江蘇省南通市2023屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2023屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題(Ⅰ)參考公式：錐體的體積，其中是錐體的底面積，是錐體的高。一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共計70分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上)1、已知集合，則集合中的元素個數(shù)為▲．2、已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，若是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為▲．3、已知雙曲線，則點到的漸近線的距離為▲.4、設(shè)命題；命題，那么是的▲條件（選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5、函數(shù)的定義域為▲．6、在中，角所對的邊分別為，若，則▲.7、設(shè)等差數(shù)列的公差為，其前項和為，若，，則的值為▲．8、如圖，已知正方體的棱長為1，則四棱錐的體積為▲．9、已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交于三點，則的面積為▲.10、設(shè)為空間兩條不同的直線，為空間兩個不同的平面，給出下列命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中的正確命題序號是___▲___.11、設(shè)，向量，，若，則的最小值為▲．12、已知函數(shù)，則不等式的解集為▲.13、已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是▲.14、已知直線與圓無公共點，為圓的直徑，若在直線上存在點使得，則直線的斜率的取值范圍是▲.二、解答題(本大題共6小題，計90分，解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15、(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它的終邊過點．(1)求的值；(2)若角滿足，求的值．16、(本小題滿分14分)（第16題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，且，，是的中點．（第16題）(1)求證：∥平面；(2)求證：平面平面.17、(本小題滿分14分)已知橢圓的左右焦點坐標(biāo)為，且橢圓經(jīng)過點。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點是橢圓上位于第一象限內(nèi)的動點，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積。18、(本小題滿分16分)某海警基地碼頭的正西方向海里處有海礁界碑，過點且與成角(即北偏東)的直線為此處的一段領(lǐng)海與公海的分界線(如圖所示)。在碼頭的正西方向且距離點海里的領(lǐng)海海面處有一艘可疑船停留，基地指揮部決定在測定可疑船的行駛方向后，海警巡邏艇從處即刻出發(fā)。若巡邏艇以可疑船的航速的倍前去攔截，假定巡邏艇和可疑船在攔截過程中均未改變航向航速，將在點處截獲可疑船。(1)若可疑船的航速為海里小時，，且可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，求巡邏艇成功攔截可疑船所用的時間。(2)若要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，求的最小值。19、(本小題滿分16分)已知函數(shù)，(為常數(shù))(1)若①求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值。②若過點可作函數(shù)的三條不同的切線，求實數(shù)的取值范圍。(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求的取值范圍。20、已知正項等比數(shù)列的前項和為，且，。數(shù)列的前項和為，且。(1)求數(shù)列的通項公式及其前項和；(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求出的通項公式；(3)設(shè)數(shù)列，問是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出所有滿足要求的；若不存在，請說明理由。2023屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題(Ⅱ)(附加卷)21.（B）已知二階矩陣M屬于特征值的一個特征向量為e＝，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點變成點，求出矩陣M.21.(C)已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．設(shè)直線與軸的交點是,是曲線上一個動點，求的最大值.22．某市有四個景點，一位游客來該市游覽，已知該游客游覽的概率為，游覽、和的概率都是，且該游客是否游覽這四個景點相互獨立.（1）求該游客至多游覽一個景點的概率；（2）用隨機變量表示該游客游覽的景點的個數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.23.已知拋物線經(jīng)過點．過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于．（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）設(shè)為原點，，，求證：為定值．2023屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題(Ⅰ)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、填空題：1、42、3、4、充分不必要5、6、7、8、9、10、②④11、912、13、14、二、解答題：15、（1）角的終邊經(jīng)過點…………4分…………7分（2），…………9分，當(dāng)時，；…………11分當(dāng)時，…………13分綜上所述：或…………14分16、（1）證明：連結(jié)，設(shè)，連結(jié)．∵三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，∴為中點．…………2分在△中，又∵是的中點，∴∥．…………4分∵平面，平面，∴∥平面．…………6分(2)∵為菱形，且，∴△為正三角形．…………8分是的中點，∴．∵，是的中點，∴．…………10分，∴平面．…………12分∵平面，∴平面平面．…………14分17、解：(1)因為橢圓焦點坐標(biāo)為，且過點，所以，所以，…………3分從而，故橢圓的方程為?！?分(2)設(shè)點，，，因為，且三點共線，所以，解得，所以，…………8分同理得，…………10分因此，，…………12分因為點在橢圓上，所以，即，代入上式得：?！?4分18、(1)因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速為海里/小時，所以巡邏艇的航速為海里/小時，且，設(shè)，則，又可疑船沿北偏西的方向朝公海逃跑，所以，…………2分在中，有，即，故，解得(負值舍去)……5分所以小時?！?分(2)以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因為巡邏艇的航速是可疑船的航速的倍，所以，故，即故可疑船被截獲的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，…………10分又直線的方程為，即，要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，則：圓心在直線下方，且的軌跡與直線至多只有一個公共點，所以且…………13分即，解得，故要確保在領(lǐng)海內(nèi)(包括分界線)成功攔截可疑船，則?！?6分19、(1)因為，所以，從而。①令，解得或，列表：所以，，?！?分②設(shè)曲線切線的切點坐標(biāo)為，則，故切線方程為，因為切線過點，所以，即，…………6分令，則，所以，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，所以，，要使過點可以作函數(shù)的三條切線，則需，解得?！?分（2）當(dāng)時，不等式等價于，………11分令，則，所以，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故?！?3分若，則，此時；若，則，從而；綜上可得?！?6分20、(1)設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則由得，從而，又由得，因此，，所以，?！?分(2)方法一：因為，所以，…………6分從而數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，故，當(dāng)時，，且時適合，因此，，從而當(dāng)時，為常數(shù)，所以，數(shù)列為等差數(shù)列?！?分方法二：因為，所以，當(dāng)時，有，兩式相減得：，即，故，即，…………7分又由得，從而，故，所以，數(shù)列為等差數(shù)列?！?分(3)因為，所以，…………11分假設(shè)存在存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，即，令，則原問題等價于存在正整數(shù)，使得，即成立。因為(因為)，故數(shù)列單調(diào)遞增，若，即，則，從而，即，而，因此，，這與恒成立矛盾，故只能有，即，…………13分從而，故，即，(*)①若為奇數(shù)，，則記，從而，因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，而，故，因此，(*)式無正整數(shù)解。②若為偶數(shù)，則記，即，同理可得(*)無正整數(shù)解。綜上，不存在存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，也即不存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列?！?6分2023屆高三年級階段性學(xué)情聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題(Ⅱ)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)21(B)、設(shè)，由條件有，且，…………4分所以解得…………10分21(C)、曲線的直角坐標(biāo)方程為，故圓的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑…………4分直線的直角坐標(biāo)方程,令,得,即點的坐標(biāo)為(2,0).…………7分從而，所以即的最大值為?！?0分22、（1）記“該游客游覽個景點”為事件，則，。所以該游客至多游覽一座山的概率為…………4分（2）隨機變量的可能取值為0,1,2,3,4，，，，，，所以的概率分布為：01234…………8分故.答：的數(shù)學(xué)