教育統(tǒng)計(jì)學(xué)課件

課程性質(zhì)和教學(xué)要求課程的性質(zhì)：

《教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》是教育學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)交叉結(jié)合的學(xué)科，同時(shí)也是一門應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在教育領(lǐng)域的具體應(yīng)用。它通過量化的手段來分析、認(rèn)識(shí)教育現(xiàn)象和規(guī)律，是一門重要的工具性學(xué)科。教學(xué)目標(biāo)和要求：

理解《教育統(tǒng)計(jì)學(xué)》的基本概念和原理，掌握從事教育科學(xué)研究所必需的一些統(tǒng)計(jì)方法，能按照要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)與推斷統(tǒng)計(jì)分析處理，形成較強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)意識(shí)，在今后的實(shí)際研究中具有正確地選擇、運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的能力。第一章緒論

教育統(tǒng)計(jì)方法在教育科學(xué)研究中的作用

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的內(nèi)容

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展教育統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)基礎(chǔ)概念什么是教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)是專門研究如何運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和方法，搜集、整理、分析教育科學(xué)研究中獲得的隨機(jī)性數(shù)據(jù)資料，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)資料所傳遞的信息，進(jìn)行科學(xué)推論找出教育活動(dòng)規(guī)律的一門科學(xué)。具體講，就是在教育研究中，通過調(diào)查、實(shí)驗(yàn)、測(cè)量等手段有意獲取一些數(shù)據(jù)，并將得到的數(shù)據(jù)按統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和步驟加以整理、計(jì)算、繪制圖表、分析、判斷、推理，最后得出結(jié)論的一種研究方法。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的性質(zhì)

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)是心理學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)交叉結(jié)合的學(xué)科，是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在教育領(lǐng)域的具體應(yīng)用，屬于應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的范疇，是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。它是教育科學(xué)研究中廣泛應(yīng)用的、也是最基本的一種定量化的研究工具。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)系

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的領(lǐng)域包括怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，如何從局部觀測(cè)推論整體情況，如何從特殊情況推論一般規(guī)律，如何對(duì)假設(shè)進(jìn)行推論估計(jì)與檢驗(yàn)等等。教育統(tǒng)計(jì)學(xué)偏重于數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法如何在教育科學(xué)研究中的應(yīng)用，因而對(duì)各種統(tǒng)計(jì)方法公式的推導(dǎo)及理論上的證明介紹較少，著重介紹各種統(tǒng)計(jì)方法在不同的教育研究中應(yīng)用的條件和具體方法，及其統(tǒng)計(jì)結(jié)果的解釋。一般講，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)介紹的方法，大都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)已確認(rèn)的，但是，隨著教育科學(xué)研究的發(fā)展與深入，實(shí)踐中會(huì)提出更多的如何處理數(shù)據(jù)的問題，需要教育統(tǒng)計(jì)學(xué)加以研究解決，這又為數(shù)理統(tǒng)計(jì)提供或補(bǔ)充了新的研究?jī)?nèi)容?？梢姡瑪?shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)和教育統(tǒng)計(jì)學(xué)二者之間是理論與實(shí)踐的關(guān)系。學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的意義

（1）統(tǒng)計(jì)學(xué)為科學(xué)研究提供了一種科學(xué)方法。（2）教育統(tǒng)計(jì)學(xué)是教育科學(xué)研究定量分析的重要重要工具。（3）廣大教育工作者學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)既可以順利地閱讀國(guó)內(nèi)外先進(jìn)的研究成果，又可以提高工作的科學(xué)性和效率，同時(shí)也為學(xué)習(xí)教育測(cè)量打下基礎(chǔ)。教育科學(xué)研究數(shù)據(jù)的特點(diǎn)

（1）教育科學(xué)研究數(shù)據(jù)與結(jié)果多用數(shù)字形式呈現(xiàn)；（2）教育科學(xué)研究數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性和變異性；（3）教育科學(xué)研究數(shù)據(jù)具有規(guī)律性；（4）教育科學(xué)研究的目的是通過部分?jǐn)?shù)據(jù)來推測(cè)總體特征。總之，在教育科學(xué)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，所獲得的數(shù)據(jù)都具有變異性與規(guī)律性的特點(diǎn)。

學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)要注意的問題

（1）在學(xué)習(xí)教育統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)，必須克服畏難情緒。（2）在學(xué)習(xí)時(shí)要重點(diǎn)掌握各種統(tǒng)計(jì)方法使用的條件。（3）要做一定的練習(xí)。在應(yīng)用教育統(tǒng)計(jì)學(xué)

各種方法時(shí)要切記的要點(diǎn)

（1）克服“統(tǒng)計(jì)無用”與“統(tǒng)計(jì)萬能”的思想，要注意科研道德。（2）正確地選用統(tǒng)計(jì)方法，防止亂用統(tǒng)計(jì)。

思考題

選用統(tǒng)計(jì)方法有哪幾個(gè)步驟?

①要分析一下實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)是否合理，即所獲得的數(shù)據(jù)是否適合用統(tǒng)計(jì)方法去處理，正確的數(shù)量化是應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法的起步，如果對(duì)數(shù)量化的過程及其意義沒有了解，將一些不著邊際的數(shù)據(jù)加以統(tǒng)計(jì)處理是毫無意義的。②要分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的類型。不同數(shù)據(jù)類型所使用的統(tǒng)計(jì)方法有很大差別，了解實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的類型和水平，對(duì)選用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法至關(guān)重要。③要分析數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，如總體方差的情況，確定其是否滿足所選用的統(tǒng)計(jì)方法的前提條件。答:教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的分類

（1）依研究的問題實(shí)質(zhì)來劃分，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究?jī)?nèi)容可劃分為描述一件事物的性質(zhì)、比較兩件事物之間的差異、分析影響事物變化的因素、一件事物兩種不同屬性之間的相互關(guān)系、取樣方法等等。（2）依統(tǒng)計(jì)方法的功能進(jìn)行分類，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究?jī)?nèi)容可分為描述統(tǒng)計(jì)、推論統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。描述統(tǒng)計(jì)

主要研究如何整理科學(xué)實(shí)驗(yàn)或調(diào)查得來的大量數(shù)據(jù)，描述一組數(shù)據(jù)的全貌，表達(dá)一件事物的性質(zhì)。具體內(nèi)容包括：

（1）數(shù)據(jù)如何分組，如何使用各種統(tǒng)計(jì)圖表描述一組數(shù)據(jù)的分布情況；（2）怎樣計(jì)算一組數(shù)據(jù)的特征值，簡(jiǎn)縮數(shù)據(jù)，進(jìn)一步描述一組數(shù)據(jù)的全貌；（3）表示一事物兩種或兩種以上屬性間相互關(guān)系的描述及各種相關(guān)系數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用條件，描述數(shù)據(jù)分布特征的峰度及偏度系數(shù)計(jì)算方法等。

推論統(tǒng)計(jì)

主要研究如何通過局部數(shù)據(jù)所提供的信息，推論總體（或稱全局）的情形。具體內(nèi)容包括：

（1）如何對(duì)假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，即各種各樣的假設(shè)檢驗(yàn)，包括大樣本檢驗(yàn)方法（z檢驗(yàn)），小樣本檢驗(yàn)方法（t檢驗(yàn)），各種計(jì)數(shù)資料的假設(shè)檢驗(yàn)的方法（百分?jǐn)?shù)檢驗(yàn)、χ2檢驗(yàn)等），變異數(shù)分析的方法（F檢驗(yàn)），回歸分析方法等等。（2）總體參數(shù)的估計(jì)方法。（3）各種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)方法等。實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

主要目的在于研究如何科學(xué)地、經(jīng)濟(jì)地以及更有效地進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。具體內(nèi)容包括：在實(shí)驗(yàn)以前對(duì)研究的基本步驟、取樣方法、實(shí)驗(yàn)條件的控制、實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方法等作出嚴(yán)格的規(guī)定。

描述統(tǒng)計(jì)、推論統(tǒng)計(jì)和實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)這三部分統(tǒng)計(jì)內(nèi)容有何關(guān)系?思考題

教育統(tǒng)計(jì)學(xué)的三個(gè)組成部分的內(nèi)容不是截然分開的，而是相互聯(lián)系的。描述統(tǒng)計(jì)是推論統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，推論統(tǒng)計(jì)離不開描述統(tǒng)計(jì)計(jì)算所獲得的特征值；描述統(tǒng)計(jì)只是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一般的分析歸納，如果不進(jìn)一步應(yīng)用推論統(tǒng)計(jì)作進(jìn)一步的分析，描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果就不會(huì)產(chǎn)生更大的價(jià)值和意義，達(dá)不到統(tǒng)計(jì)分析的最終目的要求。同樣，只有良好的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)才能使所獲得的數(shù)據(jù)具有意義，進(jìn)一步的統(tǒng)計(jì)處理才能說明問題。當(dāng)然一個(gè)好的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，也必須符合基本的統(tǒng)計(jì)方法的要求，否則，再好的設(shè)計(jì)，如果事先沒有確定適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法處理，在處理研究結(jié)果時(shí)可能會(huì)遇到許多麻煩問題。答:教育統(tǒng)計(jì)與心理統(tǒng)計(jì)的異同

相同之處：二者的研究對(duì)象都是人，教育現(xiàn)象在很多情況下要通過人的心理現(xiàn)象去觀察和分析，統(tǒng)計(jì)方法基本相同。不同之處：

①在統(tǒng)計(jì)方法上：在教育方面的研究中，大樣本的統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用較多；而在心理學(xué)上小樣本的方法較多。②在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的水平上：教育實(shí)驗(yàn)中控制因素較難，采用自然實(shí)驗(yàn)、準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方式較多，對(duì)統(tǒng)計(jì)結(jié)果的解釋需要特別謹(jǐn)慎；而心理學(xué)實(shí)驗(yàn)則在實(shí)驗(yàn)室條件下進(jìn)行較多，對(duì)各種實(shí)驗(yàn)變量的控制相對(duì)容易，統(tǒng)計(jì)處理結(jié)果的解釋也較易進(jìn)行。統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展歷程

