選修1-1 2.2.1 雙曲線及其標準方程

2.2.1雙曲線及其標準方程1.橢圓的定義和等于常數(shù)2a(2a>|F1F2|>0)的點的軌跡.平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的2.引入問題：差等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的復(fù)習(xí)回顧|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|>0)

思考：①如圖(A)，②如圖(B)，上面兩條合起來叫做雙曲線由①②可得：（差的絕對值）①兩個定點F1、F2——雙曲線的焦點;②|F1F2|=2c——焦距.0<2a<2c；

平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于︱F1F2︱)的點的軌跡叫做雙曲線.一.雙曲線定義(類比橢圓)說明：

||MF1|-|MF2||

=2ayoF2F1Mx1.定義中為什么強調(diào)距離差的絕對值為常數(shù)？2.定義中為什么強調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)?如果不對常數(shù)加以限制,動點的軌跡會是什么？定義中為什么強調(diào)距離差的絕對值為常數(shù)？F2F1雙曲線右支雙曲線左支①若2a=2c,則軌跡是什么？②若2a>2c,則軌跡是什么？③若2a=0,則軌跡是什么？此時軌跡為以F1或F2為端點的兩條射線此時軌跡不存在此時軌跡為線段F1F2的垂直平分線F1F2F1F2定義中為什么強調(diào)常數(shù)要小于|F1F2|且不等于0(即0<2a<2c)?如果不對常數(shù)加以限制,動點的軌跡會是什么？F2F1MxOy求曲線方程的步驟：二.雙曲線的標準方程1.建系.以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點為原點建立直角坐標系2.設(shè)點．設(shè)M（x,y）,則F1(-c,0),F2(c,0)3.列式|MF1|-|MF2|=±2a移項兩邊平方后整理得：

兩邊再平方后整理得：

由雙曲線定義知：

即：設(shè)

代入上式整理得：

兩邊同時除以得：這個方程叫做雙曲線的標準方程,它所表示的雙曲線的焦點在x軸上,焦點是F1(-c,0),F2(c,0).其中c2=a2+b2.4.化簡F2F1MxOyOMF2F1xy思考：若建系時,焦點在y軸上呢?看前的系數(shù)，哪一個為正，則在哪一個軸上2、雙曲線的標準方程與橢圓的標準方程有何區(qū)別與聯(lián)系?1、如何判斷雙曲線的焦點在哪個軸上？討論：三.雙曲線兩種標準方程的比較①方程用“－”號連接。②分母是a2,b2,

a>0,b>0,但a,b大小不定。③c2=a2+b2。④如果x2的系數(shù)是正的,則焦點在x軸上；如果y2的系數(shù)是正的,則焦點在y軸上。OMF2F1xyF2F1MxOy定義

方程

焦點a.b.c的關(guān)系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）討論：當m,n取何值時,方程mx2+ny2=1表示橢圓,雙曲線,圓。解：由各種方程的標準方程知，當時方程表示的曲線是橢圓當時方程表示的曲線是圓當時方程表示的曲線是雙曲線例題講解例1已知兩定點,動點滿足,求動點的軌跡方程課堂練習(xí)：1、已知點F1(-8,3)、F2(2,3)，動點P滿足|PF1|-|PF2|=10，則P點的軌跡是()

A、雙曲線B、雙曲線一支

C、直線D、一條射線2、若橢圓與雙曲線的焦點相同,則a=3D

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例2已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設(shè)爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為答:再增設(shè)一個觀測點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.課堂小結(jié)：

本節(jié)課學(xué)習(xí)了雙曲線的定義、圖象和標準方程，要注意使用類比的方法，仿照橢圓的定義、圖象和標準方程的探究思路來處理雙曲線的類似問題。