數(shù)字信號處理第三版(高西全丁玉美)信號處理章

數(shù)字信號處理

DigitalSignalProcessing(DSP)信息學(xué)院電子系第4章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法4.2IIR濾波器的結(jié)構(gòu)4.3FIR濾波器的結(jié)構(gòu)數(shù)字濾波器的分類：從功能上分：低通、帶通、高通、帶阻。從實現(xiàn)方法上分：FIR，IIR。從設(shè)計方法上分：Chebyshev（切比雪夫），Butterworth（巴特沃斯）。從處理信號分：經(jīng)典濾波器、現(xiàn)代濾波器等。4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法現(xiàn)代濾波器：從含有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（時間序列）中估計出信號的某些特征及信號本身。一旦信號被估計出，估計出的信號將比原信號會有高的信噪比。將信號和噪聲視為隨機信號，利用他們的統(tǒng)計特性（自相關(guān)函數(shù)，功率譜等）導(dǎo)出一套最佳估計算法，然后用硬件或軟件實現(xiàn)?，F(xiàn)代濾波器源于維納20世紀40年代及以后的工作，這類濾波器的代表為：維納濾波器，卡爾曼濾波器，線性預(yù)測器，自適應(yīng)濾波器。4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法受噪聲污染信號消除噪聲的過程

選擇數(shù)字濾波器（LP,HP,BP,BE)

設(shè)計數(shù)字濾波器:H(z)（第五章IIR，第六章FIR）

實現(xiàn)數(shù)字濾波器（第四章）4.1數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點與表示方法信號淹沒在嘯叫噪聲中信號與噪聲的功率譜設(shè)計數(shù)字濾波器(DF)即是求系統(tǒng)函數(shù)H(z)

結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性以及運算速度等性能數(shù)字濾波器(DF)的結(jié)構(gòu)實現(xiàn)借助于方框圖和信號流圖表示同一個系統(tǒng)函數(shù)H(z)實現(xiàn)方法有多種。軟件，硬件，IIR,FIR1.離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的方框圖表示法

數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為由H(z)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的差分方程為基本運算包括：信號相加、信號與常數(shù)相乘以及時移例：設(shè)一個二階數(shù)字濾波器系統(tǒng)的差分方程為

如果系統(tǒng)在計算機上軟件實現(xiàn)，左圖所示的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以作為實現(xiàn)該系統(tǒng)的編程基礎(chǔ)如果用硬件實現(xiàn)，左圖則給出了系統(tǒng)的硬件結(jié)構(gòu)方框圖能夠形象地表明實現(xiàn)系統(tǒng)所要求的硬件數(shù)量、算法步驟以及運算過程的復(fù)雜程度2.離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的信號流圖表示法2.離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的信號流圖表示法例二階數(shù)字濾波器系統(tǒng)的信號流圖可表示為信號流圖與方框圖完全等效，但是畫起來要更簡單些3.數(shù)字濾波器的種類

按單位采樣響應(yīng)劃分：“無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)DF”:系統(tǒng)的h(n)延伸到無窮長“有限長單位脈沖響應(yīng)(FIR)DF”:系統(tǒng)的h(n)為有限長序列FIRDF的差分方程與系統(tǒng)函數(shù)表示式(非遞歸型結(jié)構(gòu))IIRDF的差分方程與系統(tǒng)函數(shù)表示式(遞歸型結(jié)構(gòu))4.2IIR濾波器的結(jié)構(gòu)

IIR濾波器結(jié)構(gòu)采用遞歸結(jié)構(gòu)?；揪W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)包括直接型(I型、II型)、級聯(lián)型與并聯(lián)型N階的IIR濾波器的差分方程表示如下1直接型(Ⅰ型)令M=N時，方程對應(yīng)的信號流圖可表示成直接I型結(jié)構(gòu)直接型(I型

)---結(jié)構(gòu)特點兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)，第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點。共需（N+M）級延時單元。系數(shù)ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系數(shù)變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。2.直接型(II型

)---正準型結(jié)構(gòu)直接I型結(jié)構(gòu)

直接型結(jié)構(gòu)簡單直觀對于高階系統(tǒng),存在調(diào)整零、極點困難，對系數(shù)量化效應(yīng)敏感度高等缺點H(z)=H1(z)·Hz(z)直接型(II型

