2008-10-控制工程基礎(chǔ)-控制系統(tǒng)的頻率法分析(4)-711404396

控制工程基礎(chǔ)

第十一講控制系統(tǒng)的頻率法分析（4）清華大學(xué)機械工程系朱志明教授2008－12－122/1/20231主要內(nèi)容概述典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制用頻率法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性用頻率法分析系統(tǒng)的品質(zhì)小結(jié)2/1/20232用頻率法分析系統(tǒng)的品質(zhì)從對數(shù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)從頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系分析系統(tǒng)的動態(tài)性能閉環(huán)頻域指標和時域指標的關(guān)系開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系2/1/20233從對數(shù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kp，Kv，Ka描述了系統(tǒng)減小或消除誤差的能力，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目愈大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度也愈高。它們與開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段的形狀有關(guān)?？刂葡到y(tǒng)對給定的輸入信號是否引起穩(wěn)態(tài)誤差以及誤差的大小，可通過分析開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段的形狀（特征）來確定。N型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：2/1/202340型系統(tǒng)在低頻段：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在低頻段是一水平線，其高度為：20lgK0＝20lgKp系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段是水平線時，系統(tǒng)是靜態(tài)有差系統(tǒng)，跟隨階躍輸入信號時有穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段高度有關(guān)。2/1/20235I型系統(tǒng)（1）<<2(轉(zhuǎn)角頻率）時：低頻漸近線：L()=20lgK0-20lg對于I型系統(tǒng)：Kv=K0當(dāng)＝1時：

L()=20lgKv當(dāng)L()=0時：＝Kv＝12/1/20236I型系統(tǒng)（2）I型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－20dB/dec；當(dāng)＝1時，開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的高度為20lgKv；開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線與0dB水平線的交點頻率為1＝Kv。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－20dB/dec時，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，為一階無差系統(tǒng)，跟隨斜坡輸入時有固定穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與低頻漸近線在＝1時的高度有關(guān)。系統(tǒng)不能跟隨拋物線輸入信號。2/1/20237II型系統(tǒng)（1）<<1(轉(zhuǎn)角頻率）時：低頻漸近線：L()=20lgK0-40lg對于II型系統(tǒng)：Ka=K0當(dāng)＝1時：

L()=20lgKa當(dāng)L()=0，＝a時：a2＝Ka2/1/20238II型系統(tǒng)（2）II型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－40dB/dec；當(dāng)＝1時，開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的高度為20lgKa；開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線與0dB水平線的交點頻率a2＝Ka。當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－40dB/dec時，系統(tǒng)為II型系統(tǒng)。為二階無差系統(tǒng)，在跟隨階躍給定和斜坡輸入時無穩(wěn)態(tài)誤差，跟隨拋物線輸入信號時有固定穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與低頻漸近線在＝1時的高度有關(guān)。2/1/20239用頻率法分析系統(tǒng)的品質(zhì)從對數(shù)頻率特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)II型系統(tǒng)從頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系分析系統(tǒng)的動態(tài)性能閉環(huán)頻域指標和時域指標的關(guān)系開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系2/1/202310從頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系

