第06章-2模糊知識

第六章模糊知識目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo模糊理論模糊性描述事物的不確定性的一種度量。(另一種度量是隨機性)事物的模糊性是指客觀差異的中介過渡所引起的劃分上的一種不確定性，或概念上沒有明顯界線所引起的一種不確定性。例如，自然界中山峰的“高”與“矮”，社會生活中的“好人”與“壞人”等等，這些概念之間沒有明確的分界線。從“高”到“矮”，從“好人”到“壞人”，都是從差異的一方到差異的另一方。這中間經(jīng)歷了一個從量變到質(zhì)變的連續(xù)過渡過程。這種現(xiàn)象就叫作差異的中介過渡性。這種概念上的不明確性和中介過渡性造就出的劃分上的不確定性，就叫做模糊性。這有別于隨機不確定性。CompanyLogo模糊理論隨機性也是重要的一種不確定性，但不能把不確定性只理解為隨機性。例如拋硬幣試驗。我們知道，硬幣的一面是徽，另一面是字，這在定義上是非常明確的。并且徽和字在概念上具有明確的界線。但在拋之前，是出現(xiàn)徽向上還是字向上是不能確定的。象這種不確定性就是隨機性。為了區(qū)分這兩種性質(zhì)截然不同的不確定性，我們將由隨機性所引起的不確定性稱為隨機不確定性，而將由模糊性所引起的不確定性稱為模糊不確定性。CompanyLogo模糊理論集合與特征函數(shù)處理某一特定問題時，要把議題限定在一個特定的范圍內(nèi)，這個范圍就是相應(yīng)問題的論域。在論域中把具有某種屬性的事物的全體稱為集合。集合中的元素具有相同的屬性，就可用集合表示這一屬性，集合屬性也可用一個函數(shù)來描述，這個函數(shù)就是特征函數(shù)。集合與特征函數(shù)建立了一一對應(yīng)關(guān)系。特征函數(shù)表示論域U中的元素u是否屬于U的子集A。若，則，若，則。顯然，特征函數(shù)是論域U到{0，1}的一個映射。這是對普通集合,我們可以用特征函數(shù)來刻畫。而對于模糊集合需要用到隸屬函數(shù)來描述。CompanyLogo例如，設(shè)論域A={1,2,3,4,5}，在論域A上的一個子集“奇數(shù)”，是一個確定性概念，可用集合A1＝{1,3,5}表示，其特征函數(shù)可以表示為：但對A上的另一個子集“大”或“小”就無法用這樣的特征函數(shù)來描述，因為大或小是一個模糊的概念沒有一個明確的界限，很難說1,2,3就是小，4,5就是大。這就需要用到隸屬度來表示，簡單的說隸屬度就是表示某個元素隸屬于某個集合的程度。模糊理論CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo模糊集與隸屬函數(shù)定義設(shè)U是論域，是把任意u∈U映射為[0，1]之間某個值的函數(shù)，即則稱為定義在U上的一個隸屬函數(shù)，由所確定的集合稱為U上的一個模糊集，稱為u對A的隸屬度。隸屬度確定了某個元素u屬于該模糊集合A的程度，所有元素隸屬度的全體構(gòu)成隸屬函數(shù)。模糊集是用隸屬函數(shù)表示。CompanyLogo模糊集與隸屬函數(shù)例如，我們就可以用隸屬度和隸屬函數(shù)來表示前面例子中的“大”和“小”2個模糊集合。設(shè)A1表示“大”，A2表示“小”，則對應(yīng)與A中各元素1,2,3,4,5的隸屬度：

對應(yīng)與2個集合的隸屬函數(shù)為：A1＝{0,0,0.1,0.6,1}，A2＝{1,0.5,0.1,0,0}學(xué)習(xí)好的隸屬度表示：CompanyLogo模糊集與隸屬函數(shù)