（1）最初的統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)治者用以治國(guó)的方法，對(duì)于人口、土地、物產(chǎn)、貢賦、士兵與戰(zhàn)車等都需要統(tǒng)計(jì)。（2）隨著科學(xué)的進(jìn)步，在概率論的基礎(chǔ)上逐步形成了推測(cè)性的數(shù)理統(tǒng)計(jì)。（3）數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展經(jīng)歷了兩個(gè)階段：描述統(tǒng)計(jì)學(xué)與推論統(tǒng)計(jì)學(xué)。描述統(tǒng)計(jì)學(xué)產(chǎn)生于20世紀(jì)20年代之前，以高爾頓和皮爾遜為代表。推論統(tǒng)計(jì)學(xué)產(chǎn)生于20年代之后，以費(fèi)舍為代表。（4）二戰(zhàn)以后，非參數(shù)方法、序列分析、隨機(jī)過程的研究、小樣本分布這些都逐漸被認(rèn)識(shí)和應(yīng)用。而且隨著一元統(tǒng)計(jì)方法的逐步完善與拓寬，多元統(tǒng)計(jì)理論與方法也被應(yīng)用到各種實(shí)際研究中。統(tǒng)計(jì)在教育與心理研究中的應(yīng)用

（1）作為一門應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)分支學(xué)科，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)基本上是隨著數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展而發(fā)展的；同時(shí)心理與教育研究的發(fā)展也不斷充實(shí)著統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。許多現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)理論最初是來自教育與心理研究的。例如，因子分析源出于心理學(xué)研究。（2）英國(guó)的高爾頓最早將統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于心理學(xué)研究，首創(chuàng)回歸原理。皮爾遜也將相關(guān)系數(shù)及χ2檢驗(yàn)等應(yīng)用于心理研究中。斯皮爾曼對(duì)心理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展做了很多工作，延伸了相關(guān)系數(shù)的概念，導(dǎo)出等級(jí)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法；提出因子分析的思想，用統(tǒng)計(jì)方法處理心理實(shí)驗(yàn)結(jié)果。（3）貢獻(xiàn)較大的有卡特爾、桑代克、瑟斯頓等人。1904年，桑代克出版《心理與社會(huì)測(cè)量》一書，極力提倡以心理學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)為工具而研究教育學(xué)，推廣運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法研究心理與教育方面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。20世紀(jì)20年代，瑟斯頓等人對(duì)因素分析在心理學(xué)研究中的廣泛應(yīng)用也作了很大貢獻(xiàn)。統(tǒng)計(jì)在中國(guó)的發(fā)展與應(yīng)用

（1）教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)在辛亥革命以后傳到我國(guó)。當(dāng)時(shí)教育與心理統(tǒng)計(jì)、教育與心理測(cè)量都作為高等、中等師范院校的必修課程，有一大批專家、學(xué)者從事這方面的研究、講授工作，出版了不少關(guān)于教育與心理統(tǒng)計(jì)方面的譯著、專著。

（2）20世紀(jì)80年代以后，教育與心理心理統(tǒng)計(jì)學(xué)開始復(fù)蘇。在二十多年中，我國(guó)的教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)科在教學(xué)、研究、培養(yǎng)人才等各方面取得了非常豐碩的成果。（3）目前，教育與心理統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)和研究進(jìn)入穩(wěn)步快速發(fā)展時(shí)期。

數(shù)據(jù)的類型（一）

從數(shù)據(jù)的觀測(cè)方法和來源劃分，研究數(shù)據(jù)可區(qū)分為計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)兩大類。

計(jì)數(shù)數(shù)據(jù)是指計(jì)算個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)，一般屬性的調(diào)查獲得的是此類數(shù)據(jù)，它具有獨(dú)立的分類單位，一般都取整數(shù)的形式。測(cè)量數(shù)據(jù)是借助于一定的測(cè)量工具或一定的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)而獲得的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的類型（二）

根據(jù)數(shù)據(jù)反映的測(cè)量水平，可把數(shù)據(jù)區(qū)分為稱名數(shù)據(jù)、順序數(shù)據(jù)、等距數(shù)據(jù)和比率數(shù)據(jù)四種類型。稱名數(shù)據(jù)只說明某一事物與其它事物在屬性上的不同或類別上的差異，它具有獨(dú)立的分類單位，其數(shù)值一般都取整數(shù)形式，只計(jì)算個(gè)數(shù)，并不說明事物之間差異的大小。順序數(shù)據(jù)是指既無相等單位，也無絕對(duì)零點(diǎn)的數(shù)據(jù)，是按事物某種屬性的多少或大小，按次序?qū)⒏鱾€(gè)事物加以排列后獲得的數(shù)據(jù)資料。等距數(shù)據(jù)是具有相等單位，但無絕對(duì)零點(diǎn)的數(shù)據(jù)。比率數(shù)據(jù)既表明量的大小，也有相等單位，同時(shí)還具有絕對(duì)零點(diǎn)的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)的類型（三）

按照數(shù)據(jù)是否具有連續(xù)性，把數(shù)據(jù)劃分為離散數(shù)據(jù)和連續(xù)數(shù)據(jù)。離散數(shù)據(jù)一般取整數(shù)，在兩個(gè)單位之間不能再劃分細(xì)小單位。連續(xù)數(shù)據(jù)的單位可以劃得很細(xì)微，細(xì)微的程度能達(dá)到只可想象而不能看見的程度。

變量、觀測(cè)值、隨機(jī)變量

變量是指教育實(shí)驗(yàn)、觀察、調(diào)查中想要獲得的數(shù)據(jù)。觀測(cè)值是指某一變量的某個(gè)確定的取值。隨機(jī)變量是指在取值之前不能預(yù)料取到什么值的變量。作為連續(xù)隨機(jī)變量，其數(shù)值只是表示連續(xù)變量的中央點(diǎn)值，在數(shù)軸上表示的是一段距離，或一個(gè)區(qū)間。因此，一個(gè)隨機(jī)變量不管寫成整數(shù)或小數(shù)，實(shí)際是用一個(gè)單位的中央點(diǎn)表示在它以上和以下各有一段距離。例如：連續(xù)隨機(jī)變量1是表示0.5—1.499…。但在心理統(tǒng)計(jì)中也有例外的情況。如年齡的表示，一般5歲是指5歲開始到5歲11個(gè)月又30天。而作為離散的隨機(jī)變量，其數(shù)值表示的是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)值。總體、個(gè)體和樣本總體是指具有某種特征的一類事物的全體。構(gòu)成總體的每個(gè)基本單元稱為個(gè)體。從總體中抽取的一部分個(gè)體，稱為總體的一個(gè)樣本。樣本中包含的個(gè)體數(shù)目稱為樣本容量，一般用n表示。一般情況下，n>30的樣本稱為大樣本；n>30的樣本稱為小樣本。

次數(shù)、頻率與概率

次數(shù)（頻數(shù)）

次數(shù)是指某一事件在某一類別中出現(xiàn)的數(shù)目。一般用符號(hào)f表示。頻率（相對(duì)次數(shù)）

頻率是指某一事件的次數(shù)被總的事件數(shù)目除。亦即某一數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)被一組數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)去除。頻率通常用比例或百分?jǐn)?shù)表示。概率（機(jī)率或然率）

概率是指某事件在無限的觀測(cè)中所能預(yù)料的相對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)。換一句話說，就是某一事件或某種情況在某一總體中出現(xiàn)的比率。概率常用符號(hào)P表示。統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)

統(tǒng)計(jì)量是指樣本的特征值。它是根據(jù)科研實(shí)驗(yàn)所獲得的一組觀測(cè)值計(jì)算出來的一些量數(shù)，它可以描述一組數(shù)據(jù)的情況。參數(shù)是指總體的特征值。它是描述一個(gè)總體情況的一些統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。思考題統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)之間有何區(qū)別和聯(lián)系?

區(qū)別：①參數(shù)是從整個(gè)總體中計(jì)算得到的量數(shù)，通常是通過相應(yīng)樣本特征值來預(yù)測(cè)得到；統(tǒng)計(jì)量是從一個(gè)樣本中計(jì)算出來的一些量數(shù)，它可以描述一組數(shù)據(jù)的情況。②參數(shù)代表總體的特性，它是一個(gè)常數(shù)；統(tǒng)計(jì)量代表樣本的特性，它是一個(gè)變量，隨著樣本的變化而變化。③參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量之間最明顯的區(qū)別是參數(shù)常用希臘字母表示，而統(tǒng)計(jì)量常用英文字母表示。聯(lián)系：從數(shù)值計(jì)算上講，當(dāng)總體大小已知并與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的總次數(shù)相同時(shí)，統(tǒng)計(jì)量與參數(shù)是同一統(tǒng)計(jì)指標(biāo)；當(dāng)總體為無限時(shí)，統(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)不同，但統(tǒng)計(jì)量可在某種程度上作為總體參數(shù)的估計(jì)值。通過樣本統(tǒng)計(jì)量，對(duì)總體參數(shù)做出預(yù)測(cè)和估計(jì)。答:第二章統(tǒng)計(jì)圖表

數(shù)據(jù)的初步整理次數(shù)分布表次數(shù)分布圖其他類型的統(tǒng)計(jì)圖表數(shù)據(jù)初步整理的方法

（1）數(shù)據(jù)排序

數(shù)據(jù)排序是指按照某種標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)收集到的雜亂無章的數(shù)據(jù)按照一定的順序標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行排列。

