正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像與性質(zhì)

..6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)〔1函數(shù)的概念在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量、,若對(duì)于在某個(gè)實(shí)數(shù)集合內(nèi)的每一個(gè)確定的值,按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則,都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng),則就是的函數(shù),記作,。〔2三角函數(shù)線設(shè)任意角的頂點(diǎn)在原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓相交于點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為；過點(diǎn)作單位圓的切線,設(shè)它與角的終邊〔當(dāng)在第一、四象限角時(shí)或其反向延長(zhǎng)線〔當(dāng)為第二、三象限角時(shí)相交于.規(guī)定：當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值；當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值；當(dāng)與軸同向時(shí)為正值,當(dāng)與軸反向時(shí)為負(fù)值；根據(jù)上面規(guī)定,則,由正弦、余弦、正切三角比的定義有：；；；這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段叫做角的正弦線、余弦線、正切線。二、講授新課[問題驅(qū)動(dòng)1]——結(jié)合我們剛學(xué)過的三角比,就以正弦<或余弦>為例,對(duì)于每一個(gè)給定的角和它的正弦值<或余弦值>之間是否也存在一種函數(shù)關(guān)系？若存在,請(qǐng)對(duì)這種函數(shù)關(guān)系下一個(gè)定義；若不存在,請(qǐng)說明理由．1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義〔1正弦函數(shù)：；〔2余弦函數(shù)：[問題驅(qū)動(dòng)2]——如何作出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的函數(shù)圖象？2、正弦函數(shù)的圖像〔1的圖像[方案1]——幾何描點(diǎn)法步驟1：等分、作正弦線——將單位圓等分,作三角函數(shù)線〔正弦線得三角函數(shù)值；步驟2：描點(diǎn)——平移定點(diǎn),即描點(diǎn)；步驟3：連線——用光滑的曲線順次連結(jié)各個(gè)點(diǎn)小結(jié)：幾何描點(diǎn)法作圖精確,但過程比較繁。[方案2]——五點(diǎn)法步驟1：列表——列出對(duì)圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo)；步驟2：描點(diǎn)——定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；步驟3：連線——用光滑的曲線順次連結(jié)五個(gè)點(diǎn)小結(jié)：的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是、、、、。〔2的圖像由,所以函數(shù)在區(qū)間上的圖像與在區(qū)間上的圖像形狀一樣,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)的圖像向左、右平行移動(dòng)<每次平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度>,就可以得到正弦函數(shù)的圖像。3、余弦函數(shù)的圖像〔1的圖像〔2的圖像圖像平移法由,可知只須將的圖像向左平移即可。三、例題舉隅例、作出函數(shù)的大致圖像；[設(shè)計(jì)意圖]——考察利用"五點(diǎn)法"作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像[解]①列表②描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中,描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：、、、、③連線練習(xí)、作出函數(shù)的大致圖像二、性質(zhì)1．定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或<－∞,＋∞>］,分別記作：y＝sinx,x∈Ry＝cosx,x∈R2．值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度,所以｜sinx｜≤1,｜c(diǎn)osx｜≤1,即－1≤sinx≤1,－1≤cosx≤1也就是說,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1,1］其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ,k∈Z時(shí),取得最小值－1而余弦函數(shù)y＝cosx,x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1②當(dāng)且僅當(dāng)x＝<2k＋1>π,k∈Z時(shí),取得最小值－13．周期性由sin<x＋2kπ>＝sinx,cos<x＋2kπ>＝cosx<k∈Z>知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的。一般地,對(duì)于函數(shù)f<x>,如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有f<x＋T>＝f<x>,那么函數(shù)f<x>就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。由此可知,2π,4π,……,－2π,－4π,……2kπ<k∈Z且k≠0>都是這兩個(gè)函數(shù)的周期對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f<x>,如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f<x>的最小正周期。4．奇偶性由sin<－x>＝－sinx,cos<－x>＝cosx可知：y＝sinx為奇函數(shù),y＝cosx為偶函數(shù)∴正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱5．單調(diào)性結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是增函數(shù),其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上都是減函數(shù),其值從1減小到－1。