模糊邏輯是無限值邏輯的推廣。模糊邏輯不僅將二值邏輯的真假值域從{0，1}擴充到閉區(qū)間[0，1]，而且還在無限值邏輯中插入了模糊集和模糊關(guān)系。模糊邏輯將清晰明確的命題推廣到亦此亦彼的模糊命題。設(shè)A為論域U的模糊子集，“a屬于A”就是模糊命題。這個命題的值可定義為A的隸屬函數(shù)在a上的值。于是，模糊命題“a屬于A”的值不再是非0即1，而是閉區(qū)間[0，1]上的任何一個值。該值也不象無限值邏輯那樣表示模糊命題“a屬于A”是真還是假，而是表示模糊命題“a屬于A”是真的程度。例如，設(shè)武漢屬于大城市的隸屬度為0.78，則模糊命題“武漢是大城市”的真假值是0.78。

CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo模糊集的表示方法若論域是離散的有限集，其模糊集可表示為也可以表示為或或或CompanyLogo模糊集表示方法若論域是連續(xù)的，則模糊集用函數(shù)表示。例如“年老”與“年輕”兩個模糊概念可表示為年輕年老CompanyLogo無論是連續(xù)還是離散，有限或無限，都可以統(tǒng)一表示為模糊集表示方法CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo并、交、補運算設(shè)A，B為論域U上的兩個模糊集，它們的并、交、補也是模糊集，分別記為，和，它們的隸屬函數(shù)分別為模糊集的運算包含：若對任意，都有，則稱A包含B，記為與謂詞邏輯中的符號不同CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo設(shè)A是論域U上的模糊集，，則稱普通集合為A的一個水平截集，稱為閾值或置信水平。它是A的一個子集，隸屬度>的一個子集。水平截集的性質(zhì)：1.；2.若，則模糊集的水平截集水平截集是為把模糊集轉(zhuǎn)化為普通集合而引入的CompanyLogo設(shè)A是論域U上的一個模糊集，稱分別為模糊集A的核及支集。當(dāng)時，稱A為正規(guī)模糊集。注意：λ水平截集、核、支集都是集合，是A的一個子集。模糊集的水平截集λ10AλuCompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo定義：設(shè)A∈F（U）d是定義在F（U）上的一個實數(shù)，如果它滿足以下條件：(1)對任意A∈F（U），有d(A)∈[0,1]；(2)當(dāng)且僅當(dāng)A是一個普通集合時，d(A)=0;(3)若A的隸屬函數(shù)

≡0.5，則d(A)=1;：(4)若A,B∈F（U）,且對任意u∈U滿足或者則有：d(B)≤d(A)(5)對任意A∈F（U）,有d(A)=d(?A)則稱d為定義在F（U）的一個模糊度d(A)稱為A的模糊度模糊度CompanyLogo由模糊度的定義可以看出：

(1)任何模糊集的模糊度都是[0,1]上的一個數(shù)；

(2)普通集合的模糊度為0，表示所刻畫的概念不是模糊集;

(3)模糊度越靠近0.5就越模糊,為0.5時最模糊

：

(4)模糊集A與其補集?A具有相同的模糊度。關(guān)于模糊度的計算：海明模糊度；歐幾里德模糊度；明可夫斯基模糊度；熵農(nóng)模糊度；CompanyLogo如果實數(shù)域R上的模糊集A的隸屬函數(shù)在R上連續(xù)且具有如下性質(zhì)：（1）A是凸模糊集，即對任意，A的水平截集是閉區(qū)間；（2）A是正規(guī)模糊集，即存在，使則稱A為一個模糊數(shù)。模糊數(shù)的隸屬函數(shù)是單峰函數(shù)。例如模糊數(shù)“6左右”可用隸屬函數(shù)表示：模糊數(shù)CompanyLogo模糊數(shù)的運算設(shè)是實數(shù)域R上的一種二元運算，A和B為兩個模糊數(shù)，則它們之間的運算結(jié)果也是一個模糊數(shù)，其隸屬函數(shù)為模糊數(shù)的四則運算：＋，－，×，÷模糊數(shù)對相應(yīng)的元素做這種運算，對它們各自的隸屬度取最小，再對相同元素合并，并取其最大的隸屬度?？蠢?.13CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo定義設(shè)是上的模糊集，則稱