數(shù)據(jù)排序是整理數(shù)據(jù)最簡(jiǎn)單的方法。（2）統(tǒng)計(jì)分組

統(tǒng)計(jì)分組是指根據(jù)被研究對(duì)象的特征，將所得數(shù)據(jù)劃分到各個(gè)類別中去。

對(duì)研究中所獲得的大量數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理的重要步驟。統(tǒng)計(jì)分組應(yīng)注意的事項(xiàng)

統(tǒng)計(jì)分組前的準(zhǔn)備

將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組前，先要對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)做進(jìn)一步的核對(duì)和校驗(yàn)。校核數(shù)據(jù)的目的是為了盡可能地消去記錄誤差，以便后續(xù)的統(tǒng)計(jì)分析建立在一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。統(tǒng)計(jì)分組時(shí)應(yīng)注意的問題

①分組要以被研究對(duì)象的本質(zhì)特性為基礎(chǔ)；

②分類標(biāo)志要明確，要能包括所有的數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)分組標(biāo)志的類型

（1）性質(zhì)類別

主要是根據(jù)事物的屬性不同將被觀測(cè)的事物加以劃分，反映事物在組別、種類上的不同，不說明事物之間的數(shù)量差異。性質(zhì)類別可根據(jù)事物的性質(zhì)及研究的需要分成不同的層次，每個(gè)層次又可分為不同數(shù)量的細(xì)目。（2）數(shù)量類別

這是以數(shù)據(jù)的取值大小為分類標(biāo)志，把數(shù)據(jù)按數(shù)值大小以分組或不分組的形式排出一個(gè)順序來。統(tǒng)計(jì)表

統(tǒng)計(jì)表的作用

統(tǒng)計(jì)表是用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明的事物數(shù)量關(guān)系的表格。它可以將大量數(shù)據(jù)的分類結(jié)果，清晰、概括、一目了然地表達(dá)出來，明顯地反映出事物的全貌及其蘊(yùn)涵的特性，具有簡(jiǎn)明、清晰、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，表中的數(shù)據(jù)易于比較分析。統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)表一般由表號(hào)、名稱、標(biāo)目、數(shù)字、表注等項(xiàng)構(gòu)成。統(tǒng)計(jì)表的編制要求按統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)逐項(xiàng)說明編制的要求（見教材P27—28）。

統(tǒng)計(jì)表的結(jié)構(gòu)和組成要素圖示80名員工對(duì)主管盡職情況評(píng)定人數(shù)①非常不盡職②不盡職③不置可否④盡職⑤非常盡職93010256總計(jì)80表2－180名員工對(duì)部門主管盡職程度調(diào)查結(jié)果表號(hào)標(biāo)題標(biāo)目表注*注：表中的數(shù)據(jù)來源于例[2-1]標(biāo)目頂線表線數(shù)字底線統(tǒng)計(jì)圖

統(tǒng)計(jì)圖的作用

統(tǒng)計(jì)圖是用來表達(dá)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)與被說明的事物之間數(shù)量關(guān)系的圖形。它以直觀形象的形式表達(dá)出事物的全貌及其分布特征，給人簡(jiǎn)明扼要、清晰易懂的印象，便于學(xué)習(xí)與記憶。統(tǒng)計(jì)圖的結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)圖由圖號(hào)、圖題、圖目、圖尺、圖形、圖例、圖注等項(xiàng)構(gòu)成。統(tǒng)計(jì)圖的繪制要求按統(tǒng)計(jì)圖的組成部分逐項(xiàng)說明繪制要點(diǎn)（見教材P28—29）。統(tǒng)計(jì)圖結(jié)構(gòu)要素意圖Y軸名稱尺度單位填充圖案輪廓線基線X軸名稱

刻度標(biāo)記圖尺圖號(hào)圖題圖目簡(jiǎn)單次數(shù)分布表

簡(jiǎn)單次數(shù)分布表就是依據(jù)每一個(gè)分?jǐn)?shù)值在一列數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)或總計(jì)數(shù)資料編制成的統(tǒng)計(jì)表。在心理與教育研究中，許多態(tài)度、興趣、偏好等測(cè)驗(yàn)或調(diào)查的結(jié)果，都能制作成這種簡(jiǎn)單次數(shù)分布表。分組次數(shù)分布表的概念

當(dāng)數(shù)據(jù)量很大時(shí)，應(yīng)該把所有的數(shù)據(jù)先劃分為若干分組區(qū)間，然后將數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小劃歸到相應(yīng)的組別內(nèi)，分別統(tǒng)計(jì)各個(gè)組別中包括的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，再用列表形式呈現(xiàn)出來，就構(gòu)成了分組次數(shù)分布表。（1）求全距（R）：（2）決定組數(shù)（K）與組距（i）：決定組距的大小，需要以全距為參考。組數(shù)的多少要根據(jù)數(shù)據(jù)的多少來定。如果數(shù)據(jù)的總體分布為正態(tài)，可用經(jīng)驗(yàn)公式：來計(jì)算組數(shù)，然后由公式：來確定組距。（3）列出分組區(qū)間：列分組區(qū)間要注意以下幾點(diǎn)：①最高組區(qū)間內(nèi)應(yīng)包含最大值的數(shù)據(jù)，最低組區(qū)間應(yīng)能含最小值的數(shù)據(jù)；②最高組或最低組的下限最好是組距的整數(shù)倍；③各分組區(qū)間一般在縱坐標(biāo)上按順序排列，數(shù)值大的分組區(qū)間排在上面，數(shù)值小的分組區(qū)間排在下面。（4）登記次數(shù)：依次將數(shù)據(jù)登記到各個(gè)相應(yīng)的組別內(nèi)，一般用劃線記數(shù)或?qū)懻值姆椒?。?）計(jì)算次數(shù)：根據(jù)登記的結(jié)果計(jì)算各組的次數(shù)，計(jì)算各組次數(shù)的總和即總次數(shù)。（6）抄錄新表：新表包括的欄目有：第一列為分組區(qū)間，第二列為各分組區(qū)間的組中值，第三列為次數(shù)。分組次數(shù)分布表的編制步驟

分組次數(shù)分布表的意義與缺點(diǎn)

分組次數(shù)分布表的意義編制分組次數(shù)分布表，可將一堆雜亂無序的數(shù)據(jù)排列成序。從表中可以發(fā)現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)的出現(xiàn)次數(shù)是多少，其分布的狀態(tài)如何。分組次數(shù)分布表的缺點(diǎn)分組次數(shù)分布表也有缺點(diǎn)，僅從這張表看，原始數(shù)據(jù)不見了，只見到各分組區(qū)間及各組的次數(shù)。根據(jù)這樣的統(tǒng)計(jì)表提供的數(shù)據(jù)資料計(jì)算得到的平均值，會(huì)與用原始數(shù)據(jù)計(jì)算的值有一定的出入。將分組次數(shù)分布表中各組的實(shí)際次數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)次數(shù)，即用頻數(shù)比率（）或百分比（）來表示次數(shù)，就可制成相對(duì)次數(shù)分布表。相對(duì)次數(shù)分布表

累加次數(shù)分布表

在一般的分組次數(shù)分布表上，只標(biāo)出各分組區(qū)間的數(shù)據(jù)次數(shù)。如果想知道某個(gè)數(shù)值以下或以上的數(shù)據(jù)的數(shù)目，就要用累加次數(shù)。累加次數(shù)是把各組的次數(shù)由下而上，或由上而下累加在一起。最后一組的累加次數(shù)應(yīng)等于數(shù)據(jù)的總次數(shù)。用累加次數(shù)表示的次數(shù)分布表稱為累加次數(shù)分布表。累加次數(shù)分布表中，累加次數(shù)可用實(shí)際次數(shù)，亦可用相對(duì)次數(shù)。累加次數(shù)的計(jì)算方法有兩種：①?gòu)姆植急淼男?shù)值端，逐區(qū)間的進(jìn)行次數(shù)累加，這種累加次數(shù)可回答次數(shù)分布表某一分組區(qū)間上限以下的次數(shù)是多少。②從分布表的大數(shù)端逐區(qū)間的次數(shù)累加，這種累加次數(shù)可回答某一分組區(qū)間下限以上的次數(shù)是多少。雙列次數(shù)分布表

雙列次數(shù)分布表是對(duì)有聯(lián)系的兩列變量用同一表表示其次數(shù)分布。

所謂有聯(lián)系的兩列變量，是指同一組被試中每個(gè)被試兩門學(xué)業(yè)成績(jī)分?jǐn)?shù)，或兩種能力分?jǐn)?shù)或兩種心理特點(diǎn)的指標(biāo)，或同一組被試在兩種實(shí)驗(yàn)條件下獲得的結(jié)果等。再如，各方面基本相同的兩個(gè)被試進(jìn)行同一測(cè)量所得的結(jié)果也是有聯(lián)系的。如果有多個(gè)這樣的被試，他們的測(cè)試數(shù)據(jù)也構(gòu)成有聯(lián)系的兩列變量。編制雙列次數(shù)分布表，首先按照分組次數(shù)分布表的編制方法，分別列出各變量的分組區(qū)間，將一列變量的分組區(qū)間豎列，將另一變量橫列。豎列的小數(shù)端在下，大數(shù)端在上，橫列的小數(shù)端在左而大數(shù)端在右。登記時(shí)，每次同一對(duì)變量同時(shí)登記在相應(yīng)的格內(nèi)。不等距次數(shù)分布表

一般分組次數(shù)分布表都是等距的。但實(shí)際研究中常遇到不等距的情況，如工資級(jí)別，年齡分組等，若按等距分組不能確切地反映實(shí)際情況，這時(shí)可采用不等距分組的方法。這樣的不等距分組的分組次數(shù)分布表就叫做不等距次數(shù)分布表。直方圖

