MATHEMATICA線性代數(shù)實驗相關(guān)語句

第二篇Mathematica軟件線性代數(shù)實驗第1章矩陣與向量實驗?zāi)康氖煜ぞ仃嚺c向量的概念，理解向量的線性運算、數(shù)量積運算。理解矩陣的基本運算、矩陣與向量的運算及行列式運算。熟悉Mathematia數(shù)學(xué)軟件做向量運算、矩陣基本運算和計算行列式的命令。實驗準備數(shù)學(xué)概念1．矩陣2．向量3．向量的線性運算4．向量的數(shù)量積運5．線性運算6．矩陣的基本運算7．轉(zhuǎn)置矩陣8．逆矩陣9．單位矩陣10． 對角矩陣11． 行列式12． Cramer法則數(shù)學(xué)軟件命令a={a1,a2,?,an}功能：定義一個一維向量{al,a2,…，an},這里al,a2,…，an是數(shù)或字母。a=Table[f[j]，{j,n}]功能：定義一個分量可以用f[j]計算的一維向量{f[l],f[2],…，f[2]}。a={{all,al2,.?,aln},{a21,a22,-?,a2n},?,{am1,am2,.…，amn}}a=Table[f[i,j]，｛i，m｝，｛j，n｝]功能：定義一個分量可以用f[i,j]計算的mxn矩陣，其中f是關(guān)于i和j的函數(shù)，給出矩陣在第i行第j列的元素值。MatrixForm[a]功能：把a按通常的矩陣或向量形式輸出，這里a是Mathematica中的矩陣或向量。DiagonalMatrix[list]功能:使用列表中l(wèi)ist的元素生成一個對角矩陣.IdentityMatrix[n]功能:生成n階單位陣A+B功能：求A與B的和，這里A與B都是矩陣或都是向量。A-B功能：求A與B的差。這里A與B都是矩陣或都是向量。k*A功能：求常數(shù)k與A的數(shù)乘，這里A是矩陣或向量。A.B功能：求矩陣A與矩陣B的乘積，注意A與B之間的乘號"?"使用鍵盤上的小數(shù)點。a.b功能：求向量A與向量B的內(nèi)積，注意a與b之間的乘號"?"使用鍵盤上的小數(shù)點。A.b或b.A功能：求矩陣A與向量B的乘積，注意A與b之間的乘號"?"使用鍵盤上的小數(shù)點。Transpose[A]功能：求矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣Inverse[A]功能：求矩陣A的逆矩陣MatrixPower[A，n]功能:計算方陣A的n次冪。Det[A]功能:求方陣A的行列式18.a［［i,j］］18.a［［i,j］］功能：取矩陣功能：取矩陣a的位于第i行，第j列的元素.19.a［［i］］19.a［［i］］功能：取矩陣功能：取矩陣a的第i行的所有元素或取向量a的第i個分量.20.Transpose［a］［［j20.Transpose［a］［［j］］功能：取矩陣a的第j列的所有元素.功能：取矩陣a的第j列的所有元素.實驗任務(wù)1.3.1基礎(chǔ)實驗本實驗熟悉數(shù)學(xué)軟件命令操作。1.輸入如下矩陣1)的o矩陣皿2)6維隨機向量v4)對角矩陣s=3)4階單位矩陣io2.已知矩陣5)，向量v={l,4,7}，向量u={-l,5,2}求1)A+B2)求A-B的值3)5A1)的o矩陣皿2)6維隨機向量v4)對角矩陣s=3)4階單位矩陣io2.已知矩陣5)，向量v={l,4,7}，向量u={-l,5,2}求1)A+B2)求A-B的值3)5A4)AB5)u+2v6)u與v的點積7)Av8)vTA9)A的轉(zhuǎn)置AT10)A-13.設(shè)矩陣a=|B|11)，求把矩陣a在第3行第4列的元素-1改為62） 把矩陣a的第2行元素改為{2，-1，3，8}3） 把矩陣a的第4列元素改為{2,-1,3,8}4） 用矩陣a的第1行元素乘-2加到第2行上工]+4工2一7叼+ =0尤]-3x2-6x4=92x-n—Xo+2xa=—5用Cramer法則求解方程組'1.3.2探索實驗本實驗探索矩陣與行列式性質(zhì)。用Mathematia命令檢驗行列式的兩行或兩列對換后,行列式值改變符號。（提示：用隨機定義的一個4x4階行列式A來進行檢驗）。用Mathematia命令檢驗：|AB|=|A||B|,這里A和B都是方陣。（提示：用若干隨機定義的一個4x4階矩陣來進行檢驗）。設(shè)計一組Mathematia命令來實驗“初等變換矩陣與矩陣A左乘產(chǎn)生矩陣A的行初等變換；初等變換矩陣與矩陣A右乘產(chǎn)生矩陣A的列初等變換”的結(jié)論。（僅就3x3的矩陣來實驗即可）。1.3.3應(yīng)用實驗本實驗研究動物繁殖問題。某農(nóng)場飼養(yǎng)的動物所能達到的最大年齡為15歲,將其分為三個年齡組：第一組,0——5歲；第二組6——10歲；第三組成11——15歲。動物從第二年齡組起開始繁殖后代,經(jīng)過長期統(tǒng)計,第二年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代,第三組在其年齡段平均繁殖3個后代,第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別是1/2和1/4。