分析系統(tǒng)的動態(tài)性能在時域分析中，用暫態(tài)響應(yīng)指標來評價系統(tǒng)品質(zhì)；在頻域分析中，則用頻域指標來評價系統(tǒng)的品質(zhì)。頻域法的優(yōu)點是當(dāng)系統(tǒng)的頻域特性不滿足性能指標的要求時，可以直接從頻率特性上分析如何改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)來滿足性能指標的要求。由于頻域法分析問題不及時域法來得直觀，并且有時在設(shè)計時給出的是時域指標（暫態(tài)響應(yīng)指標），因此需要研究頻域指標和時域指標的對應(yīng)關(guān)系。2/1/202311閉環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系（1）一般來說，如果系統(tǒng)閉環(huán)諧振峰值Mr愈高，時域響應(yīng)的振蕩性愈強；如果系統(tǒng)的帶寬愈寬，即c愈大，則時域響應(yīng)的快速性愈好，即系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力也愈強。在定量分析時，對于二階系統(tǒng)可以求出頻域指標和時域指標之間嚴格的數(shù)學(xué)關(guān)系。二階系統(tǒng)頻域指標和時域指標的關(guān)系主要是通過阻尼比和各項頻域指標的關(guān)系來聯(lián)系的。2/1/202312閉環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系（2）二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準式：相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：2/1/202313二階系統(tǒng)Mr與超調(diào)量的關(guān)系（1）閉環(huán)諧振峰值Mr與阻尼比之間的關(guān)系：閉環(huán)諧振峰值Mr僅與阻尼比有關(guān)，因此Mr可以反映系統(tǒng)的阻尼比，超調(diào)量也僅取決于阻尼比。2/1/202314二階系統(tǒng)Mr與超調(diào)量的關(guān)系（2）在<0.4時，諧振峰值Mr很快增加，超調(diào)量也很大，一般這樣的系統(tǒng)不符合暫態(tài)響應(yīng)指標的要求。在>0.4后，Mr與的變化趨勢基本一致，因此二階系統(tǒng)Mr愈大，暫態(tài)響應(yīng)超調(diào)量也愈大。當(dāng)>0.707，無諧振峰，Mr與的對應(yīng)關(guān)系不再存在。通常設(shè)計時，取在0.4至0.7之間，Mr在1至1.4之間。若給定系統(tǒng)的，可先求得相應(yīng)的，然后求出相應(yīng)的Mr值。2/1/202315二階系統(tǒng)頻帶寬度與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系（1）閉環(huán)頻率特性幅值不低于－3dB的頻率范圍0c，稱為系統(tǒng)的帶寬。c為系統(tǒng)的閉環(huán)截止頻率。二階閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性：二階閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性的幅值：2/1/202316二階系統(tǒng)頻帶寬度與暫態(tài)響應(yīng)的關(guān)系（2）令：則：即當(dāng)一定時，c正比于n。調(diào)節(jié)時間ts的近似式為：當(dāng)一定時，ts與c成反比，即帶寬愈大，響應(yīng)愈快。同時為了使輸出量準確地復(fù)現(xiàn)輸入量，應(yīng)使系統(tǒng)的帶寬略大于輸入量的帶寬。但帶寬過大，系統(tǒng)抗高頻干擾的性能下降，帶寬大的系統(tǒng)實現(xiàn)起來也要困難些，所以帶寬也不宜過大。2/1/202317閉環(huán)頻域指標與時域指標的關(guān)系（3）高階系統(tǒng)中，頻域指標和時域指標的對應(yīng)關(guān)系比較復(fù)雜，很難用嚴格的解析式來表達。工程上往往根據(jù)近似計算和大量的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，求出一些經(jīng)驗公式或曲線圖表，供分析設(shè)計時應(yīng)用。當(dāng)高階系統(tǒng)有一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點時，二階系統(tǒng)頻域指標和時域指標之間的對應(yīng)關(guān)系可以推廣應(yīng)用到高階系統(tǒng)中去，但數(shù)據(jù)略有修改。在高階系統(tǒng)中，當(dāng)Mr＝1.3時，超調(diào)量不超過30％，當(dāng)取Mr＝1-1.3時，暫態(tài)響應(yīng)比較穩(wěn)定。工程上一般取Mr＝1.3-1.7。如相對穩(wěn)定性要求高時，則Mr取更小的數(shù)值。2/1/202318開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（1）求開環(huán)頻率特性比求閉環(huán)頻率特性方便，而且在最小相位系統(tǒng)中，幅頻特性和相頻特性之間有確定的對應(yīng)關(guān)系。因此工程上常用開環(huán)對數(shù)頻率特性來分析和設(shè)計系統(tǒng)。開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系分三個頻段來分析：低頻段的頻率特性形狀主要影響系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的結(jié)尾段，影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標；頻率特性的高頻段主要影響暫態(tài)響應(yīng)的起始段；頻率特性的中頻段主要影響暫態(tài)響應(yīng)的中間段，時域響應(yīng)的動態(tài)性能指標主要是由中頻段的形狀所決定。2/1/202319開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（2）－低頻段一般是指折線對數(shù)幅頻特性在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的頻段。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標主要是由這個頻段幅頻特性的高度和斜率所決定的。2/1/202320開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（3）－中頻段中頻段是指開環(huán)截止頻率0附近的頻段，如L()從＋30dB降到－15dB的一段。通常是指折線對數(shù)幅頻特性0前后轉(zhuǎn)折頻率之間的一段。由于閉環(huán)截止頻率c往往與開環(huán)截止頻率0相近，閉環(huán)諧振頻率r又略小于閉環(huán)截止頻率c，因此在閉環(huán)頻率特性上有諧振峰的一段為中頻段。諧振峰值的高低決定了時域響應(yīng)的振蕩性，閉環(huán)截止頻率的大小決定了時域響應(yīng)的快速性。即時域響應(yīng)的動態(tài)指標取決于中頻段的形狀。閉環(huán)截止頻率c一般稍大于開環(huán)截止頻率0，且兩者較接近，所以近似分析時，對時域響應(yīng)的快速性要求可以反映在對開環(huán)截止頻率0大小的要求上。2/1/202321開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（4）－中頻段由于最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性之間有唯一確定的對應(yīng)關(guān)系，因此工程上往往用開環(huán)對數(shù)幅頻特性來分析和設(shè)計系統(tǒng)。若在0的頻率范圍內(nèi)，L()曲線的斜率處處等于－20NdB/dec，則()的值就處處等于－(90N)。2/1/202322開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（5）－中頻段在圖（c）中，當(dāng)＝

