概率論與統(tǒng)計學

統(tǒng)計學

statistics李欣先

Email:lixinxian2005@126.comtongjxxx@163.com1/31/20231山東輕院皮革教研室第5章概率論概念縱覽

（asurveyofprobabilityconcepts

）

第1節(jié)什么是概率（whatisaprobability）第2節(jié)概率求解方法（approachtoprobability）第3節(jié)幾個概率法則（somerulesofprobability）第4節(jié)樹形圖（treediagrams）第5節(jié)貝葉斯定理（Bayes’theorem）第6節(jié)計數(shù)定理（principlesofcounting）1/31/20232山東輕院皮革教研室Managersoftenbasetheirdecisionsonananalysisofuncertaintiessuchasthefollowing:1.Whatarethechancesthatsaleswilldecreaseifweincreaseprices?2.Whatisthelikelihoodanewassemblymethodwillincreaseproductivity?3.Howlikelyisitthattheprojectwillbefinishedontime?4.Whatisthechancethatanewinvestmentwillbeprofitable?1/31/20233山東輕院皮革教研室第1節(jié)什么是概率（whatisaprobability）概率是對事件發(fā)生的可能性大小的度量，記為P(A)明天降水的概率是80%。這里的80%就是對降水這一事件發(fā)生的可能性大小的一種數(shù)值度量你購買一只股票明天上漲的可能性是30%，這也是一個概率一個介于0和1之間的一個值

1/31/20234山東輕院皮革教研室試驗

(experiment)對試驗對象進行一次觀察或測量的過程擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)從一副52張撲克牌中抽取一張，并觀察其結果(紙牌的數(shù)字或花色)試驗的特點可以在相同的條件下重復進行每次試驗的可能結果可能不止一個，但試驗的所有可能結果在試驗之前是確切知道的在試驗結束之前，不能確定該次試驗的確切結果1/31/20235山東輕院皮革教研室事件

(event)事件：試驗的每一個可能結果(任何樣本點集合)擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)為3用大寫字母A，B，C，…表示隨機事件(randomevent)：每次試驗可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件擲一顆骰子可能出現(xiàn)的點數(shù)1/31/20236山東輕院皮革教研室事件

(event)簡單事件(simpleevent)

：不能被分解成其他事件組合的基本事件拋一枚均勻硬幣，“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”

必然事件(certainevent)：每次試驗一定出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)小于7不可能事件(impossibleevent)：每次試驗一定不出現(xiàn)的事件，用表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)大于61/31/20237山東輕院皮革教研室樣本空間與樣本點樣本空間(sampleSpace)一個試驗中所有結果的集合，用表示例如：在擲一顆骰子的試驗中，樣本空間表示為：{1,2,3,4,5,6}在投擲硬幣的試驗中，{正面，反面}樣本點(samplepoint)樣本空間中每一個特定的試驗結果用符號表示1/31/20238山東輕院皮革教研室第2節(jié)概率求解方法（approachtoprobability）Theclassicalmethodofassigningprobabilitiesisappropriatewhenalltheexperimentaloutcomesareequallylikely.【例】擲骰子的例子，偶數(shù)面朝上的概率是多少?1/31/20239山東輕院皮革教研室Therelativefrequencymethodofassigningprobabilitiesisappropriatewhendataare

availabletoestimatetheproportionofthetimetheexperimentaloutcomewilloccurifthe

experimentisrepeatedalargenumberoftimes.1/31/202310山東輕院皮革教研室Thesubjectivemethodofassigningprobabilitiesismostappropriatewhenonecannotrealisticallyassumethattheexperimentaloutcomesareequallylikelyandwhenlittlerelevantdataareavailable.1/31/202311山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(mutuallyexclusiveevents)在試驗中，兩個事件有一個發(fā)生時，另一個就不能發(fā)生，則稱事件A與事件B是互斥事件,(沒有公共樣本點)AB互斥事件的文氏圖(Venndiagram)1/31/202312山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)【例】在一所城市中隨機抽取600個家庭，用以確定擁有個人電腦的家庭所占的比例。定義如下事件：

