第2章 連續(xù)模型

2023/1/311信息工程大學(xué)韓中庚第2章連續(xù)模型解析幾何模型；

微分方程模型。主要內(nèi)容微積分模型；

2023/1/312信息工程大學(xué)韓中庚1、微積分模型主要內(nèi)容森林救火模型

易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型不允許缺貨的存儲模型

2023/1/313信息工程大學(xué)韓中庚1.問題的提出

已知某工廠裝配線能夠生產(chǎn)若干種不同的產(chǎn)品，每輪換一次產(chǎn)品，生產(chǎn)線都需要更換一些必要的設(shè)備，為此，要付出一定量的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用．當(dāng)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量大于實(shí)際的銷售量(需求)時(shí)，工廠就將多生產(chǎn)出的產(chǎn)品就地存儲起來，為此要付出存儲費(fèi)用．如果該工廠的生產(chǎn)能力是比較大的，即實(shí)際中對于所需要的產(chǎn)品數(shù)量可在較短的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出來，滿足市場的需求．

2.1.1不允許缺貨的存儲模型

2023/1/314信息工程大學(xué)韓中庚1.問題的提出

已知某產(chǎn)品日需求量為100件，相應(yīng)的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為5000元，存儲費(fèi)用為每日每件為1元．試為該工廠安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次的生產(chǎn)量是多少，使總費(fèi)用最?。?.1.1不允許缺貨的存儲模型

2023/1/315信息工程大學(xué)韓中庚２.問題的分析與假設(shè)

2.1.1不允許缺貨的存儲模型

2023/1/316信息工程大學(xué)韓中庚2.1.1不允許缺貨的存儲模型

3.模型的建立與求解總費(fèi)用與變量的關(guān)系總費(fèi)用=生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)+存儲費(fèi)存儲費(fèi)=存儲單價(jià)*存儲量存儲量=？2023/1/317信息工程大學(xué)韓中庚設(shè)t時(shí)刻的存貯量為q(t)，t=0時(shí)生產(chǎn)Q

件，存貯量q(0)=Q,q(t)

以需求速率r線性遞減，直至q(T)=0，如圖。q(t)=Q-rt，

Q=rT

。otqQTrA2.1.1不允許缺貨的存儲模型

存儲量的計(jì)算2023/1/318信息工程大學(xué)韓中庚2.1.1不允許缺貨的存儲模型

一個(gè)周期內(nèi)存貯量一個(gè)周期內(nèi)存貯費(fèi)(A的面積)一個(gè)周期的總費(fèi)用每天平均費(fèi)用2023/1/319信息工程大學(xué)韓中庚模型求解：用微分法每天平均最小費(fèi)用著名的經(jīng)濟(jì)訂貨批量公式（EOQ公式）。2.1.1不允許缺貨的存儲模型

2023/1/3110信息工程大學(xué)韓中庚在本例中2.1.1不允許缺貨的存儲模型

2023/1/3111信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

1.問題的提出森林失火了！消防站在接到報(bào)警后派出多少消防隊(duì)員趕去滅火呢？派出的消防隊(duì)員越多，火災(zāi)所造成的森林損失就越小，但是消防隊(duì)員救火所付出的代價(jià)(開支)就會增加。需要綜合考慮森林損失和消防隊(duì)員的救火開支之間的平衡關(guān)系，以總費(fèi)用為最小來確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。2023/1/3112信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

２.問題的分析與假設(shè)總費(fèi)用包括兩方面：火災(zāi)燒毀森林的損失費(fèi)用，派出消防隊(duì)員救火的開支費(fèi)用。燒毀森林的損失費(fèi)用通常與火災(zāi)燒毀森林的面積成正比，而燒毀森林的面積與失火的時(shí)間、滅火的時(shí)間有關(guān)。滅火時(shí)間取決于消防隊(duì)員數(shù)量，消防隊(duì)員越多滅火越快，即時(shí)間越短。2023/1/3113信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3114信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3115信息工程大學(xué)韓中庚模型假設(shè)：2.1.2森林救火模型

說明：通?；饎輹灾瘘c(diǎn)為中心，以均勻速度向四周呈圓形蔓延，蔓延的半徑與時(shí)間成正比．因?yàn)闊龤值拿娣e與過火區(qū)域的半徑平方成正比，從而火勢蔓延速度與時(shí)間成正比．

2023/1/3116信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3117信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

3.模型的建立與求解2023/1/3118信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3119信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3120信息工程大學(xué)韓中庚4、模型的結(jié)果分析與推廣

2.1.2森林救火模型

2023/1/3121信息工程大學(xué)韓中庚2.1.2森林救火模型

2023/1/3122信息工程大學(xué)韓中庚2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

1.問題的提出（1）如果把易拉罐近似看成一個(gè)直圓柱體，在要求易拉罐體內(nèi)的容積一定時(shí)，則問題是能使易拉罐制作所用的材料最省的圓柱體截面直徑和高度的比例如何？（2）如果把易拉罐的上面部分看成是一個(gè)小正圓臺，下面是一個(gè)正圓柱體，則結(jié)果又該如何？為什么易拉罐都是那個(gè)樣子？2023/1/3123信息工程大學(xué)韓中庚２.問題的分析與假設(shè)2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