0時，(0)＝－180，相位裕量＝0，因此當(dāng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率為－40dB/dec時，系統(tǒng)已處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。若L()的斜率不是常數(shù)，在任一角頻率x處的相角(x)的值是由整個頻率范圍內(nèi)的對數(shù)幅頻特性斜率決定的，在x處的L()的斜率對(x)的影響最大。2/1/202323實例1系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性：相頻特性：對數(shù)幅頻特性斜率與相角的關(guān)系2/1/202324實例2系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性：相頻特性：2/1/202325開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（6）－中頻段由最小相位系統(tǒng)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)可以推出以下結(jié)論：系統(tǒng)的相位裕量，主要取決于開環(huán)對數(shù)幅頻特性在開環(huán)截止頻率處的斜率。若在

0處L()的斜率為－40dB/dec，則系統(tǒng)的相位裕量為0左右，系統(tǒng)可能不穩(wěn)。為了使系統(tǒng)穩(wěn)定，且有足夠的穩(wěn)定裕量，一般希望

0位于開環(huán)對數(shù)幅頻特性斜率為－20dB/dec的線段上，且中頻段要有足夠的寬度。2/1/202326開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（8）－高頻段高頻段是指開環(huán)對數(shù)幅頻特性在中頻段以后的頻段。高頻段的形狀主要影響時域響應(yīng)的起始段。由于高頻段一般均為迅速衰減的特性，通過系統(tǒng)的高頻分量被大大衰減，在時域響應(yīng)中高頻分量的影響很小，且高頻段遠離開環(huán)截止頻率

0，因此它對(0)也就是的影響很小，所以在分析時，常對高頻段作近似處理。對于有多個小慣性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，如果它們的轉(zhuǎn)折頻率都處于高頻段時，在分析它們對暫態(tài)響應(yīng)的影響時，可作一些簡化估計。2/1/202327開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（9）－高頻段有兩個小慣性環(huán)節(jié)：它們對系統(tǒng)相頻特性的影響是使()發(fā)生了變化：從而使相位裕量減?。?/1/202328開環(huán)頻率特性與時域響應(yīng)的關(guān)系（10）－高頻段近似有：從而：即當(dāng)有多個小慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率都落入高頻段且離0很遠時，可以用一個等效的小慣性環(huán)節(jié)去代替它們。等效小慣性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定儲備的影響近似于被代替的多個小慣性環(huán)節(jié)的影響。等效小慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)等于被代替的多個小慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)之和。2/1/202329期望的開環(huán)對數(shù)幅頻特性為了使系統(tǒng)滿足一定的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)指標，對開環(huán)對數(shù)幅頻特性的形狀有如下要求：低頻段要有一定的高度和斜率；中頻段要有足夠的寬度，斜率?。?0dB/dec為宜；高頻段采用迅速衰減的特性，以抑制不必要的高頻噪聲。通常a2，b2，c2，d1。為四階I型系統(tǒng)。2/1/202330期望的開環(huán)對數(shù)幅頻特性動態(tài)性能指標的粗略估算

2/1/202331期望的開環(huán)對數(shù)幅頻特性動態(tài)性能指標的精確估算

2/1/202332小結(jié)頻率特性是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)正弦輸出量復(fù)數(shù)符號與相應(yīng)的輸入量復(fù)數(shù)符號之比，是系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型。穩(wěn)定系