A：600個家庭中恰好有265個家庭擁有電腦

B：恰好有100個家庭擁有電腦

C：特定戶張三家擁有電腦說明下列各對事件是否為互斥事件，并說明你的理由

(1)A與B

(2)A與C

(3)B與C1/31/202313山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)解：(1)事件A與B是互斥事件。因為你觀察到恰好有265個家庭擁有電腦，就不可能恰好有100個家庭擁有電腦

(2)事件A與C不是互斥事件。因為張三也許正是這265個家庭之一，因而事件與有可能同時發(fā)生

(3)事件B與C不是互斥事件。理由同(2)1/31/202314山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)【例】同時拋擲兩枚硬幣，并考察其結果。恰好有一枚正面朝上的概率是多少？

解：用H表示正面，T表示反面，下標1和2表示硬幣1

和硬幣2。該項試驗會有4個互斥事件之一發(fā)生

(1)兩枚硬幣都正面朝上，記為H1H2

(2)1號硬幣正面朝上而2號硬幣反面朝上，記為H1T2

(3)1號硬幣反面朝上而2號硬幣正面朝上，記為T1H2

(4)兩枚硬幣都是反面朝上，記為

T1T21/31/202315山東輕院皮革教研室互斥事件及其概率

(例題分析)解：由于每一枚硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的概率都是1/2，當拋擲的次數(shù)逐漸增大時，上面的4個簡單事件中每一事件發(fā)生的相對頻數(shù)(概率)將近似等于1/4。因為僅當H1T2或T1H2發(fā)生時，才會恰好有一枚硬幣朝上的事件發(fā)生，而事件H1T2或T1H2又為互斥事件，兩個事件中一個事件發(fā)生或者另一個事件發(fā)生的概率便是1/2(1/4+1/4)。因此，拋擲兩枚硬幣，恰好有一枚出現(xiàn)正面的概率等于H1T2或T1H2發(fā)生的概率，也就是兩種事件中每個事件發(fā)生的概率之和1/31/202316山東輕院皮革教研室互斥事件的加法規(guī)則

(additionlaw)加法規(guī)則若兩個事件A與B互斥，則事件A發(fā)生或事件B發(fā)生的概率等于這兩個事件各自的概率之和，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則有

P(A1∪A2

∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)1/31/202317山東輕院皮革教研室互斥事件的加法規(guī)則

(例題分析)

解：擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)(1，2，3，4，5，6)共有

6個互斥事件，而且每個事件出現(xiàn)的概率都為1/6

根據(jù)互斥事件的加法規(guī)則，得【例】拋擲一顆骰子，并考察其結果。求出其點數(shù)為1點或2點或3點或4點或5點或6點的概率1/31/202318山東輕院皮革教研室概率的性質(zhì)

(小結)非負性對任意事件A，有P1規(guī)范性一個事件的概率是一個介于0與1之間的值，即對于任意事件

A，有0P1必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。即P()=1；P()=0可加性若A與B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)推廣到多個兩兩互斥事件A1，A2，…，An，有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)1/31/202319山東輕院皮革教研室事件的補及其概率事件的補(complement)

事件A不發(fā)生的事件，稱為補事件A的補事件(或稱逆事件)，記為A

。它是樣本空間中所有不屬于事件A的樣本點的集合A

AP(A)=1-P(A)1/31/202320山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(generalruleofaddition)廣義加法公式

對任意兩個隨機事件A和B，它們和的概率為兩個事件分別概率的和減去兩個事件交的概率，即

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)兩個事件的并兩個事件的交1/31/202321山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(事件的并或和)

事件A或事件B發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的并。它是由屬于事件A或事件B的所有樣本點的集合，記為A∪B或A+BBAA∪B1/31/202322山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(事件的交或積)ABA∩B事件A與事件B同時發(fā)生的事件，稱為事件A與事件B的交，它是由屬于事件A也屬于事件B的所有公共樣本點所組成的集合，記為B∩A

或AB1/31/202323山東輕院皮革教研室廣義加法公式

(例題分析)