假設(shè)農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各1000頭,問15年后農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)及農(nóng)場三個年齡段的動物各將達到多少頭？指出15年間,動物總增長多少頭及總增長率。實驗過程1.1)In[1]:=m=Table[0,{3}，{5}]Out[1]={{0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0}, {0,0,0,0,0}}Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 02)In[3]:=v=Table[Random[],{6}]Out[3]={0.117907,0.331022,0.845968,0.116702,0.431217,0.651793}3)In[4]:=i=IdentityMatrix[4]Out[4]={{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}In[5]:=MatrixForm[i]Out[5]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 14)In[6]:=s=DiagonalMatrix[{a，b，c，d}]Out[6]={{a，0，0，0}，{0，b，0，0}，{0，0，c，0}，{0，0，0，d}}In[7]:=MatrixForm[s]Out[7]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\za 0 0 00 b 0 00 0 c 00 0 0 dIn[8]:=c=Table[Sin[i+j]，{i，5}，{j，3}];In[9]:=MatrixForm[c]Out[9]//MatrixForm=Sin[2]Sin[3]Sin[4]Sin[3]Sin[4]Sin[5]Sin[4]Sin[5]Sin[6]Sin[5]Sin[6]Sin[7]Sin[6]Sin[7]Sin[8]2.In[1]:=a={{3,1,1},{2,1,2},{1,2,8}};b={{1,1,-1},{2,-1,0},{1,0,1}};v={1,4,7};u={-1,5,2};In[2]:=a+bOut[2]={{4,2,0},{4,0,2},{2,2,9}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=42040229In[4]:=a-bOut[4]={{2,0,2},{0,2,2},{0,2,7}}In[5]:=5aOut[5]={{15,5,5},{10,5,10},{5,10,40}}In[6]:=a.bOut[6]={{6,2,-2},{6,1,0},{13,-1,7}}In[7]:=MatrixForm[%]Out[7]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z2 -21 013 -1 7Out[8]={1,13,16}6)In[9]:=u.vOut[9]=337)In[10]:=a.vOut[10]={14,20,65}8)In[11]:=v.aOut[11]={18,19,65}9)In[12]:=Transpose[a]Out[12]={{3,2,1},{1,1,2},{1,2,8}}In[13]:=MatrixForm[%]Out[13]//MatrixForm=211212810)In[14]:=Inverse[a]Out[14]={{4,-6,1},{-14,23,-4},{3,-5,1}}In[15]:=MatrixForm[%]Out[15]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-6 1-14 23 -43 -5 111)In[16]:=Det[b]Out[16]=-43.In[1]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}Out[1]={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}In[2]:=a[[3,4]]=6;aOut[2]={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,6},{1,0,-2,-6}}In[3]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};a[[2]]={2,-1,3,8};aOut[3]={{1,2,3,4},{2,-1,3,8},{1,1,1,6},{1,0,-2,-6}}In[4]