(1）研究易拉罐在內(nèi)部容積一定的條件下，則問題為求使表面面積最小的優(yōu)化問題．在這里，不考慮所用具體材料，也不考慮易拉罐的制造工藝影響．(2）假設(shè)易拉罐的形狀為嚴(yán)格的幾何形狀，且材料厚度遠(yuǎn)小于它的高度和半徑．(3)在這里用r

和h分別表示易拉罐的截面半徑和高度．2023/1/3124信息工程大學(xué)韓中庚3.模型的建立與求解模型1：不考慮材料厚度的簡化模型2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2023/1/3125信息工程大學(xué)韓中庚2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2023/1/3126信息工程大學(xué)韓中庚模型2：考慮材料厚度的模型2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2023/1/3127信息工程大學(xué)韓中庚282023年1月31日2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2023/1/3128信息工程大學(xué)韓中庚

即說明當(dāng)易拉罐的高度是底面直徑的α倍時(shí)，易拉罐所用材料的體積為最?。聦?shí)上，通過測量易拉罐的頂蓋和底蓋的厚度通常要比側(cè)面的材料厚度多2倍以上，因此，這個(gè)結(jié)果是與實(shí)際相符的．2.1.3易拉罐的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型

2023/1/3129信息工程大學(xué)韓中庚2、解析幾何模型主要內(nèi)容飛越北極的數(shù)學(xué)模型艦艇的快速會合模型

2023/1/3130信息工程大學(xué)韓中庚1.問題的提出2.2.1艦艇的快速會合模型

某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快返回與其匯合并通報(bào)了航母當(dāng)前的航速與方向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。2023/1/3131信息工程大學(xué)韓中庚２.問題的分析與假設(shè)2.2.1艦艇的快速會合模型

2023/1/3132信息工程大學(xué)韓中庚2.2.1艦艇的快速會合模型

2023/1/3133信息工程大學(xué)韓中庚2.2.1艦艇的快速會合模型

A(0,b)XYB(0,-b)P(x,y)O航母護(hù)衛(wèi)艦

θ1

θ2

即：可化為：記v2/v1=a通常a>1

則2023/1/3134信息工程大學(xué)韓中庚2.2.1艦艇的快速會合模型

令：則上式可簡記成：匯合點(diǎn)p必位于此圓上。

（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程）（航母的路線方程）即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2

的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用

2023/1/3135信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

1.問題的提出

2000年6月，揚(yáng)子晚報(bào)發(fā)布消息：“中美航線下月可飛越北極，北京至底特律可節(jié)省4小時(shí)”，摘要如下：7月1日起，加拿大和俄羅斯將允許民航班機(jī)飛越北極，此改變可大幅度縮短北美與亞洲間的飛行時(shí)間．據(jù)加拿大空中管制局估計(jì)，如飛越北極，底特律至北京的飛行時(shí)間可節(jié)省4小時(shí)．由于不需中途加油，實(shí)際節(jié)省的時(shí)間不止此數(shù)．試從數(shù)學(xué)上作出一個(gè)合理的解釋.2023/1/3136信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2.問題的分析

問題歸結(jié)為求飛越指定各點(diǎn)球面上的短程線（或測地線）的航線與飛越直接連結(jié)北京上空10km和底特律上空10km的經(jīng)過北極圈的新航線的時(shí)間差．又由于假設(shè)飛機(jī)作時(shí)速為980km/h的勻速飛行，問題又歸結(jié)為求相應(yīng)的航程差．2023/1/3137信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

3.模型的假設(shè)與符號說明

（1）對于飛機(jī)在機(jī)場起飛與降落過程的時(shí)間忽略不計(jì)，即飛機(jī)從Ａ地到Ｂ地的飛行時(shí)間只考慮飛越Ａ地上空10km和Ｂ地上空10km兩點(diǎn)之間最短航線所用的時(shí)間；（2）飛機(jī)在飛行過程中，途經(jīng)各站起飛、降落及中途加油和等待調(diào)度所用的時(shí)間均忽略不計(jì)；

（3）飛機(jī)作時(shí)速為980km/h的勻速飛行，地球的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)對飛機(jī)飛行的影響忽略不計(jì)；

（4）飛機(jī)的航線始終滿足最短路線原則．2023/1/3138信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2023/1/3139信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

4.模型的建立與求解

航線上各站點(diǎn)的直角坐標(biāo)為2023/1/3140信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2023/1/3141信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2023/1/3142信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2023/1/3143信息工程大學(xué)韓中庚2.2.2飛越北極的數(shù)學(xué)模型