解：設A

=員工離職是因為對工資不滿意

B=員工離職是因為對工作不滿意依題意有：P(A)=0.40；P(B)=0.30；P(AB)=0.15P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例】一家計算機軟件開發(fā)公司的人事部門最近做了一項調(diào)查，發(fā)現(xiàn)在最近兩年內(nèi)離職的公司員工中有40%是因為對工資不滿意，有30%是因為對工作不滿意，有15%是因為他們對工資和工作都不滿意。求兩年內(nèi)離職的員工中，離職原因是因為對工資不滿意、或者對工作不滿意、或者二者皆有的概率1/31/202324山東輕院皮革教研室條件概率與事件的獨立性假設一個盒子里有10卷膠卷，且3卷是次品。從盒子拿出一卷，接著拿出第二卷，則第二卷是次品的概率是？1/31/202325山東輕院皮革教研室條件概率

(conditionalprobability)在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B時事件A的條件概率，記為P(A|B)

P(B)P(AB)P(A|B)=事件B及其概率P(B)事件AB及其概率P(AB)事件A

事件B一旦事件B發(fā)生1/31/202326山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)解：設A=顧客購買食品，B=顧客購買其他商品依題意有：P(A)=0.80；P(B)=0.60；P(AB)=0.35【例】一家超市所作的一項調(diào)查表明，有80%的顧客到超市是來購買食品，60%的人是來購買其他商品，35%的人既購買食品也購買其他商品。求：

(1)已知某顧客購買食品的條件下，也購買其他商品的概率

(2)已知某顧客購買其他的條件下，也購買食品的概率1/31/202327山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)【例】一家電腦公司從兩個供應商處購買了同一種計算機配件，質(zhì)量狀況如下表所示

從這200個配件中任取一個進行檢查，求

(1)

取出的一個為正品的概率

(2)

取出的一個為供應商甲的配件的概率

(3)取出一個為供應商甲的正品的概率

(4)已知取出一個為供應商甲的配件，它是正品的概率甲乙兩個供應商提供的配件正品數(shù)次品數(shù)合計供應商甲

84690供應商乙

1028110合計186142001/31/202328山東輕院皮革教研室條件概率

(例題分析)解：設A

=取出的一個為正品

B=取出的一個為供應商甲供應的配件

(1)(2)(3)

(4)1/31/202329山東輕院皮革教研室Asanillustrationoftheapplicationofconditionalprobability,considerthesituationofthepromotionstatusofmaleandfemaleofficersofamajormetropolitanpoliceforceintheeasternUnitedStates.Thepoliceforceconsistsof1200officers,960menand240women.Overthepasttwoyears,324officersonthepoliceforcereceivedpromotions.ThespecificbreakdownofpromotionsformaleandfemaleofficersisshowninTable4.4.1/31/202330山東輕院皮革教研室Afterreviewingthepromotionrecord,acommitteeoffemaleofficersraisedadiscriminationcaseonthebasisthat288maleofficershadreceivedpromotionsbutonly36femaleofficershadreceivedpromotions.Thepoliceadministrationarguedthattherelativelylownumberofpromotionsforfemaleofficerswasduenottodiscrimination,buttothefactthatrelativelyfewfemalesaremembersofthepoliceforce.Letusshowhowconditionalprobabilitycouldbeusedtoanalyzethediscriminationcharge.1/31/202331山東輕院皮革教研室menwomentotalpromoted28836324Notpromoted672204876total96024012001/31/202332山東輕院皮革教研室menwomentotalpromoted0.240.030.27Notpromoted0.560.170.73total0.80.211/31/202333山東輕院皮革教研室乘法公式

(multiplicativelaw)用來計算兩事件交的概率以條件概率的定義為基礎設A，B為兩個事件，若P(B)>0，則

P(AB)=P(B)P(A|B)

或

P(AB)=P(A)P(B|A)1/31/202334山東輕院皮革教研室乘法公式

(例題分析)【例】一家報紙的發(fā)行部已知在某社區(qū)有75%的住戶訂閱了該報紙的日報，而且還知道某個訂閱日報的住戶訂閱其晚報的概率為50%。求某住戶既訂閱日報又訂閱晚報的概率