直方圖（等距直方圖）是以矩形的面積表示連續(xù)性隨機(jī)變量次數(shù)分布的圖形。直方圖一般用縱軸表示數(shù)據(jù)的次數(shù)（頻數(shù)），橫軸表示數(shù)據(jù)的等距分組點(diǎn)（即各分組區(qū)間的下限）。在制作直方圖時(shí)，以組距為底邊，以分組區(qū)間的精確上下限為底邊二端點(diǎn)，以次數(shù)為高畫矩形，各直條矩形之間不留空隙，沒有間隔（參見教材圖2—3）。也可以不畫矩形，只要使直方圖包圍的面積成封閉的圖形即可，這種圖又叫組織圖（參見教材圖2—4）。次數(shù)多邊形圖

次數(shù)多邊形圖是表示連續(xù)性隨機(jī)變量次數(shù)分布的線性圖。

繪制次數(shù)多邊形圖時(shí)，橫坐標(biāo)是以各分組區(qū)間組中值表示的連續(xù)變量，縱坐標(biāo)是數(shù)據(jù)的頻數(shù)。以每個(gè)分組區(qū)間的組中值為橫坐標(biāo)，以各組的次數(shù)為縱坐標(biāo)標(biāo)點(diǎn)，連接各點(diǎn)，就成為一條折線（參見教材圖2—5）。多邊形圖與直方圖雖然都是以面積表示表示連續(xù)性數(shù)據(jù)的次數(shù)分布，但次數(shù)多邊形對(duì)次數(shù)的輪廓顯示得更好，組與組之間的次數(shù)過渡是連續(xù)而直接的。如果樣本很大，能描繪出一條分布曲線，還可據(jù)此找到次數(shù)分布的經(jīng)驗(yàn)公式。這樣就能夠?qū)τ诳傮w的理論次數(shù)分布的分析提供很多有用的信息累加次數(shù)分布圖（1）累加直方圖

這種圖的橫坐標(biāo)同直方圖一樣，標(biāo)以分組區(qū)間，縱坐標(biāo)是累加次數(shù)，其余步驟同繪制直方圖的要求一樣（參見教材圖2—7）。（2）累加曲線（又稱遞加線）

它的畫法同次數(shù)多邊形基本相同，不同點(diǎn)是橫坐標(biāo)為每分組區(qū)間的精確上限或下限，縱坐標(biāo)是各分組的累加次數(shù)，分別標(biāo)出各個(gè)交點(diǎn)，連接各交點(diǎn)即可畫成累加曲線。如果有累加直方圖，連接各組矩形的右頂點(diǎn)可畫累加曲線（參見教材圖2—8）。

其他常用的統(tǒng)計(jì)表的類型

（1）簡(jiǎn)單表

只列出名稱、地點(diǎn)時(shí)序或統(tǒng)計(jì)指標(biāo)名稱的統(tǒng)計(jì)表。（2）分組表（單向表）

只有一個(gè)分類標(biāo)志分組的統(tǒng)計(jì)表。（3）復(fù)合表

統(tǒng)計(jì)分組的標(biāo)志有兩個(gè)或兩個(gè)以上的表。其他常用的統(tǒng)計(jì)圖的類型（1）條形圖（直條圖）

條形圖主要用于表示離散型數(shù)據(jù)資料，它是以條形長(zhǎng)短表示各事物間數(shù)量的大小與數(shù)量之間的差異情況。（2）圓形圖

圓形圖主要用于描述間斷性資料，目的為顯示各部分在整體中所占的比重大小，以及各部分之間的比較。圓形圖顯示的資料多以相對(duì)數(shù)（如百分?jǐn)?shù)）為主。（3）線形圖

線形圖更多地用于連續(xù)資料，凡欲表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，或描述某種現(xiàn)象在時(shí)間上的發(fā)展趨勢(shì)，或一種現(xiàn)象隨另一種現(xiàn)象變化的情形，用線性圖表示是較好的方法。（4）散點(diǎn)圖

散點(diǎn)圖是用相同大小圓點(diǎn)的多少或疏密表示統(tǒng)計(jì)資料數(shù)量的大小，以及變化趨勢(shì)的圖。通常以圓點(diǎn)的分布的形態(tài)表示兩種現(xiàn)象間相關(guān)程度。

直方圖、條形圖、圓形圖、線性圖、散點(diǎn)圖等這些常用的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)它們表現(xiàn)的作用和內(nèi)容，把它們可分為哪幾類？

思考題根據(jù)它們表現(xiàn)的作用和內(nèi)容，把它們可分為五類。第一種是表現(xiàn)分布的圖，比如直方圖。第二種是表現(xiàn)內(nèi)容的圖，如條形圖和圓形圖。第三種是表現(xiàn)變化的圖，這種圖形的代表是線性圖。第四種是表現(xiàn)比較的圖，這幾種圖形都能采用。第五種是表現(xiàn)相關(guān)的圖，如散點(diǎn)圖。答:第三章集中量數(shù)算術(shù)平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)其它集中量數(shù)（加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等）集中量數(shù)的概念集中量數(shù)就是對(duì)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量。它反映了次數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某方向集中的程度。

常用的集中量數(shù)有算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)等。

算術(shù)平均數(shù)是所有觀察值的總和除以總頻數(shù)所得之商。用表示。若以X1，X2，···，XN表示變量X的各個(gè)觀察值，N

表示觀察值的個(gè)數(shù)，則算術(shù)平均數(shù)可表示為：

算術(shù)平均數(shù)的概念

（1）在一組數(shù)據(jù)中每個(gè)變量與平均數(shù)之差的總和等于0，即。（2）在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都加上一常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)C，即。（3）在一組數(shù)據(jù)中，每一個(gè)數(shù)都乘以一常數(shù)C，則所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常數(shù)C，即。

算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)（1）未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）計(jì)算法（2）數(shù)據(jù)分組后（次數(shù)分布表）計(jì)算法

（式中XC為各區(qū)間的組中值，f為各區(qū)間的次數(shù)）

算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法

算術(shù)平均數(shù)的優(yōu)缺點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)具備一個(gè)良好的集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件：

①反應(yīng)靈敏；②嚴(yán)密確定；③簡(jiǎn)明易懂；④計(jì)算簡(jiǎn)單；⑤適合代數(shù)運(yùn)算；⑥較少受抽樣變動(dòng)的影響。除此之外，算術(shù)平均數(shù)還有以下一些特殊的優(yōu)點(diǎn)：

①只知一組觀察值的總和及總頻數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)；②用加權(quán)法可以求出幾個(gè)平均數(shù)的總平均數(shù)；③用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量數(shù)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)最接近總體集中量數(shù)的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計(jì)值；④在計(jì)算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)，都要用到它。但是算術(shù)平均數(shù)也有一些缺點(diǎn)：

①易受極端數(shù)據(jù)的影響；②若出現(xiàn)模糊不清的數(shù)據(jù)時(shí)，無法計(jì)算平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)的意義、適用條件及應(yīng)用原則算術(shù)平均數(shù)的意義

算術(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的集中量數(shù)，它是“真值”漸近、最佳的估計(jì)值。算術(shù)平均數(shù)的適用的條件

一組數(shù)據(jù)是比較準(zhǔn)確，可靠又同質(zhì)，而且需要每一個(gè)數(shù)據(jù)都加入計(jì)算，同時(shí)還要作進(jìn)一步代數(shù)運(yùn)算時(shí)，這時(shí)就需要用算術(shù)平均數(shù)表示其集中趨勢(shì)。計(jì)算和應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)的原則

①同質(zhì)性原則；②平均數(shù)與個(gè)體數(shù)值相結(jié)合的原則；③平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、方差相結(jié)合的原則。

中數(shù)是按順序排列在一起的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，即在這組數(shù)據(jù)中，有一半的數(shù)據(jù)比它大，有一半的數(shù)據(jù)比它小。中數(shù)用Ｍd表示。中數(shù)的概念

（1）一組數(shù)據(jù)中無重復(fù)數(shù)值的情況

指一組數(shù)據(jù)中沒有相同的數(shù)，這時(shí)取處于序列中間位置的那個(gè)數(shù)為中數(shù)。如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則中數(shù)為位置的那個(gè)數(shù)；如果數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中數(shù)為居于中間位置兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即第與第位置的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)。（2）一組數(shù)據(jù)中有重復(fù)數(shù)值的情況

指一組數(shù)據(jù)中有相同數(shù)值的數(shù)據(jù)，這時(shí)計(jì)算中數(shù)的方法基本與無重復(fù)數(shù)值的單列數(shù)據(jù)相同。但根據(jù)重復(fù)數(shù)值數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中所處的位置又細(xì)分為以下兩種情況：①當(dāng)重復(fù)數(shù)值沒有位于數(shù)列中間時(shí)，求中數(shù)的方法與無重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)求中數(shù)的方法相同。②當(dāng)重復(fù)數(shù)目位于數(shù)列中間時(shí)，需要假設(shè)位于中間的幾個(gè)重復(fù)數(shù)目為連續(xù)數(shù)目，取序列中上下各那一點(diǎn)上的數(shù)值為中數(shù)。未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）求中數(shù)的方法

將原始數(shù)據(jù)整理成次數(shù)分布表后，求中數(shù)的原理同重復(fù)數(shù)目求中數(shù)是一樣的，也是取序列中將N平分為兩半的那一點(diǎn)的值作為中數(shù)。

或式中為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確下限，為中數(shù)所在分組區(qū)間的精確上限，為該組以下各組的累加次數(shù)，為該組以上各組的累加次數(shù)，為該組的次數(shù)。數(shù)據(jù)分組后（次數(shù)分布表）求中數(shù)的方法中數(shù)的意義與應(yīng)用

