離散時間信號及其Z變換

第3章離散時間信號及其Z變換第1節(jié)離散時間信號——序列第2節(jié)序列的Z變換及其性質(zhì)第3節(jié)序列的Z反變換31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號一、序列——離散時間信號的定義

離散時間信號是指僅在不連續(xù)的離散時刻有確定函數(shù)值的信號，簡稱離散信號，也稱離散序列。時間上離散的數(shù)據(jù)在時域內(nèi)表示為離散時間信號，其只在離散時刻才有定義。工程上是從連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣得到的離散時間信號。31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

1、單位抽樣（脈沖）序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

2、單位階躍序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

3、矩形序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

4、單邊指數(shù)序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

5、斜變序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

6、正弦、余弦序列周期序列：如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞

則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數(shù)。正弦序列的周期性：31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

6、正弦、余弦序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

7、復(fù)指數(shù)序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號二、基本序列（離散時間信號）

8、用單位脈沖序列表示任意的序列31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

1、相加兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相加。序列的累加（求和）：31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

2、相乘兩個序列同序號（同一時刻）的序列值對應(yīng)相乘。序列的數(shù)乘：31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

3、移位（延時）31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

4、反褶（轉(zhuǎn)置）31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

5、尺度變換——壓縮和擴(kuò)展序列的壓縮也稱為序列的抽取，即將序列中的某些值去除后剩下的序列值按次序重新排列，其結(jié)果使序列縮短。31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

5、尺度變換——壓縮和擴(kuò)展序列的擴(kuò)展也稱為序列的延伸（補(bǔ)零、內(nèi)插零值），是在原序列的相鄰序號之間插入零值，重新排列使原序列延長。31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

6、差分運(yùn)算差分是指同一個序列中相鄰序列號的兩個序列值之差，根據(jù)所取序列相鄰次序的不同分為前向差分和后向差分。高階差分運(yùn)算是對序列作連續(xù)多次的差分運(yùn)算：31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

7、卷積運(yùn)算——圖解示例1、置換

2、反褶31一月2023第3章第1節(jié)離散時間信號三、序列的運(yùn)算

7、卷積運(yùn)算——圖解示例3、移位4、相乘5、求和y(0)=2y(1)=7y(2)=11y(3)=10y(4)=5y(5)=1*31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換一、Z變換的定義

1、由沖激抽樣信號的拉普拉斯變換來定義31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換一、Z變換的定義

2、直接定義31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

1、收斂條件和收斂域的定義

序列的Z變換是一個冪級數(shù)，只有收斂時才有意義。根據(jù)級數(shù)收斂的條件可得，X(z)收斂的條件是級數(shù)絕對可和。

收斂域的定義：使序列x(n)的Z變換X(z)收斂的復(fù)平面上所有Z的集合，可用圖形來表示，稱為該Z變換的收斂域。記為ROC——RegionofConvergence31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

2、收斂性的判定方法（1）比值判別法（2）根值判別法31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

2、收斂性的判定方法31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響

（1）有限長序列（有始有終序列）在有限區(qū)間內(nèi)，有非零的有限值的序列，則0有限長序列收斂域：n1<0，n2≤0時，0≤z＜∞n1<0，n2>0時，0<z＜∞n1≥0，n2>0時，0<z≤∞

31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響

（2）右邊序列（有始無終序列）右邊序列是指序列收斂半徑圓外為收斂域031一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響

（3）左邊序列（無始有終序列）左邊序列是指序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若則不包括z=0點(diǎn)031一月2023

有環(huán)狀收斂域第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響

（4）雙邊序列（無始無終序列）雙邊序列圓內(nèi)收斂圓外收斂

沒有收斂域031一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響例：有限長序列8個零點(diǎn)7階極點(diǎn)1階極點(diǎn)收斂域為除了0和的整個平面031一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響例：右邊序列031一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響例：左邊序列收斂半徑圓內(nèi)為收斂域，若則不包括z=0點(diǎn)031一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換二、Z變換的收斂域

