第9節(jié)子群的陪集與商群

第9節(jié)子群的陪集與商群主要內(nèi)容:子群的陪集Lagrange定理正規(guī)子群商群1陪集定義1

設(shè)H是G的子群，a∈G.令

aH={ah|h∈H}稱aH是子群H在G中的左陪集.稱a為aH的代表元素.

令Ha={ha|h∈H}，稱Ha是子群H在G中的右陪集.稱a為Ha的代表元素.

2陪集例1

設(shè)G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=(a)={e,a}是G的子群.H所有的左陪集是：

eH={e,a}=H,

aH={a,e}=H,

bH={b,c},

cH={c,b}不同的左陪集只有兩個(gè)，即H和{b,c}.eabceabc

eabcaecbbceacbae3陪集的基本性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)H是群G的子群，則(1)He=H;(2)a∈G

有a∈Ha.性質(zhì)2

設(shè)H是群G的子群，則a,b∈G有

a∈bH

b∈aH

a1b∈H

aH=bH.性質(zhì)3

設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：a,b∈G,(a,b)∈R

a1

b∈H則R是G上的等價(jià)關(guān)系，且[a]R

=aH.4性質(zhì)4設(shè)H是群G的子群,則(1)a∈G，aH≠;(2)a,b∈G，aH

=bH

或aH∩bH

=;(3)∪aH

=G.性質(zhì)5

設(shè)H是群G的子群，則

a,b∈G，|H|=|aH|=|bH|.性質(zhì)6

設(shè)H是群G的子群，則H的所有左陪集構(gòu)成的集族是G的一個(gè)劃分.性質(zhì)7

設(shè)H是群G的子群，令Sl為H的所有左陪集構(gòu)成的集族，Sr為H的所有右陪集構(gòu)成的集族，則|Sl|=|Sr|.陪集的基本性質(zhì)5Lagrange定理定理1

（Lagrange）設(shè)G是有限群，H是G的子群，則|G|=|H|·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同左陪集(或右陪集)數(shù)，稱為H在G中的指數(shù).證設(shè)[G:H]=r，a1,a2,…,ar分別是H的r個(gè)右陪集的代表元素，G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|由|Hai|=|H|，i=1,2,…,r,得

|G|=|H|·r

=|H|·[G:H]6Lagrange定理的推論推論1

設(shè)G是n階群，則a∈G，|a|是n的因子，且有an

=e.證任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的階是n的因子.(a)是由a生成的子群，若|a|=r，則

(a)={a0=e,a1,a2,…,ar1}即(a)的階與|a|相等,所以|a|是n的因子.從而an

=e.7Lagrange定理的推論推論2

對階為素?cái)?shù)的群G，必存在a∈G使得G=(a).證設(shè)|G|=p，p是素?cái)?shù).由p≥2知G中必存在非單位元.任取a∈G，a≠e，則(a)是G的子群.根據(jù)拉格朗日定理，(a)的階是p的因子，即(a)的階是p或1.顯然(a)的階不是1，這就推出G=(a).8Lagrange定理的應(yīng)用命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群.證設(shè)a為G中任意元素，有a1=a.任取x,y∈G，則

xy

=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.9Lagrange定理的應(yīng)用例2

證明6階群中必含有3階元.證設(shè)G是6階群，則G中元素只能是1階、2階、3階或6階.若G中含有6階元，設(shè)為a，則a2是3階元.若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元.如若不然，G中只含1階和2階元，即a∈G，有a2=e，由命題知G是Abel群.取G中2階元a和b，a

b，令H={e,a,b,ab}，則H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾.

10例3

證明階小于6的群都是Abel群.Lagrange定理的應(yīng)用證1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群.2,3和5都是素?cái)?shù)，由推論2它們都是單元素生成的循環(huán)群，都是Abel群.設(shè)G是4階群.若G中含有4階元，比如說a，則G=(a)，由上述分析可知G是Abel群.若G中不含4階元，G中只含1階和2階元，由命題可知G也是Abel群.11正規(guī)子群定義2

設(shè)H是群G的子群。如果a∈G有aH=Ha，則稱H是群G的正規(guī)子群或不變子群.定理2(正規(guī)子群的判別定理)

設(shè)H是群G的一個(gè)子群，則(1)H是群G的正規(guī)子群

a∈G有aHa-1=H；(2)H是群G的正規(guī)