中數(shù)的意義

中數(shù)雖然也具備一個(gè)良好集中量數(shù)所應(yīng)具備的一些條件，如計(jì)算簡(jiǎn)單，嚴(yán)密確定，簡(jiǎn)明易懂；但與算術(shù)平均數(shù)相比是相形見絀的，如反應(yīng)不夠靈敏，受抽樣的影響較大，不適合代數(shù)運(yùn)算等。因此，在一般情況下，中數(shù)不被普遍應(yīng)用，但在一些特殊情況下，它的應(yīng)用受到重視。中數(shù)適用的情況（1）當(dāng)一組觀測(cè)結(jié)果中出現(xiàn)兩極端數(shù)目時(shí)；（2）當(dāng)次數(shù)分布的兩端數(shù)據(jù)或個(gè)別數(shù)據(jù)不清楚時(shí)；（3）當(dāng)需要快速估計(jì)一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)。

一項(xiàng)研究調(diào)查了19名大學(xué)生，他們的月消費(fèi)（單位：人民幣元）如下：

220，227，230，231，232，232，235，236，

237，239，240，245，246，249，253，258，

260，510，600現(xiàn)欲了解他們的平均月消費(fèi)？思考題由于這19名大學(xué)生的月消費(fèi)中存在極端數(shù)據(jù)，算術(shù)平均數(shù)（元）不能很好地反映他們的平均月消費(fèi)（19人中17人月消費(fèi)低于272.63元），應(yīng)求中數(shù)：

（元）答：這些大學(xué)生的平均月消費(fèi)是239元。解：

眾數(shù)有理論眾數(shù)和粗略眾數(shù)兩種定義方法。理論眾數(shù)是指與次數(shù)分布曲線最高點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點(diǎn)。粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)（或次數(shù)分布）中次數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)的數(shù)值。眾數(shù)用表示。眾數(shù)的概念

（1）用觀察法直接尋找粗略眾數(shù)

在一組原始數(shù)據(jù)中，次數(shù)出現(xiàn)最多的那個(gè)數(shù)值就是眾數(shù)；在次數(shù)分布表中，次數(shù)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。（2）用經(jīng)驗(yàn)公式求理論眾數(shù)的近似值①皮爾遜經(jīng)驗(yàn)法（適合正態(tài)分布）②金氏插補(bǔ)法（適合偏態(tài)分布）

其中為含眾數(shù)這一區(qū)間的精確下限，為高于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)，為低于眾數(shù)所在組一個(gè)組距那一分組區(qū)間的次數(shù)。眾數(shù)的計(jì)算方法眾數(shù)的意義與應(yīng)用

眾數(shù)的意義

眾數(shù)雖然簡(jiǎn)明易懂，較少受兩極端數(shù)值的影響，但它并不具備一個(gè)良好集中量數(shù)的基本條件。如極不準(zhǔn)確、穩(wěn)定，反應(yīng)不靈敏，不適合代數(shù)運(yùn)算，受抽樣的影響較大等。因此，在一般情況下，眾數(shù)應(yīng)用也不廣泛，但在一些特殊情況下也常有應(yīng)用。

眾數(shù)適用的情況（1）當(dāng)需要快速而粗略地尋求一組數(shù)據(jù)的代表值時(shí)；（2）當(dāng)一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)不同質(zhì)的情況時(shí)；（3）當(dāng)次數(shù)分布中有兩極端的數(shù)目時(shí)；（4）當(dāng)粗略估計(jì)次數(shù)分布的形態(tài)時(shí)。

學(xué)校要召開運(yùn)動(dòng)會(huì)，決定從高一年級(jí)8個(gè)班中抽調(diào)40名男生組成一個(gè)整齊的彩旗方陣隊(duì)，如果從高一（1）班的體檢表中任意抽出10份男生表格，得到10個(gè)男同學(xué)的身高（單位：米）如下：

1.631.601.681.661.66

1.631.751.661.581.65請(qǐng)根據(jù)這10個(gè)身高值提供的信息確定參加方隊(duì)學(xué)生的最佳身高值應(yīng)取多少？并說明理由。思考題

參加方隊(duì)學(xué)生的最佳身高值應(yīng)取1.66。這是因?yàn)閺倪@10個(gè)身高值可以看出，1.66出現(xiàn)的次數(shù)最多，是這組數(shù)的眾數(shù)，既然這10個(gè)男生中有3個(gè)身高為1.66米，而一個(gè)班遠(yuǎn)不止10個(gè)男生，那么8個(gè)班的男生中應(yīng)該能選出40名這種身高的人。答：（1）當(dāng)次數(shù)分布呈正態(tài)時(shí)：（2）當(dāng)次數(shù)分布呈正偏態(tài)時(shí)：且

（3）當(dāng)次數(shù)分布呈負(fù)偏態(tài)時(shí)：且

算術(shù)平均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)之間的關(guān)系

加權(quán)平均數(shù)的概念

加權(quán)平均數(shù)是不同比重?cái)?shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)，用表示。加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法

式中為權(quán)數(shù)加權(quán)平均數(shù)的應(yīng)用

當(dāng)測(cè)量所得的數(shù)據(jù)，其單位權(quán)重并不相等時(shí)，要用加權(quán)平均數(shù)來求平均數(shù)。加權(quán)平均數(shù)

幾何平均數(shù)的概念

幾何平均數(shù)是N個(gè)數(shù)值連乘積的N次方根，用表示。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法

幾何平均數(shù)的應(yīng)用

（1）直接應(yīng)用公式計(jì)算幾何平均數(shù)當(dāng)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，數(shù)據(jù)的分布呈偏態(tài)時(shí)，要用幾何平均數(shù)作為集中趨勢(shì)的代表。（2）應(yīng)用幾何平均數(shù)的變式計(jì)算當(dāng)一組數(shù)據(jù)彼此間變異較大，幾乎是按一定的比例關(guān)系變化時(shí)，要用幾何平均數(shù)計(jì)算平均比率。幾何平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)的概念

調(diào)和平均數(shù)（倒數(shù)平均數(shù)）是一組數(shù)據(jù)倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，用表示。

調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法

調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用

調(diào)和平均數(shù)在心理與教育研究方面的應(yīng)用，主要是用以描述學(xué)習(xí)速度方面的問題。調(diào)和平均數(shù)

第四章差異量數(shù)

全距與百分位差平均差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用差異量數(shù)的選用

差異量數(shù)的概念差異量數(shù)就是對(duì)一組數(shù)據(jù)的變異性（離中趨勢(shì)）特點(diǎn)進(jìn)行度量和描述的統(tǒng)計(jì)量。它反映了次數(shù)分布中數(shù)據(jù)彼此分散的程度。

常用的差異量數(shù)有全距、四分位差、百分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差與方差等等。

為什么要引入差異量數(shù)來描述一組數(shù)據(jù)的特征？

思考題在教育研究中，要全面描述數(shù)據(jù)的特征，不但要了解數(shù)據(jù)的典型情況，而且還要了解特殊情況。這些特殊性常表現(xiàn)為數(shù)據(jù)的變異性。因此，只有集中量數(shù)不可能真實(shí)地反映它們的分布情況。為了全面反映數(shù)據(jù)的總體情況，除了使用集中量數(shù)外，還需要引入差異量數(shù)。答:全距

全距的概念

全距是一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差。全距用R表示。

全距的計(jì)算方法

原始數(shù)據(jù)的全距是最大值與最小值之差。次數(shù)分布表的全距一般是最大一組與最小一組的組中值之差，或者是最大一組上限與最小一組下限之差

全距的意義與應(yīng)用

全距概念清楚，意義明確，計(jì)算簡(jiǎn)單，但它僅由最大值與最小值而求得，易受兩極端數(shù)值影響。不考慮中間數(shù)值的差異，它反應(yīng)不靈敏，因此，它只是一種低效的差異量數(shù)。它的用處一般只用于研究的預(yù)備階段，用它檢查數(shù)據(jù)的大概散布范圍，以便確定如何進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分組。

百分位數(shù)的概念

百分位數(shù)是位于依一定順序排列的一組數(shù)據(jù)中某一百分位置的數(shù)值。百分位數(shù)一般用表示。

百分位數(shù)的計(jì)算方法

這里表示百分位數(shù)所在組的精確下限，表示小于的各組次數(shù)的和。

百分位數(shù)

百分等級(jí)的概念

百分等級(jí)是指表示某一分?jǐn)?shù)在整個(gè)分?jǐn)?shù)分布中所處的百分位置。百分等級(jí)用表示。

百分等級(jí)的計(jì)算方法

這里表示該分?jǐn)?shù)所在組的精確下限，表示小于的各組次數(shù)的和。

百分等級(jí)百分位差的概念和計(jì)算

百分位差是指兩個(gè)百分位數(shù)之差。常用的百分位距有兩種：一為第90與第10百分位數(shù)之差，用表示。一為第93與第7百分位數(shù)之差，用表示。百分位差的意義與應(yīng)用

百分位差與全距相比，雖然少受兩極端數(shù)值的影響，但仍然不能很好地反映中間數(shù)據(jù)的散布情況，因此只作為主要差異量的補(bǔ)助量數(shù)，在實(shí)踐中很少使用。百分位差

四分位差的概念

四分位差是指在一個(gè)次數(shù)分布中，中間50%的次數(shù)的全距的一半。四分位差用Q表示。

四分位差的計(jì)算方法（1）未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）計(jì)算法

其中（第25百分位數(shù)）與（第75百分位數(shù)）求法可參照原始數(shù)據(jù)中位數(shù)的計(jì)算方法。（2）數(shù)據(jù)分組后（次數(shù)分布表）計(jì)算法

其中這里表示百分位數(shù)所在組的精確下限，表示小于的各組次數(shù)的和，表示百分位數(shù)所在組的次數(shù)；四分位差（一）

四分位差（二）四分位差的意義

四分位差簡(jiǎn)明易懂，計(jì)算簡(jiǎn)便，較少受兩極端數(shù)值的影響，比全距可靠得多。但它忽略了左右共50%數(shù)據(jù)的差異，又不適合代數(shù)運(yùn)算，反應(yīng)不夠靈敏，因而也限制了它的應(yīng)用，它通常與中數(shù)聯(lián)系起來共同應(yīng)用。