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};b=Transpose[a]Out[4]={{1,2,1,1},{2,-1,1,0},{3,3,1,-2},{4,8,6,-6}}In[5]:=b[[4]]={2,-1,3,8};a=Transpose[b]Out[5]={{1,2,3,2},{2,-1,3,-1},{1,1,1,3},{1,0,-2,8}}In[4]:=a={{1,2,3,4},{2,3,1,2},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}};a[[2]]=a[[2]]-2a[[1]];aOut[4]={{1,2,3,4},{0,-1,-5,-6},{1,1,1,-1},{1,0,-2,-6}}4.In[1]:=a={{2,1,-5,1},{1,4,-7,6},{1,-3,0,-6},{0,2,-1,2}};b={8,0,9,-5};MatrixForm[a]Out[1]//MatrixForm=_2 1 -5 1_14-761-30-6_02-12_In[2]:=dd=Det[a]Out[2]=27In[3]:=d=Transpose[a];d1=d;d2=d;d3=d;d4=d;d2[[2]]=b;*d2[[k]]=b表示把矩陣第k行改為向量b*)d2[[2]]=b;d3[[3]]=b;d4[[4]]=b;In[4]:=d1=Det[d1];d2=Det[d2];d3=Det[d3];d4=Det[d4];In[5]:=x1=d1/dd;x2=d2/dd;x3=d3/dd;x4=d4/dd;In[6]:={x1,x2,x3,x4}Out[6]={3,-4,-1,1}因此所求的解為x1=3,x2=-4,x3=T,x4=15.In[1]:=a=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[1]={{8,3,10,4},{3,4,5,6},{3,7,8,10},{2,4,4,7}}In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z4 6 0 810 5 0 55 10 70 5 8 3In[3]:=Det[a]Out[3]=37In[4]:={a[[1]],a[[3]]}={a[[3]],a[[1]]};a （*第一行與第三行對換*）Out[4]={{7,5,10,7},{10,5,0,5},{4,6,0,8},{0,5,8,3}}Out[5]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z5 10 710 5 0 54 6 0 80 5 8 3In[6]:=Det[a]Out[6]=-376.In[1]:=a=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[1]={{4,9,3,0},{7,4,9,6},{3,3,10,3},{2,7,0,10}}In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z4 9 3 07 4 9 63 3 10 37 0 10In[3]:=b=Table[Random[Integer,{0,10}],{4},{4}]Out[3]={{1,0,4,5},{3,5,5,1},{6,2,8,4},{8,8,5,3}}In[4]:=MatrixForm[b]Out[4]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z1 0 4 55 5 16 2 8 48 5 3In[5]:=Det[a.b]Out[5]=13650240

Out[6]=Out[6]=136502407.In[1]:=d=Table[c[i,j],{i,3},{j,3}] （*設(shè)置一個一般的3階矩陣*）Out[1]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{c[3,1],c[3,2],c[3,3]}}In[2]:=MatrixForm[d]Out[2]//MatrixForm=c[1,1]c[2,c[1,1]c[2,1]c[3,1]c[1,2]c[2,2]c[3,2]c[1,3]c[2,3]c[3,3]In[3]:=e=IdentityMatrix[3];e[[2,2]]=8;eOut[3]={{1,0,0},{0,8,0},{0,0,1}}In[4]:=MatrixForm[e]Out[4]//MatrixForm=100080001In[5]:=e.dOut[5]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{8c[2,1],8c[2,2],8c[2,3]},{c[3,1],c[3,,c[3,3]}}In[6]:=MatrixForm[%]Out[6]//MatrixForm=c[1,1] c[1,2] c[1,3]c[2,1]8c[2,2]8c[2,3]c[3,1]c[3,2]c[3,3]In[7]:=d.eOut[7]={{c[1,1],8c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],8c[2,2],c[2,3]},{c[3,1],8c[3,2],c[3,}}Out[8]//MatrixForm=c[1,1]8c[1,2]c[1,3]c[2,1] 