第十三講 隨機(jī)信號通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析

主要內(nèi)容3.1

線性系統(tǒng)基本理論3.2

隨機(jī)信號通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析3.3

隨機(jī)信號通過離散時(shí)間系統(tǒng)的分析3.4白噪聲通過線性系統(tǒng)和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示方法3.7

窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8

正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性2/1/20231

在系統(tǒng)給定的條件下，輸出信號的某個(gè)統(tǒng)計(jì)特性只取決于輸入信號的相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，而不依賴于輸入信號的其它統(tǒng)計(jì)特性。根據(jù)輸入隨機(jī)信號的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜度，再加上已知線性系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)或傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機(jī)信號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。

分析方法：時(shí)域法（卷積積分法）；頻域法。3.2

隨機(jī)信號通過連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析2/1/202321、系統(tǒng)輸出表達(dá)式（因果系統(tǒng)）2、線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性

系統(tǒng)輸出的均值

系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

系統(tǒng)輸出的高階距3、系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性

系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性

系統(tǒng)輸出的遍歷性時(shí)域分析法

2/1/202331.系統(tǒng)輸出表達(dá)式（因果系統(tǒng)）確定性函數(shù)輸入隨機(jī)信號X(t)的某個(gè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)樣本函數(shù)x(t)，則輸出為：因果系統(tǒng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)確定性函數(shù)對于隨機(jī)信號X(t)任意一個(gè)樣本函數(shù)均成立。則對于所有的試驗(yàn)結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這樣一族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過程Y(t)2/1/202342.線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性——

系統(tǒng)輸出均值系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號的均值可以由輸入信號的均值和系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)確定，即證明若X(t)平穩(wěn)隨機(jī)過程2/1/202352.線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性——

輸入輸出互相關(guān)函數(shù)由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為證明若X(t)平穩(wěn)隨機(jī)過程2/1/202362.線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性——

輸出自相關(guān)函數(shù)已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

證明2/1/202372/1/20238若X(t)平穩(wěn)隨機(jī)過程2/1/20239隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)關(guān)系),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th平穩(wěn)情況)(tXR)(tYR)(t-h)(th)(tXR)(tYR)(t-h)(th2/1/2023102.線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計(jì)特性——

高階矩系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達(dá)式為2/1/2023113.系統(tǒng)輸出平穩(wěn)性和遍歷性——

平穩(wěn)性結(jié)論1

若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。證明若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：

系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性問題。這種情況下，系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài)。2/1/202312因?yàn)橄到y(tǒng)穩(wěn)定，則絕對可積，即因此2/1/202313結(jié)論2

若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。證明對于時(shí)不變系統(tǒng)，若時(shí)移常數(shù)T，有輸出和分別是輸入和與的卷積，即可以表示成級數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以與具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣與也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。2/1/2023143.系統(tǒng)輸出平穩(wěn)性和遍歷性——

遍歷性結(jié)論3

若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷。證明由的寬遍歷的定義可知?jiǎng)t輸出的時(shí)間平均2/1/2023152/1/202316解

RC電路的沖擊響應(yīng)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：例

如圖所示電路中，輸入X(t)平穩(wěn)隨機(jī)過程，均值自相關(guān)函數(shù)為求（1）輸出的均值（2）輸出的自相關(guān)函數(shù)（3）輸出的平均功率（4）輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù)2/1/202317(1)輸出的均值(2)輸出的自相關(guān)函數(shù)2/1/202318（3）輸出平均功率（4）輸入輸出互相關(guān)函數(shù)2/1/202319例

線性系統(tǒng)的輸入為相關(guān)函數(shù)的白噪聲如果已知輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求線性系統(tǒng)的單位沖擊響應(yīng)。解

由此可知2/1/202320頻域分析法

系統(tǒng)輸出的均值

系統(tǒng)輸出的功率譜密度

系統(tǒng)輸入和輸出的互功率譜密度

拉普拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系2/1/202321頻域分析法——

系統(tǒng)輸出的均值定義輸入隨機(jī)信號的功率譜密度為，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)傳遞函數(shù)為或

。定義系處于穩(wěn)態(tài)，輸入信號X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)信號，則輸出Y(t)也是寬平穩(wěn)的，且Y(t)和X(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的。2/1/202322頻域分析法——

系統(tǒng)輸出的功率譜密度由兩邊取傅里葉變換得：2/1/202323頻域分析法——系統(tǒng)輸入輸出的互功率譜密度2/1/202324頻域分析法——拉普拉斯變換和傅里葉變換的關(guān)系注意：當(dāng)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)比較簡單的函數(shù)，應(yīng)用時(shí)域分析。頻域分析法只能計(jì)算平穩(wěn)線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號的特性。當(dāng)不可積，可積。因此對于隨機(jī)信號，通常情況下其拉普拉斯變換是存在的。2/1/202325例

如圖所示電路中，輸入X(t)平穩(wěn)隨機(jī)過程，均值自相關(guān)函數(shù)為，求系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)，輸出的平均功率，互相關(guān)函數(shù)。

2/1/202326解由，則有

RC電路的傳遞函數(shù)為：功率的傳遞函數(shù)為：2/1/202327（1）系統(tǒng)輸出