四分位差適用的情況

有特大或特小兩極端數(shù)值，有個(gè)別數(shù)值不確切、不清楚，以及用等級(jí)表示的數(shù)據(jù)等情況。

動(dòng)差是指力與力點(diǎn)與原點(diǎn)之間距離的乘積。統(tǒng)計(jì)學(xué)用此概念表示次數(shù)分布的離散情況。它把各組次數(shù)當(dāng)做力學(xué)上的力，用數(shù)值（或組中值）與原點(diǎn)之差作為距離來計(jì)算動(dòng)差，并且把以平均數(shù)為原點(diǎn)的動(dòng)差叫做中心動(dòng)差。常見的中心動(dòng)差有：一級(jí)動(dòng)差二級(jí)動(dòng)差（是表示一個(gè)分布中離中趨勢(shì)的指標(biāo)）

三級(jí)動(dòng)差（是表示一個(gè)分布中偏斜度或偏態(tài)性的指標(biāo)）四級(jí)動(dòng)差

（是表示一個(gè)分布中峰態(tài)性的指標(biāo)）動(dòng)差體系

平均差的概念

平均差是指次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對(duì)離差的平均值。平均差用A.D.表示。平均差的計(jì)算方法（1）未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）計(jì)算法

（2）數(shù)據(jù)分組后（次數(shù)分布表）計(jì)算法

平均差意義

平均差意義明確，計(jì)算容易，反應(yīng)靈敏，較好地代表了數(shù)據(jù)分布的離散程度。但它計(jì)算要用絕對(duì)值，不利于進(jìn)一步做統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)用受到了限制，屬于一種低效差異量數(shù)。平均差方差是指離均差（即每個(gè)數(shù)據(jù)與該組平均數(shù)之差）平方的算術(shù)平均數(shù)。用表示。標(biāo)準(zhǔn)差是指方差的算術(shù)平方根，用表示。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念（1）未分組數(shù)據(jù)（原始數(shù)據(jù)）計(jì)算法基本公式：變式公式：

（2）數(shù)據(jù)分組后（次數(shù)分布表）計(jì)算法基本公式：變式公式：

或式中（AM為估計(jì)平均數(shù)）方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法由于方差、標(biāo)準(zhǔn)具有可加性，在已知幾個(gè)小組的方差或標(biāo)準(zhǔn)差的情況下，可以計(jì)算出幾個(gè)小組聯(lián)合在一起的總的方差或標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算總方差和總標(biāo)準(zhǔn)差的公式如下：

式中，為總平均數(shù)，為各小組的平均數(shù)總標(biāo)準(zhǔn)差的的合成方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)（1）每一個(gè)觀察值都加一個(gè)相同常數(shù)C之后，計(jì)算得到的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差。即如果，則有。（2）每一個(gè)觀察值都乘以一個(gè)相同常數(shù)C，則所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)。即若，則有。（3）每一個(gè)觀察值都乘以一個(gè)相同常數(shù)C（），再加一個(gè)常數(shù)d，所得的標(biāo)準(zhǔn)差等于原標(biāo)準(zhǔn)差乘以這個(gè)常數(shù)。即若（），則有。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義

方差與標(biāo)準(zhǔn)差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好的指標(biāo)。它們是描述統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)推斷分析中最常用的差異量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差基本具備一個(gè)良好的差異量數(shù)應(yīng)具備的條件：①反應(yīng)靈敏；②嚴(yán)密確定；③容易計(jì)算；④適合代數(shù)運(yùn)算；⑤受抽樣變動(dòng)的影響??；⑥簡(jiǎn)單明了。標(biāo)準(zhǔn)差與其他各種差異量數(shù)相比，具有數(shù)學(xué)上的優(yōu)越性，特別是當(dāng)已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差后，就可以知道落在平均數(shù)上下各一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差、兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，或三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)的數(shù)據(jù)所占的百分比。方差與標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)和意義思考題

為什么說標(biāo)準(zhǔn)差是重要而完善的差異量？

（1）標(biāo)準(zhǔn)差具有簡(jiǎn)單明了，反映靈敏，嚴(yán)密確定，容易計(jì)算，適合代數(shù)運(yùn)算，受抽樣變動(dòng)的影響較少等優(yōu)點(diǎn)。（2）標(biāo)準(zhǔn)差在避免兩極端數(shù)值影響方面大大超過全距、百分位差和四分位差；在避免絕對(duì)值方面，優(yōu)于平均差；在考慮單位方面，優(yōu)于方差。答差異系數(shù)的概念

差異系數(shù)是指標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)的百分比，用CV表示。其計(jì)算公式如下：差異系數(shù)的應(yīng)用（1）同一團(tuán)體不同觀測(cè)值離散程度的比較（即不同單位資料差異程度的比較）；（2）對(duì)于水平相差較大，但進(jìn)行的是一種觀測(cè)的各種團(tuán)體，進(jìn)行觀測(cè)值離散程度的比較（即單位相同而平均數(shù)相差較大的兩組資料差異程度的比較）。在應(yīng)用差異系數(shù)比較相對(duì)差異大小時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

①測(cè)量的數(shù)據(jù)要保證具有等距尺度；

②觀測(cè)工具應(yīng)具備絕對(duì)零；

③差異系數(shù)只能用于一般的相對(duì)差異量的描述，至今尚無有效的假設(shè)檢驗(yàn)方法。差異系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的概念

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)是以標(biāo)準(zhǔn)差為單位表示一個(gè)分?jǐn)?shù)在團(tuán)體中所處位置的相對(duì)位置量數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)（1）Z分?jǐn)?shù)無實(shí)際單位，是以平均數(shù)為參照點(diǎn)，以標(biāo)準(zhǔn)差為單位的一個(gè)相對(duì)量。（2）一組原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分?jǐn)?shù)可以是正值，也可以是負(fù)值。（3）一組原始分?jǐn)?shù)中，各個(gè)Z分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1，即。（4）若原始分?jǐn)?shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的所有Z分?jǐn)?shù)值的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的優(yōu)點(diǎn)（1）可比性；（2）可加性；（3）明確性；（4）穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的應(yīng)用（1）用于比較分屬性質(zhì)不同的觀測(cè)值在各自數(shù)據(jù)分布中相對(duì)位置的高低；（2）計(jì)算不同質(zhì)的觀測(cè)值的總和或平均值，以表示在團(tuán)體中的相對(duì)位置；

（3）表示標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)。

標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)（Z分?jǐn)?shù)）

假定甲、乙兩生高考入學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤硭?，試問根?jù)考試成績(jī)應(yīng)該優(yōu)先錄取哪名考生？思考題考試科目全體考生原始分?jǐn)?shù)平均分?jǐn)?shù)（）標(biāo)準(zhǔn)差（)甲乙語文政治外語數(shù)學(xué)理化706569507510586885706853728962724087

甲乙兩生高考入學(xué)考試成績(jī)的原始分?jǐn)?shù)與標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)就原始分?jǐn)?shù)而言，應(yīng)該優(yōu)先錄取乙生（甲生總成績(jī)（348）低于乙生總績(jī)（350）），這一結(jié)論是不科學(xué)的。因?yàn)閱挝徊煌?，不能比較，也不能合并。但把原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)后，就可以合并成總成績(jī)進(jìn)行比較。就標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)而言，應(yīng)該優(yōu)先錄取甲生（甲生的總成績(jī)（2.5）高于乙生的總成績(jī)（1.505））。解考試科目全體考生原始分?jǐn)?shù)甲乙標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)甲乙語文政治外語數(shù)學(xué)理化7010655698506758858970626872534072

87

1.5

1.91－0.6－0.125

0.3750.5－1.67－0.375

1.53483502.51.505異常值的取舍（1）數(shù)據(jù)較多的情況在整理數(shù)據(jù)時(shí)，常采用三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差法則，取舍數(shù)據(jù)，即如果有一個(gè)數(shù)據(jù)的取值落在平均數(shù)加減三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之外，則在整理數(shù)據(jù)時(shí)，可將此數(shù)據(jù)作為異常值加以舍棄。（2）數(shù)據(jù)較少的情況在整理數(shù)據(jù)時(shí)，可根據(jù)下表所列的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)的一半（全距與標(biāo)準(zhǔn)差比率一半）乘以標(biāo)準(zhǔn)差，然后再求與平均數(shù)的和、差，并以此二值為界取舍數(shù)據(jù)。

表

全距與標(biāo)準(zhǔn)差的比率隨N變化表

N

510

152040501002004005007001000全距/s2.33.1

3.5

3.74.34.55.05.5

5.96.16.36.5優(yōu)良差異量數(shù)具備的標(biāo)準(zhǔn)

鑒定一個(gè)差異量數(shù)，是不是一個(gè)良好的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，主要看是否具備以下標(biāo)準(zhǔn)：（1）應(yīng)該是根據(jù)客觀數(shù)據(jù)資料獲得的，而不是人為的主觀估計(jì)決定的；（2）應(yīng)該是根據(jù)全部觀測(cè)值計(jì)算得出來的，而不是個(gè)別數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果，否則就不能代表全部數(shù)據(jù)的分布特征；（3）應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)明，容易理解，不應(yīng)過于帶有數(shù)學(xué)抽象性質(zhì)；（4）計(jì)算應(yīng)該方便、容易、迅速；（5）應(yīng)該最少受到抽樣變動(dòng)的影響（樣本的穩(wěn)定性），在反復(fù)取樣的過程中具有相對(duì)恒常性；（6）應(yīng)該能夠采用代數(shù)方法計(jì)算。各種差異量數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)比較

