,90%.記隨機(jī)變量ξ為獲得k(k=1,2,3)等獎(jiǎng)的折扣率,求隨機(jī)變量ξ的分布列及期望E(ξ);(2)若有3人次(投入1球?yàn)?人次)參加促銷(xiāo)活動(dòng),記隨機(jī)變量η為獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的人次,求P(η=2).【解析】(1)由題意得ξ的分布列為則E(ξ)=ξ50%70%90%P(2)由(1)可知,獲得1等獎(jiǎng)或2等獎(jiǎng)的概率為由題意得η~B(3,),則P(η=2)=與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差【方法點(diǎn)睛】與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差的求法(1)求隨機(jī)變量ξ的期望與方差時(shí),可首先分析ξ是否服從二項(xiàng)分布,如果服從ξ~B(n,p),則用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,可大大減少計(jì)算量.(2)有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線(xiàn)性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以綜合應(yīng)用E(aξ+b)=aE(ξ)+b以及E(ξ)=np求出E(aξ+b),同樣還可求出D(aξ+b).【提醒】E(aξ+b)=aE(ξ)+b,但注意D(aξ+b)≠aD(ξ)+b,D(aξ+b)≠aD(ξ).【例2】(1)某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽,需回答4個(gè)問(wèn)題,每一道題能否正確回答是相互獨(dú)立的,且回答正確的概率是若回答錯(cuò)誤的題數(shù)為ξ,則E(ξ)=______,D(ξ)=______.(2)罐中有6個(gè)紅球,4個(gè)白球,從中任取1球,記住顏色后再放回,連續(xù)取4次,設(shè)ξ為取得紅球的次數(shù),則E(ξ)=______.【解題指南】?jī)深}中的ξ都服從二項(xiàng)分布,故可直接套用公式求解.【規(guī)范解答】(1)∵回答正確的概率是∴回答錯(cuò)誤的概率是故ξ~B(4,),∴E(ξ)=4×=1,D(ξ)=(2)因?yàn)槭怯蟹呕氐拿颍悦看蚊?試驗(yàn))摸得紅球(成功)的概率為連續(xù)摸4次(做4次試驗(yàn)),ξ為取得紅球(成功)的次數(shù),則ξ~B(4,),所以E(ξ)=答案:(1)1(2)【互動(dòng)探究】在本例(1)中,若競(jìng)賽規(guī)定:答對(duì)1題得10分,否則扣1分,其他條件不變,求該同學(xué)得分η的期望與方差.【解析】由題意知:η=10(4-ξ)-ξ=40-11ξ,故由均值與方差的性質(zhì)得E(η)=E(40-11ξ)=40-11E(ξ)=40-11×1=29,D(η)=D(40-11ξ)=112D(ξ)=【反思?感悟】ξ是隨機(jī)變量,則η=f(ξ)一般也是隨機(jī)變量,在求η的均值和方差時(shí),熟練應(yīng)用均值和方差的性質(zhì),可以避免再求η的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算.【變式備選】甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)一起參加某高校組織的自主招生考試,考試分筆試和面試兩部分,筆試和面試均合格者將成為該高校的預(yù)錄取生(可在高考中加分錄取),兩次考試過(guò)程相互獨(dú)立.根據(jù)甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)的平時(shí)成績(jī)分析,甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)能通過(guò)筆試的概率分別是0.6,0.5,0.4,能通過(guò)面試的概率分別是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)中恰有一人通過(guò)筆試的概率;(2)設(shè)經(jīng)過(guò)兩次考試后,能被該高校預(yù)錄取的人數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ).【解析】(1)分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)筆試合格為事件A1、A2、A3;E表示事件“恰有一人通過(guò)筆試”,則P(E)==0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6+0.4×0.5×0.4=0.38.(2)方法一:因?yàn)榧?、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過(guò)兩次考試后合格的概率均為p=0.3,所以ξ~B(3,0.3),故E(ξ)=np=3×0.3=0.9.方法二:分別記甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)經(jīng)過(guò)兩次考試后合格為事件A,B,C,則P(A)=P(B)=P(C)=0.3所以P(ξ=0)=(1-0.3)3=0.343,P(ξ=1)=3×(1-0.3)2×0.3=0.441,P(ξ=2)=3×0.32×0.7=0.189,P(ξ=3)=0.33=0.027.于是,E(ξ)=0×0.343+1×0.441+2×0.189+3×0.027=0.9.均值與方差的實(shí)際應(yīng)用【方法點(diǎn)睛】均值與方差的實(shí)際應(yīng)用(1)D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度,D(X)越大表明平均偏離程度越大,說(shuō)明X的取值越分散;反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近,統(tǒng)計(jì)中常用來(lái)描述X的分散程度.(2)隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度,它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量,是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù),一般先比較均值,若均值相同,再用方差來(lái)決定.【例3】(2012?深圳模擬)甲有一個(gè)裝有x個(gè)紅球、y個(gè)黑球的箱子,乙有一個(gè)裝有a個(gè)紅球、b個(gè)黑球的箱子,兩人各自從自己的箱子里任取一球,并約定:所取兩球同色時(shí)甲勝,異色時(shí)乙勝(a,b,x,y∈N*).