《數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)生長規(guī)律的描述》設(shè)計(jì)

4.7數(shù)學(xué)建模活動(dòng)：生長規(guī)律的描述【教學(xué)目標(biāo)】1.通過解決人口增長的實(shí)際問題，初步掌握數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的過程2.借助擬合函數(shù)模型的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).【教學(xué)重點(diǎn)】利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題【教學(xué)難點(diǎn)】利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】認(rèn)知初探數(shù)學(xué)建模1．審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型．2．建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．3．解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．4．還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義．小試牛刀1．下表顯示了函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能符合的函數(shù)模型為()x－2－1012yeq\f(1,16)eq\f(1,4)1416A一次函數(shù)模型 B．二次函數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型C[表中數(shù)據(jù)體現(xiàn)爆炸式增長，符合的函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù)模型．]2．如圖給出了某種豆類生長枝數(shù)y(枝)與時(shí)間t(月)的圖像，那么此種豆類生長枝數(shù)與時(shí)間的關(guān)系用下列函數(shù)模型近似刻畫最好的是()A．y＝2t2 B．y＝log2tC．y＝t3 D．y＝2tB[因?yàn)橛蓤D像知模型增長越來越緩慢，所以只有B符合條件.]3．某種產(chǎn)品今年的產(chǎn)量是a，如果保持5%的年增長率，那么經(jīng)過x年(x∈N*)，該產(chǎn)品的產(chǎn)量y滿足()A．y＝a(1＋5%x) B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)xD.[經(jīng)過1年，y＝a(1＋5%)，經(jīng)過2年，y＝a(1＋5%)2，…，經(jīng)過x年，y＝a(1＋5%)x.]4．一個(gè)駕駛員喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小時(shí)25%的速度減少．為了保障交通安全，規(guī)定駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL，那么這個(gè)駕駛員至少要經(jīng)過________小時(shí)才能開車．(精確到1小時(shí)，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)解析：設(shè)經(jīng)過n小時(shí)后才能開車，此時(shí)酒精含量為0.3(1－0.25)n.根據(jù)題意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，即(1－0.25)n≤0.3，在不等式兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有nlgeq\f(3,4)＝n(lg3－2lg2)≤lg0.3＝lg3－1，將已知數(shù)據(jù)代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥eq\f(13,3)＝4eq\f(1,3)，故至少經(jīng)過5小時(shí)才能開車．答案：5例題講解1.發(fā)現(xiàn)問題、提出問題我國是人口大國，人口規(guī)模是城市規(guī)劃和土地利用總體規(guī)劃中一項(xiàng)重要的控制性指標(biāo)，預(yù)測(cè)人口模型的合理性，不僅影響到未來地區(qū)經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展，而且會(huì)影響到地區(qū)生態(tài)環(huán)境可持續(xù)發(fā)展．因此，建立合理的模型，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來人口的發(fā)展趨勢(shì)，制定合理的人口規(guī)劃和人口布局方案具有重大的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義．下面是我國1964～1999年人口統(tǒng)計(jì)表：年份19641969197419791984198919941999人口數(shù)/億7.048.069.089.7910.3411.0611.7612.52照這樣的增長趨勢(shì)，試估計(jì)2009年我國的人口數(shù)．2．分析問題、建立模型根據(jù)上表數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中畫出人口增長曲線圖，選一個(gè)近似于人口增長曲線的函數(shù)，寫出它的解析式．(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中找出各點(diǎn)；(2)由圖可以看出人口數(shù)不斷增加，各點(diǎn)近似在一條直線上，畫出一條與標(biāo)出的8個(gè)點(diǎn)最接近的直線，再用待定系數(shù)法求出這條直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)，寫出它的解析式．3．確定參數(shù)、計(jì)算求解設(shè)函數(shù)解析式為y＝kx＋b，經(jīng)過(1964,7.04)，(1994,11.76)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.04＝1964k＋b，,11.76＝1994k＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≈0.157，,b≈－301.308，))所以函數(shù)解析式為y1＝0.157x－301.308.經(jīng)過(1984,10.34)，(1969,8.06)得到函數(shù)解析式為y2＝0.152x－291.228.4．驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型照這樣的增長趨勢(shì)，我們來估計(jì)2009年我國的人口數(shù)．