2023/1/3144信息工程大學(xué)韓中庚3、微分方程模型主要內(nèi)容漁業(yè)資源的管理模型

減肥模型放射性廢物的處理模型

飲酒駕車影響的模型2023/1/3145信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

1.問題的提出在過去的一段時(shí)間里，美國原子能委員會是這樣處理濃縮放射性廢物的：他們把這些廢物裝入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深91.44m的海里．這種做法是否會造成放射性污染，引起了生態(tài)學(xué)家和社會各界的關(guān)注．建立該問題的數(shù)學(xué)模型，分析這種裝有放射性廢物的圓桶在沉入海底的過程中是否發(fā)生破裂？

2023/1/3146信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

2.問題的的分析與假設(shè)

判斷圓桶在沉入海底的過程中是否會發(fā)生破裂，關(guān)鍵在于圓桶在不破裂的情況下能承受的最大沖撞速度，以及在圓桶到達(dá)海底時(shí)的末速度．已知圓桶發(fā)生破裂的直線極限速度是12.192m/s，所以只要計(jì)算出圓桶沉入海底時(shí)的末速度就可以做出判斷．2023/1/3147信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

假設(shè)：（1）圓桶從海平面下沉?xí)r開始記時(shí)；（2）圓桶從海平面處自然下落，即初速度為0；（3）圓桶在下沉過程中無其他障礙物，受到的阻力與速度成正比；（4）圓桶在下沉過程中所受的浮力為2090.735N；（5）圓桶沿直線沉入海底．2023/1/3148信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

3.模型的建立與求解

2023/1/3149信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

2023/1/3150信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

2023/1/3151信息工程大學(xué)韓中庚2.3.1放射性廢物的處理模型

顯然，該速度大于圓桶發(fā)生破裂的極限速度12.192m/s．因此，圓桶在下沉的過程是會發(fā)生破裂的，工程師們的擔(dān)心是道理的．2023/1/3152信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型1.問題的提出

漁業(yè)資源是一種可再生資源，由于人類無節(jié)制地開發(fā)利用，目前世界上的許多魚類資源面臨急劇減少或枯竭的狀態(tài)．漁業(yè)資源所面臨的嚴(yán)峻狀態(tài)，使人們認(rèn)識到：必須采取科學(xué)有效的措施，控制捕撈率，使魚類資源維持在一個(gè)合理的水平上．試建立漁業(yè)資源的自然增長模型和合理的捕撈模型，討論魚類資源數(shù)量的合理水平，并對漁業(yè)資源的合理開發(fā)和管理提出一些建議．2023/1/3153信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型2.問題的的分析與假設(shè)

2023/1/3154信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型3.模型的建立與求解

（1）魚群的自然增長模型2023/1/3155信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型2023/1/3156信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型2023/1/3157信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型（2）有捕撈的謝弗（Schaefer）模型

2023/1/3158信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型2023/1/3159信息工程大學(xué)韓中庚2.3.2漁業(yè)資源的管理模型

當(dāng)捕撈努力量為何值時(shí)，能夠獲得的可持續(xù)性捕撈的最大捕撈量？

2023/1/3160信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

1.問題的提出你知道如何判斷一個(gè)人的體重是否正常嗎？2023/1/3161信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

2.問題的的分析與假設(shè)

2023/1/3162信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

2023/1/3163信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

3.模型的建立與求解

2023/1/3164信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

2023/1/3165信息工程大學(xué)韓中庚2.3.3減肥模型

4.模型的結(jié)果分析與推廣

2023/1/3166信息工程大學(xué)韓中庚2.3.4飲酒駕車影響的模型

假設(shè)大李在中午12點(diǎn)喝了一瓶啤酒，下午6點(diǎn)檢查時(shí)符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見，他呆到凌晨2點(diǎn)才駕車回家，又一次遭遇檢查時(shí)卻被定為酒后駕車，這讓他懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？1.問題的提出2023/1/3167信息工程大學(xué)韓中庚2.3.4飲酒駕車影響的模型

請你參考給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量變化的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問題：(1)對大李碰到的情況做出解釋；(2)在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后，多長時(shí)間內(nèi)駕車就會違反上述標(biāo)準(zhǔn)？在以下情況下回答問題：①酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的；②酒是在較長一段時(shí)間（比如2小時(shí)）內(nèi)喝的．(3)怎樣估計(jì)血液中的酒精含量在什么時(shí)間最高？(4)根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車？2023/1/3168信息工程大學(xué)韓中庚2.3.4飲酒駕車影響的模型

2.模型的假設(shè)（1）人體自身產(chǎn)生的酒精忽略不計(jì)，即正常不飲酒情況下，人體體液中的酒精濃度看作0；（2）人的吸收速率和代謝速率是恒定的；（3）人體體液對酒精吸收速率與當(dāng)前腸胃中酒精含量成正比，比例系數(shù)為a；（4）酒精代謝速率與當(dāng)前血液中酒精濃度成正比，比例系數(shù)為b；（5）人體體液中酒精的濃度與血液中酒精的濃度相同；（6）整個(gè)過程中人沒有攝入任何影響代謝的藥類