標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算最嚴(yán)密，它根據(jù)全部數(shù)據(jù)求得，考慮到每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)，測(cè)量具有代表性，適合代數(shù)法處理，受抽樣變動(dòng)的影響較小，反應(yīng)靈敏。缺點(diǎn)是較難理解，運(yùn)算較繁瑣，易受極端值的影響。方差的描述作用不大，但由于它具有可加性，是對(duì)一組數(shù)據(jù)中造成各種變異的總和的測(cè)量，通常采用方差的可加性分解并確定屬于不同來源的變異性，并進(jìn)一步說明各種變異對(duì)總結(jié)果的影響。因此，方差是推論統(tǒng)計(jì)中最常用的統(tǒng)計(jì)量數(shù)。全距計(jì)算簡(jiǎn)便，容易理解，適合所有類型的數(shù)據(jù)，概念清楚，意義明確，，但它易受極值影響，測(cè)量也太粗造，只能反映分布兩極端值的差值。不能顯示全部數(shù)據(jù)的差異情況，僅作為輔助量數(shù)使用。平均差容易理解，容易計(jì)算，能說明分布中全部數(shù)值的差異情況，缺點(diǎn)是會(huì)受兩極數(shù)值的影響，但當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí)，這種影響較小，因有絕對(duì)值也不適合代數(shù)方法處理。百分位差意義明確，易計(jì)算，不易受兩極值影響，但不能反映出分布的中間數(shù)值的差異情況，也僅用作補(bǔ)助量數(shù)。四分位差意義明確，計(jì)算方便容易，對(duì)極端值不敏感，較不受極端值影響。當(dāng)組距不確定，其他差異量數(shù)都無法計(jì)算時(shí)，可以計(jì)算四分位差。但四分位差無法反映分布中所有數(shù)據(jù)的離散程度，不適合使用代數(shù)方法處理，受抽樣變動(dòng)影響較標(biāo)準(zhǔn)差大。通過比較，可以發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差、方差價(jià)值較大，它們的應(yīng)用也比較廣泛，因此，一般稱標(biāo)準(zhǔn)差、方差為高效差異量。相比較，其化差異量數(shù)缺點(diǎn)比較明顯，應(yīng)用也受到限制，故他們?yōu)榈托Р町惲繑?shù)。

當(dāng)次數(shù)分布的N值相當(dāng)大，分布形式呈正態(tài)分布時(shí)，各種差異量數(shù)之間存在著固定的數(shù)量關(guān)系：各種差異量數(shù)之間的關(guān)系

如何選用差異量數(shù)

在選用差異量數(shù)時(shí)，可以考慮下面這些因素：（1）當(dāng)樣本是隨機(jī)取樣時(shí)，S、Q、R，這幾個(gè)差異量數(shù)的可靠性依次降低；（2）當(dāng)要求計(jì)算要容易、快捷時(shí)，R、Q、S

依次變得繁雜；（3）當(dāng)要求統(tǒng)計(jì)量進(jìn)一步使用時(shí)，S遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過其他差異量數(shù)；（4）在偏態(tài)分布中，Q比S更常用；（5）當(dāng)分布是截尾分布時(shí)，只有Q能正確地指出分布的變異性。除此之外，還有一點(diǎn)非常重要，就是在選擇差異量數(shù)時(shí)，同時(shí)應(yīng)考慮選用合適的集中量數(shù)。第五章相關(guān)系數(shù)

相關(guān)、相關(guān)系數(shù)與散點(diǎn)圖積差相關(guān)等級(jí)相關(guān)質(zhì)與量相關(guān)品質(zhì)相關(guān)相關(guān)系數(shù)的選用與解釋

什么是相關(guān)

事物之間的相互關(guān)系（1）因果關(guān)系：一種現(xiàn)象是另一種現(xiàn)象的原因，而另一種現(xiàn)象是結(jié)果。（2）共變關(guān)系：表面上看來有聯(lián)系的兩種事物都與第三種現(xiàn)象有關(guān)。這時(shí)兩種事物之間的關(guān)系，便是共變關(guān)系。（3）相關(guān)關(guān)系：兩類現(xiàn)象在發(fā)展變化的方向與大小方面存在一定的關(guān)系，但不是前面兩種關(guān)系。不能確定這兩類現(xiàn)象之間哪個(gè)是因，哪個(gè)是果；也有理有認(rèn)為這兩者并不同時(shí)受第三因素的影響，即不存在共變關(guān)系。具有相關(guān)關(guān)系的兩種現(xiàn)象之間的關(guān)系是比較復(fù)雜的，甚至可能包含有暫時(shí)的嘗未認(rèn)識(shí)的因果關(guān)系以及共變關(guān)系在內(nèi)。相關(guān)的類別統(tǒng)計(jì)學(xué)中所講的相關(guān)是指具有相關(guān)關(guān)系的不同現(xiàn)象之間的關(guān)系程度。從變化的方向來看，相關(guān)的情況有以下三種：①正相關(guān)：兩列變量的變化方向相同。②負(fù)相關(guān)：兩列變量的變化方向相反。③零相關(guān)：兩列變量的變化方向無一定規(guī)律。相關(guān)系數(shù)

相關(guān)系數(shù)是兩列變量間相關(guān)程度的數(shù)字表現(xiàn)形式，或者說是用來表示相關(guān)關(guān)系強(qiáng)度的指標(biāo)。作為樣本間相互關(guān)系程度的統(tǒng)計(jì)特征數(shù)，常用ｒ表示，作為總體參數(shù)，一般用ρ表示，并且是指線性相關(guān)而言。相關(guān)系數(shù)的取值介于-1.00至+1.00之間，常用小數(shù)形式表示。它只是一個(gè)比率，不代表相關(guān)的百分?jǐn)?shù)，更不是相關(guān)量的相等單位的度量。

如何理解相關(guān)系數(shù)?思考題

相關(guān)系數(shù)是兩列變量間相關(guān)程度的數(shù)字表現(xiàn)形式。對(duì)于這一概念，我們可以從以下幾個(gè)方面來理解：（1）相關(guān)系數(shù)的取值在-1.00和+1.00之間；（2）相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值表示兩個(gè)變量之間的相關(guān)強(qiáng)度，絕對(duì)值越接近1表示相關(guān)越強(qiáng)，越接近0表示相關(guān)越弱；（3）相關(guān)系數(shù)的正負(fù)號(hào)表示相關(guān)的方向，相關(guān)系數(shù)為正的表示正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為負(fù)的表示負(fù)相關(guān)；（4）相關(guān)系數(shù)可以比較大小，但不能進(jìn)行加減乘除運(yùn)算。答:

在直角坐標(biāo)系中，以X、Y二列變量中的一列變量（如X變量）為橫坐標(biāo)，以另一列變量（如Y變量）為縱坐標(biāo)，把每對(duì)數(shù)據(jù)Xi、Yi當(dāng)做同一個(gè)平面上的個(gè)點(diǎn)（Xi、Yi），一一描繪在XOY坐標(biāo)系中，產(chǎn)生的圖形就稱為散點(diǎn)圖。

散點(diǎn)圖通過點(diǎn)的散布形狀和疏密程度來顯示兩個(gè)變量的相關(guān)趨勢(shì)和相關(guān)程度，能夠?qū)υ紨?shù)據(jù)間的關(guān)系做出直觀而有效的預(yù)測(cè)和解釋。不同形狀的散點(diǎn)圖顯示了兩個(gè)變量間不同程度的相關(guān)關(guān)系。如果所有散點(diǎn)分布呈橢圓狀，則說明二變量之間呈線性關(guān)系。在橢圓狀散點(diǎn)圖中，如果橢圓長(zhǎng)軸的傾斜方向左低右高（以軸為基準(zhǔn)），則為正相關(guān)，左高右低則為負(fù)相關(guān)；如果散點(diǎn)圖呈現(xiàn)圓形，就為零相關(guān)或弱相關(guān)。散點(diǎn)圖

積差相關(guān)的概念當(dāng)兩列變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系，表示這兩列變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)。

積差相關(guān)的適用資料（1）要求成對(duì)的數(shù)據(jù)，即若干個(gè)體中每個(gè)個(gè)體都有兩種不同的觀測(cè)值。（2）計(jì)算相關(guān)的成對(duì)的數(shù)據(jù)的數(shù)目不宜少于30對(duì)。（3）兩列變量各自總體的分布都是正態(tài)分布，至少兩個(gè)變量服從的分布是接近正態(tài)的單峰分布。（4）兩個(gè)相關(guān)的變量是連續(xù)變量，也即兩列數(shù)據(jù)都是測(cè)量數(shù)據(jù)。（5）兩列變量之間的關(guān)系應(yīng)是直線性的積差相關(guān)（一）

積差相關(guān)的計(jì)算方法（1）基本公式①運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)差與離均差的計(jì)算公式（，）②運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)的公式

③原始觀測(cè)值計(jì)算公式

（2）差法公式①

減差法

②加差法

積差相關(guān)（二）

積差相關(guān)的計(jì)算方法（3）相關(guān)表法

式中

相關(guān)系數(shù)的合并

相關(guān)系數(shù)的合并需要將其轉(zhuǎn)換成等距的尺度后再求平均，方有意義。求平均的相關(guān)系數(shù)，一般采用Z-ｒ轉(zhuǎn)換法。具體步驟如下：（1）查附表8，先將各樣本的r轉(zhuǎn)換成費(fèi)舍Z分?jǐn)?shù)；（2）求每一樣本的Z分?jǐn)?shù)之和；（3）求平均Z分?jǐn)?shù)，即（）；（4）再查附表8，將轉(zhuǎn)換成。積差相關(guān)（三）

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示時(shí)，兩個(gè)相應(yīng)總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為等級(jí)相關(guān)。它適用于只有兩列變量，而且是屬于等級(jí)變量性質(zhì)，具有線性關(guān)系的資料，主要用于解決稱名數(shù)據(jù)和順序數(shù)據(jù)的問題。