8c[2,2] c[2,3]c[3,1] 8c[3,2] c[3,3]In[9]:=e=IdentityMatrix[3];In[10]:={a[[1]],a[[2]]}={a[[2]],a[[1]]};a（*第一行與第二行對換*）Out[10]={{0,1,0},{1,0,0},{0,0,1}}In[11]:=MatrixForm[a]Out[11]//MatrixForm=010100001In[12]:=e.dOut[12]={{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[3,1],c[3,2],c[3,3]}}In[13]:=MatrixForm[%]Out[13]//MatrixForm=c[2,1]c[2,2]c[2,3]c[1,1]c[1,2]c[1,3]c[3,1]c[3,2]c[3,3]In[14]:=d.eOut[14]={{c[1,2],c[1,1],c[1,3]},{c[2,2],c[2,1],c[2,3]},{c[3,2],c[3,1],c[3,3]}}In[15]:=MatrixForm[%]Out[15]//MatrixForm=c[1,2]c[1,1]c[1,3]c[2,2]c[2,1]c[2,3]c[3,2]c[3,1]c[3,3]In[16]:=e=IdentityMatrix[3];In[17]:=e[[3,1]]=2;eOut[17]={{1,0,0},{0,1,0},{2,0,1}}In[18]:=MatrixForm[e]Out[18]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z1 0 00 1 02 0 1In[19]:=e.dOut[19]={{c[1,1],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1],c[2,2],c[2,3]},{2c[1,1]+c[3,1],2c[1,2]+c[3,2],2c[1,3]+c[3,3]}}In[20]:=MatrixForm[%]Out[20]//MatrixForm=c[1,1]c[1,2]c[1,3]c[2,1]c[2,2]c[2,3]2c[1,1]+c[3,1]2c[1,2]+c[3,2] 2c[1,3]+c[3,3]In[21]:=d.eOut[21]={{c[1,1]+2c[1,3],c[1,2],c[1,3]},{c[2,1]+2c[2,3],c[2,2],c[2,3]},{c[3,1]+2c[3,3],c[3,2],c[3,3]}}In[22]:=MatrixForm[%]Out[22]//MatrixForm=c[1,1]+2c[1,3]c[1,2] c[1,3]c[2,1]+2c[2,3]c[2,2] c[2,3]c[3,1]+2c[3,3]c[3,2]c[3,3]8．1）問題分析年齡組為5歲一段，故將時間周期也取5年。15年經(jīng)過3個周期。用k=1,2,3分別表示第一、二三個周期，xi（k）表示第i個年齡組在第k個周期的數(shù)量。由題意，有如下矩陣遞推關(guān)系：就￡)=L懿一V}?k=1,2,3fCl4何〔硏L=1/200兀(Q10001/4舊(Q丿JCl嗎2)實驗操作In[1]:=L={{0，4，3},{1/2，0，0}，{0，1/4，0}};x0={1000，1000，1000};In[2]:=Do[x0=L.x0;Print[x0],{3}]Out[2]={7000，500，250}{2750，3500，125}{14375，1375，875}In[3]:=t=x0.{1,1,1}Out[3]=16625In[4]:=x0/t//NOut[4]={0.864662,0.0827068,0.0526316}結(jié)果分析：15年后，農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)將達到16625頭，其中0——5歲的有14375頭，占總數(shù)的86.47%，6——10歲的有1375頭，占8.27%，11——15歲的有875頭，占5.226%，15年間，動物總增長13625頭，總增長率為13625/3000=454.16%。思考與提高怎樣計算兩個向量外積和三個向量的混合積？怎樣判斷向量組是否線性相關(guān)？用如下三個向量組成的向量組實驗：Mathematica中的向量在進行計算時是否區(qū)分行向量或列向量?4．怎樣求一個矩陣的伴隨矩陣？怎樣輸入一個非0元全為數(shù)a的200150階的下三角矩陣？怎樣輸入一個皿％n階的三對角矩陣？