)---結(jié)構(gòu)特點兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)，第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點，第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點。實現(xiàn)N階濾波器（N>=M），只需N級延時單元。所需延時單元最少，故稱典范型。具有直接型實現(xiàn)的一般缺點。系統(tǒng)函數(shù)為MATLAB信號處理工具箱函數(shù)filter就是按照直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)濾波器。yn=filter(B,A.xn)計算系統(tǒng)對輸入信號向量xn的零狀態(tài)響應(yīng)輸出信號向量yn，yn與xn長度相等。A=［a0,a1,a2,…,aN］,

B=［b0,b1,b2,…,bM］例題：已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型，直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。3級聯(lián)型

H(z)的系數(shù)ai,bi都是實數(shù)，所以零、極點Cr.dr只有兩種情況：實根，或共軛復(fù)根將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母進行因式分解3級聯(lián)型式中g(shù)r,pr是實根，hr,qr是復(fù)根。M=M1+2M2,N=N1+2N2.3級聯(lián)型

把H(z)表示成多個實系數(shù)的二階數(shù)字網(wǎng)絡(luò)Hj(z)的連乘積形式

每個Hj(z)均采用直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)，則可以得到H(z)的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)將IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母進行因式分解

級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

如果以不同方式將分母和分子的二階因式組合，理論上可以得到多種等效的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點是對濾波器零、極點的調(diào)整比較方便，便于調(diào)整濾波器的響應(yīng)特性級聯(lián)型——結(jié)構(gòu)特點從級聯(lián)結(jié)構(gòu)中看出：它的每一個基本節(jié)只關(guān)系到濾波器的某一對極點和一對零點。調(diào)整只單獨調(diào)整濾波器第i對零點，而不影響其他零點。同樣調(diào)整只單獨調(diào)整濾波器第i對極點，不影響其他極點。結(jié)構(gòu)特點：每個二階節(jié)系數(shù)單獨控制一對零點或一對極點，有利于控制頻率響應(yīng)。分子分母中二階因子配合成基本二階節(jié)的方式，以及各二階節(jié)的排列次序不同。級聯(lián)后面的網(wǎng)絡(luò)輸出不會再流到前面，運算誤差的積累相對直接型也小。

【例5.3.2】設(shè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

解將H(z)的分子、分母進行因式分解，得到：為減少單位延遲的數(shù)目，將一階的分子、分母多項式組成一個一階網(wǎng)絡(luò)，二階的分子、分母多項式組成一個二階網(wǎng)絡(luò)。把H(z)展開成部分分式和的形式，即得到濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)4并聯(lián)型

在零點調(diào)整上,并聯(lián)型結(jié)構(gòu)不如級聯(lián)型方便，（只為各二階節(jié)網(wǎng)絡(luò)的零點，并非整個系統(tǒng)函數(shù)的零點）。且濾波器階數(shù)較高時,部分分式展開比較麻煩。在運算誤差上,則比前面幾種結(jié)構(gòu)要小一些。因為并聯(lián)型各基本節(jié)的誤差互不影響。

MATLAB信號處理工具箱提供了14種線性系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)變換函數(shù)，實現(xiàn)各種結(jié)構(gòu)之間的變換?？上鄙俨⒙?lián)結(jié)構(gòu)于其他結(jié)構(gòu)之間的變換函數(shù)

3種常用結(jié)構(gòu)（直接型、級聯(lián)型、格型）之間的變換函數(shù)有如下4種：

(1)tf2sos直接型到級聯(lián)型結(jié)構(gòu)變換。

(2)sos2tf

級聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的變換。

(3)tf2latc

直接型到格型結(jié)構(gòu)變換。

(4)latc2tf格型到直接型結(jié)構(gòu)變換。

(1)［S,G］=tf2sos(B,A):B和A分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母多項式系數(shù)向量，當A=1時，表示FIR系統(tǒng)函數(shù)。返回L級二階級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的系數(shù)矩陣S和增益常數(shù)G。例：

