高等數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理1設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：由上述的討論，我們可以得到如下定理——羅爾（Rolle）定理。設(shè)y=f(x)是一條連續(xù)光滑的曲線，并且在點A、B處的縱坐標相等，即f(a)=f(b)，如圖，那么我們?nèi)菀卓闯?，在弧AB上至小有一點C(ξ,f(ξ))，曲線在C點有水平切線。（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3）f(a)=f(b).則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ

，使得證因f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)所以在[a,b]上一定取到最大值M和最小值m。

(1)若M=m則f(x)在[a,b]上是常數(shù)；

f(x)=M，x∈[a,b]yo

xACBaξb3.1.1羅爾定理由于f(x)在ξ處取最大值，所以不論△x為正或為負，總有當△x>0時,

(2)若M≠m

，則M,m中至小有一個不等于f(a)，不妨設(shè)f(a)≠M。因此，函數(shù)f(x)在內(nèi)(a,b)某一點ξ處取到最大值M

。我們來證。同理，當△x<0時,從而，因此，任取ξ∈(a,b)都有因此必然有

3.1.2拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是一條連續(xù)光滑的曲線弧，顯然是連接點A(a,f(a))和點B(b,f(b))的弦的斜率，如圖

所示，容易看出，在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ使弧上的點C(ξ,f(ξ))的切線與弦平行。ABAB圖yo

xACBaξb由上述的討論，我們可以得到如下定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理。定理2設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ

，使得分析：若f(a)=f(b)即為羅爾定理，不妨設(shè)f(a)≠f(b)，證明的思路是借助一個輔助函數(shù)把拉格朗日定理轉(zhuǎn)化為已知的羅爾定理。容易看出，弦的方程為證作輔助函數(shù)即而曲線弧與弦的縱坐標之差為AB它是x的函數(shù)，將其記為，顯然函數(shù)滿足羅爾定理的條件。顯然在上[a,b]連續(xù)，在(a,b)可導(dǎo)，且于是由羅爾定理，至少存在一點ξ∈(a,b)，使得MadebyHuilaiLi中值定理的演示T與l平行這樣的x可能有好多在區(qū)間上應(yīng)用拉各朗日中值定理時，結(jié)論可以寫成由拉格朗日定理可以得出兩個重要的推論。證在(a,b)內(nèi)任意取兩點x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，顯然f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(x1，x2)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中定理可知，至少存在一點ξ∈(x1，x2)，使得推論2若函數(shù)f(x)，g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且推論1若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)任意點的導(dǎo)數(shù)，則f(x)在(a,b)內(nèi)是一個常數(shù)。由條件知，從而f(x2)－f(x1)=0。即f(x2)=f(x1)。由x1，x2是(a,b)內(nèi)的任意兩點，于是我們就證明了f(x)在(a,b)內(nèi)恒為一個常數(shù)。則在(a,b)內(nèi)，f(x)與g(x)最多相差一個常數(shù)，即其中c為常數(shù)。事實上，因為，由推論1可知應(yīng)用拉格朗日定理，我們不可以證明一些等式和不等式。例1.證明等式證:設(shè)由推論可知

(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在

I

上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.證明不等式證:設(shè)中值定理條件,即因為故因此應(yīng)有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

3.1.3柯西中值定理定理3設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)滿足條件：作為拉格朗日定理的推廣，我們證明如下柯西定理：則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得證先用反證法證明g(b)－g(a)≠0，若不然，即有g(shù)(b)=g(a).則由羅爾定理知，至少存在一點x0∈(a,b)，使得，此與條件(3)矛盾，故有g(shù)(b)－g(a)≠0。（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；注容易看出，拉格朗日中值定理是柯西定理當g(x)=x時的一個特殊情況?？挛鞫ɡ淼囊粋€直接應(yīng)用是證明下面的洛必達法則。即顯然F(x)滿足羅爾定理的三個條件，因此，在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使得，即為證明等式成立，我們作輔助函數(shù)費馬(1601–665)法國數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻.他特別愛好數(shù)論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻,近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠.對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,三、其他未定式二、型未定式一、型未定式第二節(jié)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束洛必達法則第三章定理：設(shè)（1）（2）在點的某鄰域內(nèi)（點本身可以