練習(xí)內(nèi)容計算如下行列式22Duuu++++wp0222——I..1—22Duuu++++wp0222——I..1——...——I.222239 27141664152512fi已知向量v={l,l,0,7}，向量u={2,l,5,2}1234.4=23451234.4=23453456矩陣—]234_2312111-1B=_10-2-6_求：1)A+B 1)A+B 2)求A-B的值3)5A6)u與6)u與v的點積.9)A的轉(zhuǎn)置AT7)Av 8)vTA；10)A-1用矩陣的初等行變換把矩陣TOC\o"1-5"\h\z-2 5 -11 -9 13A—3 -1 58-1化為上三角矩陣。求月0r0A=00,E=00」f=l540,2=001°°;丿7驗證Bn=典暢4這里3=06.利用克萊姆法則求解下列線性方程組6.利用克萊姆法則求解下列線性方程組我國古代有“齊王賽馬”的事例,說的是戰(zhàn)國時代齊王與其大將田忌賽馬,雙方約定各出上、中、下3個等級的馬各一匹進行比賽,這樣共賽馬3次,每次比賽的敗者付給勝者一百金.已知在同一等級馬的比賽中,齊王之馬可穩(wěn)操勝券,但田忌的上,中等級的馬分別可勝齊王中,下等級的馬，試問1）田忌是否一定會敗給齊王？2）在所有可能的比賽中，齊王取勝的比賽總共有多少次？下圖給出某城市單行街道的交通流量（每小時過車數(shù)）。x3100x6x4400

x4400300200x2x5x7x1600—300x8500200400x9x10300200x2x5x7x1600—300x8500200400第2章線性方程組與矩陣特征值問題實驗?zāi)康睦斫饩€性方程組和解的概念、理解一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)及基礎(chǔ)解系概念。理解矩陣特征值和特征向量概念和求法、理解矩陣特征值的性質(zhì)、理解方陣對角化問題。熟悉Mathematia數(shù)學(xué)軟件求解線性方程組解的命令和求矩陣特征值和特征向量的命令，能借助Mathematia數(shù)學(xué)軟件解方陣的對角化問題。實驗準備數(shù)學(xué)概念1．線性方程組2．基礎(chǔ)解系3．矩陣特征值和特征向量數(shù)學(xué)軟件命令RowReduce[A]功能：用行初等變換把A化為階梯形，A為m行，n列矩陣.LinearSolve[A,B]功能：求滿足AX=B的一個解，A為方陣.NullSpace[A]

功能：求線性方程組AX=O的基礎(chǔ)解系的向量表，A為方陣.Eigenvalues[A]功能：求矩陣A的特征值表，這里的矩陣元素最好有一個是帶有小數(shù)點的數(shù).Eigenvectors[A]功能：求矩陣A的特征向量表，這里的矩陣元素最好有一個是帶有小數(shù)點的數(shù).Eigensystem[A]功能：求A的所有特征值，特征向量組成的表，這里的矩陣元素最好有一個是帶有小數(shù)點的數(shù).2.3實驗任務(wù)基礎(chǔ)實驗本實驗熟悉數(shù)學(xué)軟件命令操作。S2 -1S2 -12-13J0 51.求矩陣A=-3-P1-3_1-砂的秩,并計算AX=0的基礎(chǔ)解系.2.設(shè)円=[2, 1, 3, -2];a2=[10? 5? 5, 11, -3}也=低 3, 1, 5, 1]衛(wèi)4=?乙-I2, 10]求向量組的秩和一個極大無關(guān)組?！?斗專_3忑4=TX]+勺—叼=—孑對+^2+^3=17xi+7碼一辺=33?求方程組匚 的通解。珂+忑3=比TOC\o"1-5"\h\z<4xi+^2+2xj=^+2+疋？+ =2^+34?確定線性方程組J 中k滿足什么條件時，方程組1）無解；2）有非零解；3）在有非零解的條件下求出其通解。5 2 P川=-1 2 1,0 4 2,已知矩陣' ',求1）矩陣A的特征值表；

2)求矩陣A的特征向量表；求A的所有特征值，特征向量組成的表.探索實驗本實驗探索矩陣函數(shù)f(A)特征值問題設(shè)函數(shù)f(x)=X2+2x+3,矩陣函數(shù)f(A)=A2+2A+3E,這里A為方陣，E為單位矩陣，驗證如果p是A的特征值。則f(p)為矩陣函數(shù)值。則f(p)為矩陣函數(shù)f(A)的特征值，這里用驗證。應(yīng)用實驗部分:分配問題有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮70克，磷8克，鉀2克；乙種化肥每千克含氮64克，磷10克，鉀0.6克；丙種化肥每千克含氮70克，磷5克，鉀1.4克．若把此三種化肥混合，要求總重量23千克且含磷149克，鉀30克，問三種化肥各需多少千克？現(xiàn)有一個木工，一個電工和一個油漆工，三人相互同意彼此裝修他們自己的房子，在裝修之前，他們達成了如下協(xié)議：(1)每人總共工作10天(包括給自己家干活在內(nèi))；(2)每人的日工資根據(jù)一般的市價60~80元之間；(3)每人的日工資數(shù)應(yīng)使得每人的總收入與總支出相等．