3、序列特性對收斂域的影響例：雙邊序列0331一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

1、單位抽樣（沖激）序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

2、單位階躍序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

3、矩形序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

4、斜變序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

5、單邊指數(shù)序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換三、典型序列的Z變換

6、正、余弦序列31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

1、線性*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

2、移位性（時移性）例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

3、z域微分特性（線性加權(quán)特性）31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

3、z域微分特性（線性加權(quán)特性）31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

4、z域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性）31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

4、z域尺度變換特性（序列指數(shù)加權(quán)特性）31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

5、時域卷積特性31一月2023第3章第2節(jié)序列的Z變換四、Z變換的性質(zhì)

5、時域卷積特性31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換已知序列x(n)的Z變換X(z)及其收斂域ROC，求序列x(n)稱為Z反變換。序列的Z變換及其Z反變換表示如下：求Z反變換的方法：

1.圍線積分法2.冪級數(shù)展開法(長除法)3.部分分式展開法31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）如果X(z)zn-1在圍線c內(nèi)的極點(diǎn)用zk表示，根據(jù)留數(shù)定理：

式中表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)，Z反變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）

如果zk是一階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）

例1

解：

必然是因果序列，右邊序列。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換一、圍線積分法（用留數(shù)定理）

31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）

按照Z變換的定義：可以用長除法將X(z)寫成冪級數(shù)形式，級數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。

注意：在進(jìn)行長除前，要先根據(jù)給定的收斂域是圓外域還是圓內(nèi)域，確定x(n)是右邊序列還是左邊序列。如果x(n)是右邊序列，級數(shù)應(yīng)是負(fù)冪級數(shù)；如x(n)是左邊序列，級數(shù)則是正冪級數(shù)。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）

例2

解：

用長除法展開：

必然是因果序列，右邊序列。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）

例2

解：

用長除法展開：

必然是因果序列，右邊序列。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）

討論：若將收斂域換為，則：用長除法展開：

是左邊序列。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換二、冪級數(shù)展開法（長除法）由長除結(jié)果可得：

31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換三、部分分式展開法部分分式展開法是將X(z)展成簡單的部分分式之和，然后獲得各部分分式的z反變換，最后將它們相加即可得序列x(n)。只有一階極點(diǎn)：，Am

是在pm

處的留數(shù)。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換三、部分分式展開法31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換三、部分分式展開法除了M個一階極點(diǎn)外，還有一個s階高階極點(diǎn)，則：31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換三、部分分式展開法

例3

解：31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換三、部分分式展開法

例3

解：31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換用MATLAB實(shí)現(xiàn)Z的正、反變換一、Z變換的命令：1、F=ztrans(f)（常用）

對連續(xù)時間信號f(t)的抽樣值f(nT)進(jìn)行Z變換。若信號f的變量是z，則得到復(fù)變量的z變換函數(shù)。

2、F=ztrans(f,w)得到復(fù)變量的Z變換函數(shù)。3、F=ztrans(f,k,w)對連續(xù)時間信號f(t)的抽樣值f(kT)進(jìn)行Z變換。31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換用MATLAB實(shí)現(xiàn)Z的正、反變換一、Z變換的命令：例：解：

symsaznTf=a^(n*T)F=factor(ztrans(f))%做因式分解處理

運(yùn)行結(jié)果為：f=a^(n*T)F=z/(z-exp(log(a)*T))

即表示：31一月2023第3章第3節(jié)序列的Z反變換用MATLAB實(shí)現(xiàn)Z的正、反變換二、Z反變換的命令：1、f=iztrans(F)（常用）

對F(z)返回f(nT)，T=1時返回f(n)。對F(n)返回f(kT)

。

2、f=iztrans(F,w)對F(z)返回f(kT)，T=1時返回f(k)。