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)的計(jì)算方法（1）等級(jí)差數(shù)法（N<30）

（式中N為等級(jí)個(gè)數(shù)，D指二列成對(duì)變量的等級(jí)差數(shù)）（2）等級(jí)序數(shù)法

（式中RX與RY為兩列變量各自排列的等級(jí)序數(shù)）（3）有相同等級(jí)時(shí)計(jì)算等級(jí)相關(guān)的方法

式中

斯皮爾曼等級(jí)相關(guān)

肯德爾W系數(shù)的概念與適用資料

當(dāng)多個(gè)（兩個(gè)以上）變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示，描述這幾個(gè)變量之間的一致性程度（即相關(guān)）的量，稱為肯德爾W系數(shù)。它適用于兩列以上的等級(jí)變量?？系聽朩系數(shù)的計(jì)算方法

計(jì)算肯德爾和諧系數(shù)，原始數(shù)據(jù)資料的獲得一般采用等級(jí)評(píng)定的方法，即讓K個(gè)被試（或稱評(píng)價(jià)者）對(duì)N件事物或N件作品進(jìn)行等級(jí)評(píng)定，每個(gè)評(píng)價(jià)者都能對(duì)N件事物（或作品）好壞、優(yōu)劣、喜好、大小、高低等排出一個(gè)等級(jí)順序。因此，最小的等級(jí)序數(shù)為1，最大的為N，這樣，K個(gè)評(píng)價(jià)者便可得到K列從1至N的等級(jí)變量資料，這是一種情況。另一種情況是一個(gè)評(píng)價(jià)者先后K次評(píng)價(jià)N件事物或N件作品，也是采用等級(jí)評(píng)定的方法，這樣也可得到K列從1至N的等級(jí)變量資料。這類K列等級(jí)變量資料綜合起來求相關(guān)，可用肯德爾W系數(shù)。①基本公式

式中，Ri

代表評(píng)價(jià)對(duì)象獲得的K個(gè)等級(jí)之和，N代表被等級(jí)評(píng)定的對(duì)象的數(shù)目，K代表等級(jí)評(píng)價(jià)者的數(shù)目。②有相同等級(jí)出現(xiàn)時(shí)計(jì)算公式

（修正公式）

式中，，n為相同等級(jí)的數(shù)目。

肯德爾W系數(shù)（肯德爾和諧系數(shù)）

肯德爾U系數(shù)的概念與適用資料

當(dāng)多個(gè)（兩個(gè)以上）變量值以等級(jí)次序排列或以等級(jí)次序表示，描述這幾個(gè)變量之間的一致性程度（即相關(guān)）的量，稱為肯德爾U系數(shù)。它適用于對(duì)K個(gè)評(píng)價(jià)者的一致性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。它與肯德爾W系數(shù)所處理的問題相同，但所處理的資料的獲得方法不同，計(jì)算的結(jié)果也不一樣?？系聽朥系數(shù)的計(jì)算方法

如果有N件事件，由K個(gè)評(píng)價(jià)者對(duì)其優(yōu)劣、大小、高低等單一維度的屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)，若評(píng)價(jià)者直接使用等級(jí)評(píng)定的方法，則應(yīng)采用前述肯德爾W系數(shù)分析K個(gè)評(píng)價(jià)者是否具有一致性；若評(píng)價(jià)者采用對(duì)偶比較的方法，即將N件事物兩兩配對(duì)，可配成對(duì)，然后對(duì)每一對(duì)中兩事物進(jìn)行比較，擇優(yōu)選擇，優(yōu)者記1，非優(yōu)者記0，最后整理所有評(píng)價(jià)者的評(píng)價(jià)結(jié)果，這樣便應(yīng)計(jì)算肯德爾U系數(shù)了。

式中N為被評(píng)價(jià)事物的數(shù)目，即等級(jí)數(shù)；K為評(píng)價(jià)者的數(shù)目；rij為對(duì)偶比較記錄表中i>j（或i<j）格中的擇優(yōu)分?jǐn)?shù)。肯德爾U系數(shù)（一致性系數(shù)）（1）點(diǎn)二列相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量其中一個(gè)是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個(gè)是真正的二分變量，這時(shí)表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為點(diǎn)二列相關(guān)。點(diǎn)二列相關(guān)適用的資料是兩列變量中有一列為等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)而且其總體分布為正態(tài)，另一列變量是二分稱名的變量數(shù)據(jù)。（2）點(diǎn)二列相關(guān)的計(jì)算方法點(diǎn)二列相關(guān)

（1）二列相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)性變量，其中一個(gè)變量被人為地劃分成二分變量，這時(shí)表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為二列相關(guān)。二列相關(guān)適用的資料是兩列數(shù)據(jù)均屬于正態(tài)分布，其中一列變量為等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)，另一列變量為人為劃分的二分變量數(shù)據(jù)。（2）二列相關(guān)的計(jì)算方法二列相關(guān)

（1）多系列相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)性變量，其中一個(gè)變量按不同質(zhì)被人為地分成多種類別（兩類以上）的正態(tài)名義變量，這時(shí)表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)稱為多系列相關(guān)。多系列相關(guān)適用的資料是兩列數(shù)據(jù)均屬于正態(tài)分布，其中一列為等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)，另一列被人為地分成多種類別的名義變量數(shù)據(jù)。（2）多系列相關(guān)的計(jì)算方法

多系列相關(guān)

（1）四分相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量都是正態(tài)連續(xù)性變量，且兩者呈直線關(guān)系，但兩者都被人為地劃分成二分變量，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為四分相關(guān)。四分相關(guān)適用的資料是兩列數(shù)據(jù)均屬于正態(tài)分布，且每一個(gè)變量都被人為地分成兩種類型的等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)。（2）四分相關(guān)的計(jì)算方法四分相關(guān)（1）φ相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量都是真正二分變量，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為相關(guān)。

φ相關(guān)適用的資料是除四分相關(guān)之外的四格表資料。（2）φ相關(guān)的計(jì)算方法①基本公式

②其它公式φ相關(guān)（φ系數(shù)）

（1）列聯(lián)表相關(guān)的概念與適用資料

當(dāng)兩個(gè)變量均被分成兩個(gè)以上類別，或其中一個(gè)變量被分成兩個(gè)以上類別，表示這兩個(gè)變量之間的相關(guān)，稱為列聯(lián)相關(guān)。列聯(lián)表相關(guān)適用的資料是兩列數(shù)據(jù)均屬于正態(tài)分布，且至少有一個(gè)變量都被分成兩種以上類型的等距或等比的測(cè)量數(shù)據(jù)。（2）列聯(lián)表相關(guān)的計(jì)算方法①基本公式②其它公式列聯(lián)表相關(guān)

如何選擇合適的相關(guān)系數(shù)選擇計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法主要取決于要處理的數(shù)據(jù)的性質(zhì)類別以及某一相關(guān)系數(shù)需要滿足的假設(shè)條件。具體來說，為了選擇一個(gè)合適的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)分析，要分以下幾個(gè)步驟考慮：（1）考慮每種測(cè)量所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)屬于什么類別，測(cè)查被試的哪種心理屬性，是分類，還是排序，還是評(píng)定等級(jí)？是否給出確定的分?jǐn)?shù)？（2）要對(duì)第一種測(cè)量數(shù)據(jù)和第二種測(cè)量數(shù)據(jù)的類別做出判斷。是二分?jǐn)?shù)據(jù)、等級(jí)數(shù)據(jù)，還是等距數(shù)據(jù)？（3）確定采用哪一種相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)解釋相關(guān)關(guān)系是一個(gè)指標(biāo)值，它表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系程度。相關(guān)系數(shù)不是等距的測(cè)量值，因此在比較相關(guān)程度時(shí)，不能用倍數(shù)關(guān)系說明，只能說絕對(duì)值大者比絕對(duì)值小者關(guān)系更密切一些。相關(guān)系數(shù)的大小表明了兩列測(cè)量數(shù)據(jù)相互間的相關(guān)程度。當(dāng)然，當(dāng)兩個(gè)變量之間的關(guān)系受到其它變量的影響時(shí)，兩者之間的高強(qiáng)度相關(guān)很可能是一種假象。如果研究表明某一變量確實(shí)對(duì)欲探討的兩個(gè)變量之間存在影響，則可以用協(xié)變量分析方法設(shè)法排除或控制那些變量的影響效應(yīng)，找出要研究的變量之間真正的相關(guān)關(guān)系。如果兩變量是線性關(guān)系，則可以用偏相關(guān)和部分相關(guān)進(jìn)行控制，表示這兩個(gè)變量間純凈的相關(guān)度。在純理論研究中，即使是很小的相關(guān)，如果在統(tǒng)計(jì)上有顯著性，也能說明心理規(guī)律。另外，需要特別注意這樣一個(gè)事實(shí)：證實(shí)兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系，并不一定說明一個(gè)變量的變化會(huì)引起另一個(gè)變量發(fā)生變化。相關(guān)系數(shù)的特殊用途

相關(guān)系數(shù)在教育科學(xué)與心理科學(xué)研究中，特別是教育與心理測(cè)量、評(píng)價(jià)中，有著重要的特殊用途。它可以用于確定測(cè)驗(yàn)的信度系數(shù)和效度系數(shù)，用于對(duì)測(cè)驗(yàn)的項(xiàng)目區(qū)分度進(jìn)行分析。同時(shí)，相關(guān)系數(shù)值的大小，因?yàn)椴煌愋偷臏y(cè)驗(yàn)，它所表示的價(jià)值和意義也有所不同。第六章概率分布

概率的基本概念正態(tài)分布二項(xiàng)分布樣本分布（1）后驗(yàn)概率（統(tǒng)計(jì)概率）的定義

其中是隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率（2）先驗(yàn)概率（古典概率