余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上都是增函數(shù),其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上都是減函數(shù),其值從1減小到－1y=sinxy=cosx圖象定義域RR值域[-1,1][-1,1]最值當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ,k∈Z時(shí),取得最小值－1當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ,k∈Z時(shí),取得最大值1當(dāng)且僅當(dāng)x＝<2k＋1>π,k∈Z時(shí),取得最小值－1周期性2p2p奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在閉區(qū)間［－＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上單調(diào)遞增,；在閉區(qū)間［＋2kπ,＋2kπ］<k∈Z>上單調(diào)遞減在閉區(qū)間［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>上單調(diào)遞增；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>上單調(diào)遞減典型例題〔3個(gè),基礎(chǔ)的或中等難度例1：求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么?！?y＝cosx＋1,x∈R；〔2y＝sin2x,x∈R解：〔1使函數(shù)y＝cosx＋1,x∈R取得最大值的x的集合,就是使函數(shù)y＝cosx,x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ,k∈Z｝?！嗪瘮?shù)y＝cosx＋1,x∈R的最大值是1＋1＝2?！?令Z＝2x,那么x∈R必須并且只需Z∈R,且使函數(shù)y＝sinZ,Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ,k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ,得x＝＋kπ即使函數(shù)y＝sin2x,x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ,k∈Z｝∴函數(shù)y＝sin2x,x∈R的最大值是1。例2：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間〔1y＝－cosx〔2y=sin<4x->〔3y=3sin<-2x>解：〔1由y＝－cosx的圖象可知：?jiǎn)握{(diào)增區(qū)間為［2kπ,<2k＋1>π］<k∈Z>單調(diào)減區(qū)間為［<2k－1>π,2kπ］<k∈Z>〔2當(dāng)2kπ-≤4x-≤2kπ+,∴函數(shù)的遞增區(qū)間是[-,+]<k∈Z>當(dāng)2kπ+≤4x-≤2kπ+∴函數(shù)的遞減區(qū)間是[+,+]<k∈Z>〔3當(dāng)2kπ-≤-2x≤2kπ+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-,kπ+]<k∈Z>當(dāng)2kπ+≤-2x≤2kπ+時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+,kπ+]<k∈Z>例3：求下列三角函數(shù)的周期：<1>y=sin<x+><2>y=cos2x<3>y=3sin<+>解：<1>令z=x+而sin<2+z>=sinz即：f<2+z>=f<z>f[<x+2>+]=f<x+>∴周期T=2.<2>令z=2x∴f<x>=cos2x=cosz=cos<z+2>=cos<2x+2>=cos[2<x+>]即：f<x+>=f<x>∴周期T=。<3>令z=+則f<x>=3sinz=3sin<z+2p>=3sin<++2>=3sin<>=f<x+4>∴周期T=4。注：y＝Asin<ωx＋φ>的周期T=?！菜恼n堂練習(xí)〔2個(gè),基礎(chǔ)的或中等難度1、求使下列函數(shù)y=3-cos取得最大值的自變量x的集合,并說出最大值是什么。解：當(dāng)cos=-1,即=2kp+p,k∈Z,∴{x|x=4kp+2p,k∈Z},y=3-cos取得最大值。2、求y=的周期。解：∵y==<1-cos2x>=-cos2x,∴T=p。3、求函數(shù)y=3cos<2x+>的單調(diào)區(qū)間。解：當(dāng)2kπ≤2x+≤2kπ+p時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ-,kπ+]<k∈Z>當(dāng)2kπ-p≤2x+≤2kπ時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-,kπ-]<k∈Z>〔五拓展探究〔2個(gè)1、求下列函數(shù)的周期：〔1y=sin<2x+>+2cos<3x->〔2y=|sinx|〔3y=2sinxcosx+2cos2x-1解：〔1y1=sin<2x+>最小正周期T1=y2=2cos<3x->最小正周期T2=∴T為T1,T2的最小公倍數(shù)2∴T=2〔2T=〔3y=sin2x+cos2x=2sin<2x+>∴T=2、求下列函數(shù)的最值：〔1y=sin<3x+>-1〔2y=sin2x-4sinx+5〔3y=解：〔1當(dāng)3x+=2k+即x=<kZ>時(shí),ymax=0當(dāng)3x+=2k-即x=<kZ>時(shí),ymin=-2〔2y=<sinx-2>2+1∴當(dāng)x=2k-kZ時(shí),ymax=10當(dāng)x=2k-kZ時(shí),ymin=2〔3y=-1+當(dāng)x=2k+kZ時(shí),ymax=2當(dāng)x=2kkZ時(shí),ymin=作業(yè)一、填空題1、函數(shù)y=cos<x->的奇偶性是_________________。2、函數(shù)y=-5sinx+1的最大值是__________,此時(shí)相應(yīng)的x的值是________________。3、函數(shù)y=sinxcosx的最小正周期是_________。4、函數(shù)y=sinxcos<x+>+cosxsin<x+>的最小正周期是________。5、函數(shù)y=3cos<2x+>的單調(diào)遞減區(qū)間是___________________。6、函數(shù)y=sinx和y=cosx都為減函數(shù)的區(qū)間是___________________。7、函數(shù)y=sin<-2x>的單調(diào)遞增區(qū)間是________________________。8、已知函數(shù)y=f<x>是以為周期,且最大值為3,最小值為-1,則這個(gè)函數(shù)的解讀式可以是________________。二、選擇題1、函數(shù)y=sinx,x∈[,]的值域是〔〔A[-1,1]〔B[,1]〔C[,]〔D[,1]2、下列函數(shù)中,周期是的函數(shù)是〔〔Ay=sinpx〔By=cos2x〔Cy=sin〔Dy=sin4kπ3、下列函數(shù)是奇函數(shù)的是〔〔Ay=sin|x|〔By=xsin|x|〔Cy=-|sinx|〔Dy=sin<-|x|>4*、函數(shù)y=sin<2x+>+cos<2x+>的最小正周期和最大值分別為〔〔Ap,1〔Bp,〔C2p,1〔D2p,三、解答題1、已知函數(shù)y=acosx-2b的最小值為-2,最大值為4,求a和b的值。2、求函數(shù)y=2+5cosx-1的值域。3、判斷下列函數(shù)的奇偶性：〔1y=cos<2x->；〔2y=xsinx+cos3x4、求函數(shù)y=-sinxcosx的單調(diào)區(qū)間。一、填空題1、奇函數(shù)；2、6,{x|x=2kπ-,k∈Z}；3、p；4、π；5、[kπ-,kπ+]<k∈Z>；6、[2kπ+,2kπ+p]<k∈Z>7、[kπ+,kπ+]<k∈Z>；8、y=2sin6x+1〔答案不唯一二、1、B；2、D；3、B；4