B=［8，－4，11，－2］；

A=［1，－1.25，0.75，－0.125］； ［S，G］=tf2sos(B,A)運行結(jié)果：S=1.0000－0.1900

01.0000－0.2500

0

1.0000－0.31001.31611.0000－1.00000.5000G=8練習(xí)題：

已知系統(tǒng)用下面差分方程描述:試分別畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。式中x(n)和y(n)分別表示系統(tǒng)的輸入和輸出信號。4.3FIR濾波器的結(jié)構(gòu)FIR數(shù)字濾波器的h(n)，傳遞函數(shù)和差分方程分別為FIR濾波器結(jié)構(gòu)通常采用非遞歸結(jié)構(gòu)?；揪W(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)包括直接型、級聯(lián)型、頻率采樣型、線性相位型、格型、快速卷積型1直接型(卷積型、橫截型)

FIR的直接型結(jié)構(gòu)該結(jié)構(gòu)直觀簡單，容易在計算機上實現(xiàn)FIR的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)

為方便控制系統(tǒng)傳輸零點，將H(z)分解成二階實系數(shù)因子的形式：2級聯(lián)型其特點是每一節(jié)控制一對零點，在需要直接控制傳輸函數(shù)零點的情況下，這種結(jié)構(gòu)比較方便，但運算次數(shù)比橫截型多3線性相位型（1）定義所謂線性相位：是指濾波器產(chǎn)生的相移與輸入信號頻率成線性關(guān)系。

如果不是線性相位系統(tǒng)，則不同頻率信號經(jīng)過系統(tǒng)后的延時不同，從而導(dǎo)致“彌散”現(xiàn)象3線性相位型

系統(tǒng)相頻響應(yīng)意義信號通過一線性相位全通濾波器時，輸出僅僅是輸入的延時。LTI系統(tǒng)（h(n),H(ejw))x(n)X(ejw)Y(ejw)y(n)只考慮相頻響應(yīng)時，考慮全通濾波，即幅頻響應(yīng)為則輸出：x(t)t02秒tttt

系統(tǒng)的相頻響應(yīng)反映不同頻率信號經(jīng)過系統(tǒng)后的延時情況。它影響輸出信號的長度，也影響不同頻率信號合成后的幅值大小。實際中有的信號傳輸對系統(tǒng)相位要求高，如圖像。有的要求不高，如聲音信號。

系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)只影響不同頻率信號合成后的幅值大小，不會產(chǎn)生“彌散”現(xiàn)象。

線性相位結(jié)構(gòu)是FIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)的簡化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，特點是網(wǎng)絡(luò)具有線性相位特性，比直接型結(jié)構(gòu)節(jié)約了近一半的乘法器。h(n)是因果的，為實數(shù)，滿足對稱性，及滿足約束條件：當h(n)為偶對稱時，h(n)=h(N-1-n);當h(n)為奇對稱時，h(n)=-h(N-1-n);

系統(tǒng)函數(shù):N為偶數(shù)時,

N為奇數(shù)時,

和直接型結(jié)構(gòu)比較，如果N取偶數(shù)，直接型需要N個乘法器，而線性相位結(jié)構(gòu)減少到N/2個乘法器，節(jié)約了一半的乘法器。如果N取奇數(shù)，則乘法器減少到(N－1)/2個，也近似節(jié)約了近一半的乘法器。例題：已知線性相位FIR系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：畫以下流圖：直接型、級聯(lián)型、線性相位由頻域采樣定理可知，對有限長序列h(n)的Z變換H(z)在單位圓上做N點的等間隔采樣，當N大于等于h(n)長度M，信號不失真，此時H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到4頻率采樣型式中：

k=0,1,2,…,N-1梳狀濾波器的零、極點特性

由，可看出它是一個由N節(jié)延時單元所組成的梳狀濾波器。在單位圓上有N個等分的零點、無極點。即：等間隔角度為：

梳狀濾波器的幅頻特性及流圖：頻率響應(yīng)：Hc(z)是一個由N階延時單元組成的梳狀濾波器諧振器：是一個一階網(wǎng)絡(luò)。

諧振器零極點：一階網(wǎng)絡(luò)，有一個極點：一階網(wǎng)絡(luò)頻率在處響應(yīng)為無窮大，此時諧振柜：N個諧振器并聯(lián)而成。

諧振柜的極點正好與梳狀濾波器的一個零點(i=k)相抵消，從而使頻率上的頻率響應(yīng)等于H(k)將兩部分級聯(lián)起來，得到頻率采樣結(jié)構(gòu)。

FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點：

它的系數(shù)H(k)就是濾波器在處的頻率響應(yīng)，所以可直接控制濾波器的頻率響應(yīng)結(jié)構(gòu)便于標準化、模塊化

結(jié)構(gòu)的缺點：

H(k)和WN-k一般為復(fù)數(shù)，硬件實現(xiàn)不方便，應(yīng)將它們先化成二階的實數(shù)，這樣乘起來比較復(fù)雜，增加乘法次數(shù)及存儲量。所有諧振器的極點都是在單位圓上，由WN-k決定考慮到系數(shù)量化的影響。當系數(shù)量化時，極點會移動，有些極點就不能被梳狀濾波器的零點所抵消。（零點由延時單元決定，不受量化的影響）系數(shù)就不穩(wěn)定了。采用修正型頻率采樣結(jié)構(gòu)。

修正的頻率采樣型結(jié)構(gòu)：為了克服系數(shù)量化后可能不穩(wěn)定的缺點。將所有零極點都移到單位圓內(nèi)某一個靠近單位圓，半徑為r(r<=1)的圓上，同時梳狀濾波器的零點移到r圓上。即將頻率采樣由單位圓移到修正半徑r的圓上

首先將單位圓上的零極點向單位圓內(nèi)收縮一點，收縮到半徑為r的圓上，取r<1且r≈1。（5.6.3）

式中，Hr(k)是在r圓上對H(z)的N點等間隔采樣之值。由于r≈1，因此可近似取Hr(k)≈H(k)。

這樣，零極點均為如果由于實際量化誤差，零極點不能抵消時，極點位置仍處在單位圓內(nèi)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定。另外，由DFT的共軛對稱性知道，如果h(n)是實數(shù)序列，則其離散傅里葉變換H(k)關(guān)于N/2點共軛對稱，即H(k)=H*(N－k)。而且

，我們將Hk(z)和HN－k(z)合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)，并記為Hk(z)，則當N為偶數(shù)時，有一對實根，它們分別為k=0,k=N/2兩點，H(z)可表示為當N為奇數(shù)時，有一個實根，z=r,(k=0)，H(z)可表示為1.結(jié)構(gòu)有遞歸型部分諧振柜，又有非遞歸部分——梳狀濾波器。2.它的零、極點數(shù)目只取決于單位抽樣響應(yīng)的長度，因而單位沖擊響應(yīng)長度相同，利用同一梳狀濾波器、同一結(jié)構(gòu)而只有加權(quán)系數(shù)不同的諧振器，就能得到各種不同的濾波器。3.結(jié)構(gòu)可以高度模塊化，適用于時分復(fù)用。

4.當采樣點數(shù)N很大時，其結(jié)構(gòu)顯然很復(fù)雜，需要的乘法器和延時單元很多。

但對于窄帶濾波器，大部分頻率采樣值H(k)為零，從而使二階網(wǎng)絡(luò)個數(shù)大大減少。所以頻率采樣結(jié)構(gòu)適用于窄帶濾波器。不適合寬帶濾波。修正頻率采樣結(jié)構(gòu)的特點：例題：已知線性相位FIR系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為：畫以下流圖：直接型、級聯(lián)型、線性相位、頻率采樣型（N=6）5.格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)包括：全零點格型網(wǎng)絡(luò)（MA、FIR），全極點格型網(wǎng)絡(luò)（AR、IIR），格梯型網(wǎng)絡(luò)（ARMA、IIR）以全零點格型網(wǎng)絡(luò)為例

該流圖只有直通通路，沒有反饋回路，因此可稱為FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。觀察該圖，它可以看成是基本單元級聯(lián)而成。

Z變換差分方程：寫成矩陣形式將N個基本單元級聯(lián)后，得到:(5.7.6)令Y(z)=EN(z)，X(z)=E0(z)=R0(z),其輸出為

由上式得到全零點格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為只要知道格型網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)kl，l=1,2,3,…,N,由上式可以直接求出FIR格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。由FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)假設(shè)N階FIR型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.7.9)式中,h(0)=1;h(n)是FIR網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)。令ak=h(k)，得到:

(5.7.10)式中，a0=h(0)=1;kl為全零點格型網(wǎng)絡(luò)的系數(shù),l=1,2,…,N。

下面僅給出轉(zhuǎn)換公式：