為的笛卡爾乘積，它是上的一個模糊集。元模糊關(guān)系R是指論域上的一個模糊集，記為模糊關(guān)系及其合成CompanyLogo

(ui)(i=1,2,…,n)是模糊集Ai的隸屬函數(shù)；(u1,u2,…,un)是模糊關(guān)系R的隸屬函數(shù)，它把U1×U2…×Un上的每一個元素(u1,u2,…,un)映射為[0,1]上的一個實數(shù)，該實數(shù)反映出u1,u2,…,un具有關(guān)系R的程度。定義比較抽象，我們用例子來說明，對于二元關(guān)系：

反映了u與v具有關(guān)系R的程度。模糊關(guān)系及其合成CompanyLogo當(dāng)，都是有限論域時，其上的二元模糊關(guān)系R可用一個矩陣表示，稱為模糊矩陣，模糊關(guān)系及其合成CompanyLogo機械故障與征兆的關(guān)系的程度。模糊關(guān)系及其合成這就構(gòu)成了故障集與征兆集上的模糊關(guān)系矩陣。反映了某種故障與某種征兆的關(guān)系程度CompanyLogo模糊關(guān)系及其合成某人對某項運動的喜愛程度。0.70.50.40.10.00.60.00.50.50.30.80.0R=CompanyLogo定義：設(shè)與分別是和上的兩個二元模糊關(guān)系，則與的合成是指從U到W的一個模糊關(guān)系，記為，其隸屬函數(shù)為模糊關(guān)系及其合成取的第i行元素分別與的第j列元素對應(yīng)相比較，兩個數(shù)中取其小者，再在所得的一組最小數(shù)中取出最大的一個，就以此數(shù)作為的第i行第j列的元素。算法：CompanyLogo有如下2個模糊關(guān)系：則R1和R2的合成是：模糊關(guān)系及其合成CompanyLogo模糊變換設(shè)例：設(shè)是論域U上的模糊集，R是上的模糊關(guān)系，則稱為模糊變換則：完成模糊變換CompanyLogo模糊關(guān)系及其合成上表表示征兆與故障的模糊關(guān)系矩陣，用R來表示對于一個征兆向量a＝[0.2f,0.25f,0.43f……]，則模糊診斷的結(jié)果為：F＝a·RT=[……]CompanyLogo目錄1模糊理論2模糊集與隸屬函數(shù)3模糊集的表示方法4模糊集的運算5模糊集的λ水平截集6模糊度與模糊數(shù)7模糊關(guān)系及其合成8建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo隸屬度確定了某個元素u屬于某個模糊集合A的程度，所有元素隸屬度的全體構(gòu)成隸屬函數(shù)。所以隸屬函數(shù)對于表達模糊集的特性，以及表達論域上的元素與模糊集的關(guān)系都是非常重要的，對于推理的準(zhǔn)確性、求解問題的質(zhì)量都有至關(guān)重要的影響。隸屬函數(shù)的建立是整個問題求解過程中最基本也是最關(guān)鍵的工作，也是比較困難的工作。難在沒有同一的、普遍適應(yīng)的模式。目前主要有以下一些經(jīng)驗方法。建立隸屬函數(shù)的方法CompanyLogo模糊統(tǒng)計法把論域U劃分為若干區(qū)間。選擇n個具有正確判斷力的評判員，請他們分別給出模糊概念應(yīng)該屬于的區(qū)段。假設(shè)n個評判員給出的區(qū)段中覆蓋某個區(qū)間的次數(shù)為m，則當(dāng)n足夠大時，就可把m/n作為該區(qū)間中值對A的隸屬度。對每個區(qū)間的中值點求出隸屬度后，就可繪制