表1是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，如何計算出他們每人應(yīng)得的工資？表1工種天數(shù)木工電工油漆工在木工家的工作天數(shù)216在電工家的工作天數(shù)451在油漆工家的工作天數(shù)4432.4實驗過程1.In[1]:=a={{3,2,-1,-3,-1},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}；In[2]:=RowReduce[a]Out[2]={{1,0,5/7,-1/7,0},{0,1,-11/7,-9/7,0},{0,0,0,0,1}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=105/7-1/7001-11/7-9/70

（*通過階梯形可以得知矩陣A的秩是3*）In[4]:=NullSpace[a]Out[4]={{1,9,0,7,0},{-5,11,7,0,0}}*得齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的兩個線性無關(guān)解*）因此，所求基礎(chǔ)解系為因此，所求基礎(chǔ)解系為2.In[1]:=b={{2,1,2,3,-2},{10,5,5,11,-3},{6,3,1,5,1},{4,2,-1,2,10}}；In[2]:=RowReduce[b]Out[2]={{1,1/2,0,7/10,0},{0,0,1,4/5,0},{0,0,0,0,1},{0,0,0,0,0}}In[3]:=MatrixForm[%]Out[3]//MatrixForm=ll/207/l0000l4/500000l00000通過階梯形可以得知向量組的秩是3，為了找出一個極大無關(guān)組，做試驗：In[4]:=b1={{2,1,2,3,-2},{10,5,5,11,-3},{4,2,-1,2,10}}；In[5]:=RowReduce[b1]Out[5]={{1,1/2,0,7/10,0},{0,0,1,4/5,0},{0,0,0,0,1}}In[6]:=MatrixForm[%]Out[6]//MatrixForm=ll/207/l0000l4/500000l通過階梯形可以得知向量組bl的秩也是3,因此向量a,a,a是一個極大無關(guān)組。124

3.In[1]:=a={{2,-1,4,-3},{1,0,1,-1},{3,1,1,0},{7,0,7,-3}}；In[2]:=b={-4,-3,1,3}；In[3]:=x1=LinearSolve[a,b]Out[3]={3,-8,0,6}Out[3]={3,-8,0,6}*方程組ax=b的一個特解x1*)In[4]:=In[4]:=NullSpace[a]Out[4]={{-1,2,1,0}}Out[4]={{-1,2,1,0}}*基礎(chǔ)解向量組只有一個解*)In[5]:=x=k*%[[1]]+x1In[5]:=x=k*%[[1]]+x1*x為ax=b的全部解*)Out[5]={3-k,-8+2k,*kOut[5]={3-k,-8+2k,*k為任意實數(shù)*)因此，所求通解為k,6}，k為任意實數(shù)。4.In[1]:=m={{1,0,1,k},{4,1,2,k+2},{6,1,4,2k+3}}; 4.In[1]:=m={{1,0,1,k},{4,1,2,k+2},{6,1,4,2k+3}}; （*m為增廣矩陣*）In[2]:=MatrixForm[m]Out[2]]//MatrixForm=In[3]:=m[[2]]=m[[2]]-4m[[1]];Out[2]]//MatrixForm=In[3]:=m[[2]]=m[[2]]-4m[[1]];m[[3]]=m[[3]]-6m[[1]];(*對m[[3]]=m[[3]]-6m[[1]];(*對m做行初等變換*)In[4]:=MatrixForm[m]Out[4]//MatrixForm=-2-3In[5]:=m[[3]]=m[[3]]-m[[2]];MatrixForm[m]Out[5]//MatrixForm=101k01-22-3k0001-k從變換后的增廣矩陣可以知道：當(dāng)kHl時，系數(shù)矩陣的秩r(A)=2，增廣矩陣的秩r(m)=3，因此無解。