除外），及存在且

（3）存在或為無窮大，則有一兩個無窮小量之比的極限（型）

3.1.4羅必達法則例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必達法則!機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求解:原式例4.求解:(1)n

為正整數(shù)的情形.原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:例如,而用洛必達法則

1)在滿足定理條件的某些情況下洛必達法則不能解決計算問題.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例如,極限不存在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2)若其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例5.求解:原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式例6.求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例7.求解:利用例5例5目錄上頁下頁返回結(jié)束通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對數(shù)轉(zhuǎn)化例8.求解:注意到～原式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)洛必達法則令取對數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習1.設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說明.極限說明目錄上頁下頁返回結(jié)束洛必達(1661–1704)法國數(shù)學(xué)家,他著有《無窮小分析》(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線”問題,在他去世后的1720年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書.則”.他在15歲時就解決了帕斯卡提出機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:原式=第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、函數(shù)單調(diào)性和極值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、曲線的凹凸與拐點3.2函數(shù)性態(tài)的研究

第三章3.2.1函數(shù)單調(diào)性和極值

1.函數(shù)的單調(diào)性若定理1.設(shè)函數(shù)則在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:無妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證畢例1.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例如,2)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,

則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例如,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.證明時,成立不等式證:令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結(jié)束*證明令則從而即2函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當時,(1)則稱為的極大值點

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點,是極大值是極小值為極小點,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2若函數(shù)f(x)在點處有極值，且存在，則使的點稱為函數(shù)f(x)的駐點定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“由正變負”,(2)“由負變正”,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(3)符號不改變,則在處無極值例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得令得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點取極大值;則在點取極小值.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不確定例2.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束下列命題是否正確？為什么？

(1)若，則x0是f(x)的極值點；

(2)若f(x)在x0點取得極值，必有；解(1)錯誤。如f(x)＝x3

，則，但f(x)在x0＝0點無極值。

(2)錯誤。反例為

，易知f(x)≥f(0)，即x0＝0是f(x)極值點，但f(x)在x0＝0不可導(dǎo)。二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)

最大值最小值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別:當在內(nèi)只有一個極值可疑點時,當在上單調(diào)時,最值必在端點處達到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束3.2.2曲線的凹凸性與拐點

1曲線的凹凸性定義：如果一段曲線位于它上面任一點的切線上方，我們就稱這段曲線是凹曲線；如果一段曲線位于它上面任一點的切線下方，我們就稱這段曲線是凸曲線；

曲線的拐點：如果一條曲線既有凹的部分也有凸的部分，那么這兩部分的分界點叫拐點。定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)例1.判斷曲線的凹凸性.解:故曲線在上是向上凹的.說明:1)若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,2)根據(jù)拐點的定義及上述定理,可得拐點的判別法如下:若曲線或不存在,但在兩側(cè)異號,則點是曲線的一個拐點.則曲線的凹凸性不變.在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.求曲線的拐點.解:不存在因此點(0,0)為曲線的拐點.凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得對應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(0,1)及均為拐點.凹凹凸機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別在I

上單調(diào)遞增在I

上單調(diào)遞減2.曲線凹凸與拐點的判別+–拐點機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習上則或的大小順序是()提示:

利用單調(diào)增加,及B1.

設(shè)在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

.2.

曲線的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為提示:及

;

;第五節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束有位于一直線的三個拐點.1.求證曲線證明：備用題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明:當時，有證明:令,則是凸函數(shù)即

2.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(自證)內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負為極大值過由負變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值定理3目錄上頁下頁返回結(jié)束最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實際意義判別.2.連續(xù)函數(shù)的最值3.

設(shè)是方程的一個解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特點:3.3函數(shù)展為冪級數(shù)以直代曲在微分應(yīng)用中已知近似公式:需要解決的問題如何提高精度?如何估計誤差?x

的一次多項式3.3.1用多項式近似表示函數(shù)1.求n次近似多項式要求:故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令則1.冪級數(shù)常用的幾個函數(shù)的冪級數(shù)展開式定義1：給定數(shù)列則表達式

叫做無窮級數(shù)（簡稱為級數(shù)），記為或或。其中第n