當(dāng)x＝2009時(shí)，y1＝0.157×2009－301.308＝14.105，當(dāng)x＝2009時(shí)，y2＝0.152×2009－291.228＝14.14.1982年憲法將計(jì)劃生育定為基本國策，實(shí)際到2009年我國人口總數(shù)約為13.347億．人口的變化受到眾多方面因素影響，因此對(duì)人口的預(yù)測(cè)與控制復(fù)雜，很難在一個(gè)模型中綜合考慮到各個(gè)因素的影響．看下面二次函數(shù)模型．問題重述根據(jù)某地區(qū)人口從1800年到2000年的人口數(shù)據(jù)(如下表)，建立模型估計(jì)出該地區(qū)2010年的人口，同時(shí)畫出擬合效果的圖形．該地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年份1800181018201830184018501860人口7.213.817.217.624.733.636.2年份1870188018901900191019201930人口48.658.173.389.8105.6125.9149.1年份1940195019601970198019902000人口172.2189.8230.5246.7262.1271.2280.3分析問題、建立模型從作圖可以看出，該地區(qū)人口數(shù)量y與年份x的關(guān)系可以近似看作二次函數(shù)關(guān)系．即y＝ax2＋bx＋c，利用已有數(shù)據(jù)擬合可得到參數(shù)a，b，c.例如利用(1800,7.2)，(1900,89.8)，(2000,280.3)三組數(shù)據(jù)列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7.2＝18002a＋1800b＋c，,89.8＝19002a＋1900b＋c，,280.3＝20002a＋2000b＋c，))解得a＝0.005395，b＝－19.1355，c＝16971.3，即y＝0.005395x2－19.1355x＋16971.3.驗(yàn)證結(jié)果、改進(jìn)模型作函數(shù)y＝0.005395x2－19.1355x＋16971.3的圖像如圖所示：從以上二次函數(shù)模型和原數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果可以看出，擬合效果在1940年之前還可以，但是對(duì)后期的數(shù)據(jù)擬合的不好．我們經(jīng)常在報(bào)刊上看見關(guān)于人口增長的預(yù)報(bào)，說到本世紀(jì)末，或到下世紀(jì)中葉，全世界(或某地區(qū))的人口將達(dá)到多少億．你可能注意到不同報(bào)刊對(duì)同一時(shí)間人口的預(yù)報(bào)在數(shù)字上有較大的區(qū)別，這顯然是由于用了不同的人口模型計(jì)算的結(jié)果．關(guān)于人口模型這方面的內(nèi)容是很豐富的，我國學(xué)者為了解決我國人口迅速增長的問題，作了大量的調(diào)查研究，建立了不少的人口模型，為我國政府指定相應(yīng)的人口政策提供依據(jù)．事實(shí)上，人口的預(yù)測(cè)是一個(gè)相當(dāng)復(fù)雜的問題，影響人口增長的因素除了人口基數(shù)與可利用資源量外，還和醫(yī)藥衛(wèi)生條件的改善、人們生育觀念的變化等因素有關(guān)，特別在做中短期預(yù)測(cè)時(shí)，我們希望得到滿足一定預(yù)測(cè)精度的結(jié)果，比如在剛剛經(jīng)歷過戰(zhàn)爭(zhēng)或是由于在特定的歷史條件下采納了特殊的人口政策等，這些因素本身以及由此引起的年齡結(jié)構(gòu)變化就變得相當(dāng)重要，也要予以考慮．方法總結(jié)當(dāng)堂練習(xí)某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25%.現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求？【解析】借助信息技術(shù)畫出函數(shù)y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的圖像(圖1)．觀察圖像發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間[10,1000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的圖像都有一部分在直線y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的圖像始終在y＝5的下方，這說明只有按模型y＝log7x＋1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求．圖1下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷．先計(jì)算哪個(gè)模型的資金總數(shù)不超過5萬元．對(duì)于模型y＝0.25x，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝20時(shí)，y＝5，因此，當(dāng)x＞20時(shí)，y＞5，所以該模型不符合要求；對(duì)于模型y＝1.002x，由函數(shù)圖像，并利用信息技術(shù)，可知在區(qū)間(805,806)內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足1.002＝5，由于它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x＞x0時(shí)，y＞5，所以該模型也不符合要求；對(duì)于模型y＝log7x＋1，它在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞增，而且當(dāng)x＝1000時(shí)，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求．再計(jì)算按模型y＝log7x＋1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有y≤0.25x，即log7x＋1≤0.25x成立．令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10,1000]，利用信息技術(shù)畫出它的圖像(圖2)．圖2由圖像可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[10,1000]上單調(diào)遞減，因此f(x)≤f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x.所以，當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，y≤0.25