當(dāng)k=1時，系數(shù)矩陣的秩r(A)=2,增廣矩陣的秩r(m)=2，因此有無窮多解，下面求此解:In[6]:=a={{l，0，l}，{4，l，2}，{6，l，4}};b={l，3，5};In[7]:=xl=LinearSolve[a,b]Out[7]={l,-l,0}In[8]:=NullSpace[a]Out[8]={{-l,2,l}} (*基礎(chǔ)解向量組只有一個解*)In[9]:=x=k*%[[l]]+xlOut[l0]={l-k,-l+2k,k}(*k為任意實數(shù)*)5.In[l]:=a={{l.0,2,l},{-l,2,l},{0,4,2}};In[2]:=Eigenvalues[a]Out[2]={3.,2.,9.52566x10-17}In[3]:=Eigenvectors[a]Out[3]={{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,7.47422x10-18 ,-0.707107},{-1.71995x10-16,-0.447214,0.894427}}In[4]:=Eigensystem[a]Out[4]={{3.,2.,9.52566x10-17},{{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,7.47422x10-18 ,-0.707107},{-1.7199510-16,-0.447214,0.894427}}}因此所求特征值為3，2，0，三個線性無關(guān)的特征向量為{{0.588348,0.196116,0.784465},{-0.707107,0,-0.707107},{0,-0.447214,0.894427}}}這里可以把非常小的數(shù)看作領(lǐng)處理。6.In[1]:=a={{-1,1,0},{-4,3,0},{1,0,2.0}};In[2]:=MatrixForm[a]Out[2]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-1 1 0-4 3 01 0 2.0In[3]:=Eigenvalues[a]Out[3]={2.,1.,1.}In[4]:=f[x_]:=x"2+2x+3In[5]:=b=a.a+2.a+3IdentityMatrix[3]Out[5]={{-2.,4.,0.},{-16.,14.,0.},{3.,1.,11.}}In[6]:=MatrixForm[b]Out[6]]//MatrixForm=TOC\o"1-5"\h\z-2 4 0-16 14 03 1 11In[7]:=Eigenvalues[b]Out[7]={11.,6.,6.}In[8]:={f[2],f[1],f[1]}Out[8]={11.,6.,6.}1）問題分析設(shè)甲、乙、丙三種化肥各須込込’千克，以題意得方程組:五]十兀玄十屯—23,，8^+10^2+5^5=149,2xy+0.6^2+1.4x3=30.2）操作過程In[1]:=a={{1,1,1},{8,10,5},{2,0.6,1.4}};In[2]:=b={23,149,30}In[3]:=LinearSolve[a,b]Out[3]={3.,5.,15.}X,=3,Xn=5,x,=15所以方程的解為1 ' 3 ,故甲、乙、丙三種化肥各須3千克，5千克，15千克。8.1） 問題分析設(shè)x表示木工的日工資；x表示電工的日工資；x表示油漆工的日工資?根據(jù)協(xié)議中每人總支出與總收入123相等的原則，分別考慮木工、電工及油漆工的總收入和總支出。首先由表的在木工家工作數(shù)據(jù)，因為木工的日工資為xi，則木工的10個工作日總收入為10xi，而木工、電工及油漆工三人在木工家工作的天數(shù)分別為：2天，1天\6天,則木工的總支出為2x+x+6x??于是木工的收支平衡關(guān)系可描述為：2x+x+6x=10x?類TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 1 2 3 1似地可以得到另外兩個方程，于是我們得到如下三元一次齊次線性方程組：2x+x+6x=10x12 3 14x+5x+x=10x1 23 24x+4x+3x=10x1 2 3 3整理后，得-8x+x+6x=01 2 34x-5x+x=01 2 34x+4x-7x=0123求出如上齊次線性方程組后，在根據(jù)每人的日工資范圍即可獲得本問題的解。2） 操作過程In[1]:=a={{-8,1,6},{4,-5,1},{4,4,-7}};Out[2]={{31,32,36}}因此，方程的通解為x=k{31,32,36}={31k,32k,36k},k為任意實數(shù)，每人的日工資范圍在60至80元,于是應(yīng)該有60<x=31k〈80,60〈x=32k〈80,60〈x=36k<80同時成立，解之可得1 2 31.9355q60/31〈k〈80/36u2.222k在[1.9355,2.222]范圍時都滿足要求。例如，做如下計算：In[3]:=k{31,32,36}/.k->1.9355Out[3]={{31,32,36}}In[4]:=k{31,32,36}/.k->2.222Out[4]={68.882,71.104,79.992}In[5]:=k{31,32,36}/.k->2Out[5]={62,64,72}因此如果要求日工資的最小單位都為元，則可以選k=2,此時有木工、電工、油漆工每人每天日工資應(yīng)為x=62元x=64元12x=72元32.5思考與提高能否通過求解矩陣A的特征多項式根的方法求出矩陣A的特征值？考慮采用這種方法與直接用求特征值的數(shù)學(xué)軟件命令方法的有何區(qū)別？分別用這