解：設A

=

某住戶訂閱了日報

B

=

某個訂閱了日報的住戶訂閱了晚報依題意有：P(A)=0.75；P(B|A)=0.50

P(AB)=P(A)·P(B|A)=0.75×0.5=0.3751/31/202335山東輕院皮革教研室獨立事件與乘法公式

(例題分析)【例】從一個裝有3個紅球2個白球的盒子里摸球(摸出后球不放回)，求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設A

=

第2次摸到紅球

B

=

第1次摸到紅球依題意有：

P(B)=3/5；P(A|B)=2/4

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×2/4=0.31/31/202336山東輕院皮革教研室獨立事件與乘法公式

(independentevents)若P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，則稱事件A與B事件獨立，或稱獨立事件若兩個事件相互獨立，則這兩個事件同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率之積，即

P(AB)=P(A)·P(B)若事件A1,A2,,An相互獨立，則

P(A1,A2,,An)=P(A1)·P(A2)··P(An)

1/31/202337山東輕院皮革教研室獨立事件與乘法公式

(例題分析)【例】一個旅游經(jīng)景點的管理員根據(jù)以往的經(jīng)驗得知，有80%的游客在古建筑前照相留念。求接下來的兩個游客都照相留念的概率

解：設A

=第一個游客照相留念

B

=第二個游客照相留念兩個游客都照相留念是兩個事件的交。在沒有其他信息的情況下，我們可以假定事件A

和事件B是相互立的，所以有

P(AB)=P(A)·P(B)=0.80×0.80=0.641/31/202338山東輕院皮革教研室獨立事件與乘法公式

(例題分析)【例】假定我們是從兩個同樣裝有3個紅球2個白球的盒子摸球。每個盒子里摸1個。求連續(xù)兩次摸中紅球的概率

解：設A

=

從第一個盒子里摸到紅球

B

=

從第二個盒子里摸到紅球

依題意有：P(A)=3/5；P(B|A)=3/5

P(AB)=P(A)·P(B|A)=3/5×3/5=0.361/31/202339山東輕院皮革教研室全概公式與逆概公式1/31/202340山東輕院皮革教研室全概公式全概公式B2B5B4B1B3完備事件組1/31/202341山東輕院皮革教研室全概公式

(例題分析)【例】假設在n張彩票中只有一張中獎獎券，那么第二個人摸到獎券的概率是多少？

解：設A

=第二個人摸到獎券，B=第一個人摸到獎券依題意有：P(B)=1/n；P(B)=(n-1)/n

P(A|B)=0P(A|B)=1/n-11/31/202342山東輕院皮革教研室逆概公式逆概公式(貝葉斯公式)P(Bi)被稱為事件Bi的先驗概率(priorprobability)P(Bi|A)被稱為事件Bi的后驗概率(posteriorprobability)1/31/202343山東輕院皮革教研室逆概公式

(例題分析)【例】某考生回答一道四選一的考題，假設他知道正確答案的概率為1/2，而他不知道正確答案時猜對的概率應該為1/4?？荚嚱Y束后發(fā)現(xiàn)他答對了，那么他知道正確答案的概率是多大呢？

解：設A

=

該考生答對了，B

=

該考生知道正確答案依題意有：P(B)=1/2；P(B)=1-1/2=1/2

P(A|B)=1/4P(A|B)=11/31/202344山東輕院皮革教研室第4節(jié)樹形圖（treediagrams）Atreediagramisagraphicalrepresentationthathelpsinvisualizingamultiple-stepexperiment.1/31/202345山東輕院皮革教研室1/31/202346山東輕院皮革教研室1/31/202347山東輕院皮革教研室第6節(jié)計數(shù)定理

（principlesofcounting）Combinations

Ausefulcountingruleallowsonetocountthenumberofexperimentaloutcomeswhentheexperimentinvolvesselectingnobjectsfroma(usuallylarger)setofNobjects