(1)當(dāng)x=y=3,a=3,b=2時(shí),求甲獲勝的概率;(2)當(dāng)x+y=6,a=b=3時(shí),規(guī)定:甲取紅球獲勝得3分;取黑球獲勝得1分;甲負(fù)得0分,求甲的得分期望達(dá)到最大時(shí)的x,y值;(3)當(dāng)x=a,y=b時(shí),這個(gè)游戲規(guī)則公平嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】(1)甲勝即兩人同時(shí)取到紅球或同時(shí)取到黑球.(2)明確隨機(jī)變量的取值為0,1,3,并求出各自的概率.(3)是否公平看兩人獲勝的概率是否相等.【規(guī)范解答】(1)由題意,甲、乙都取到紅球的概率甲、乙都取黑球的概率∴甲獲勝的概率(2)令ξ表示甲的分?jǐn)?shù),則ξ的取值為0,1,3,P(ξ=1)=P(ξ=0)=1-P(ξ=1)-P(ξ=3)=得ξ的分布列如下:于是E(ξ)=又x,y∈N*且x+y=6,∴1≤x≤5,且E(ξ)=故當(dāng)x=5,y=1時(shí),E(ξ)的最大值為ξ013P(3)由題意,兩人各自從自己的箱子里任取一球比顏色共有種不同情形,每種情形都是等可能的,記甲獲勝為事件A,乙獲勝為事件B,則當(dāng)x=y時(shí),P(A)=P(B),甲、乙獲勝的概率相等,這個(gè)游戲規(guī)則是公平的;當(dāng)x≠y時(shí),P(A)>P(B),甲獲勝的概率大于乙獲勝的概率,這個(gè)游戲規(guī)則不公平,有利于甲.【反思?感悟】解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件,求得該事件發(fā)生的概率.對(duì)于實(shí)際問(wèn)題要通過(guò)分析題意抽象出具體的數(shù)學(xué)模型來(lái)求解.【變式訓(xùn)練】某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出,有一萬(wàn)人參加,每人一張門(mén)票,每張100元.在演出過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng).第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬(wàn)張票根中隨機(jī)抽取10張,其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品,并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng).第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕,電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)x,y(x,y∈{1,2,3}),隨即按如圖所示程序框圖運(yùn)行相應(yīng)程序.若電腦顯示“中獎(jiǎng)”,則抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金;若電腦顯示“謝謝”,則不中獎(jiǎng).(1)已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中,求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率;(2)若小葉參加了此次活動(dòng),求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望;(3)若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外,不計(jì)其他支出,該機(jī)構(gòu)想獲得96萬(wàn)元的慈善款.問(wèn)該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)?【解析】(1)從1,2,3三個(gè)數(shù)字中有重復(fù)地取2個(gè)數(shù)字,其基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)共9個(gè),設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件A,且事件A所包含的基本事件有(3,1),(3,3)共2個(gè),∴P(A)=(2)設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為ξ,ξ的可能取值為-100,900,9900.P(ξ=-100)=P(ξ=900)=P(ξ=9900)=∴ξ的分布列為∴E(ξ)=ξ-1009009900P(3)由(2)可知,購(gòu)票者每人收益期望為-97.∵有一萬(wàn)人購(gòu)票,除獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)品外,不計(jì)其他支出,∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為97×10000=970000元=97萬(wàn)元,∵97>96,∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo).【滿(mǎn)分指導(dǎo)】離散型隨機(jī)變量均值解答題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011?天津高考)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱)(1)求在1次游戲中,①摸出3個(gè)白球的概率;②獲獎(jiǎng)的概率;(2)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).【解題指南】(1)根據(jù)古典概型、互斥事件的概率公式求解;(2)先求出獨(dú)立事件的概率,再求數(shù)學(xué)期望.【規(guī)范解答】(1)①設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai(i=0,1,2,3),則P(A3)=……………………2分②設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則B=A2∪A3,又

…………………4分且A2,A3互斥,所以…………6分(2)由題意可知X的所有可能取值為0,1,2.………………7分

………10分所以X的分布列是X的數(shù)學(xué)期望E(X)=………………12分X012P【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié),我們可以得到以下失分警示與備考建議:失分警示

溫馨提示

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