《函數(shù)的應用及數(shù)學建模活動生長規(guī)律的描述》同步作業(yè)

《函數(shù)的應用（二）及數(shù)學建模：生長規(guī)律的描述》同步作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1．某公司為了適應市場需求對產(chǎn)品結構做了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤與時間的關系，可選用()A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)答案：D解析：結合“直線上升，對數(shù)增長，指數(shù)爆炸”可知，只有D選項對數(shù)型函數(shù)符合題設條件，故選D.2．某種動物繁殖數(shù)量y(只)與時間x(年)的關系為y＝alog2(x＋1)，設這種動物第一年有100只，則第7年它們發(fā)展到()A．600只 B．500只C．400只 D．300只答案：D解析：當x＝1時，y＝100，得a＝100，故當x＝7時，y＝100log28＝300.3．衣柜里的樟腦丸隨著時間會揮發(fā)而體積縮小，剛放進的新丸體積為a，經(jīng)過t天后體積V與天數(shù)t的關系式為V＝ae－kt，新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)閑q\f(4,9)a.若一個新丸體積變?yōu)閑q\f(8,27)a，則需經(jīng)過的天數(shù)為()A．75B．100C．125D．150答案A解析由題意，得eq\f(4,9)a＝ae－50k，化簡，得e－25k＝eq\f(2,3).令ae－kt＝eq\f(8,27)a，即e－kt＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝(e－25k)3＝e－75k，故t＝75，即需經(jīng)過的天數(shù)為75.4.如圖所示，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，M是CD的中點．當點P沿路線A-B-C-M運動時，點P經(jīng)過的路程x與△APM的面積y之間的函數(shù)y＝f(x)的圖像大致是()答案：A解析：由題意得，當0＜x≤1時，S△APM＝eq\f(1,2)×1×x＝eq\f(1,2)x；當1＜x≤2時，S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)))×1－eq\f(1,2)×1×(x－1)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(2－x)＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(3,4)；當2＜x＜eq\f(5,2)時，S△APM＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－x))×1＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4).結合選項可知，A選項符合題意．5．某校甲、乙兩食堂2019年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知2019年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則2019年5月份營業(yè)額較高的是()A．乙 B．甲C．甲、乙營業(yè)額相等 D．不確定答案B解析：設甲以后每個月比前一個月增加相同的營業(yè)額a，乙每個月比前一個月增加營業(yè)額的百分比為x,1月份的營業(yè)額設為1，由題意得1＋8a＝1×(1＋x)8,5月份甲的營業(yè)額為1＋4a,5月份乙的營業(yè)額為1×(1＋x)4，即eq\r(1＋8a).因為(1＋4a)2－(1＋8a)＝16a2＞0，所以1＋4a＞eq\r(1＋8a)，所以2019年5月份營業(yè)額較高的是甲．二、填空題6.為綠化生活環(huán)境,某市開展植樹活動.今年全年植樹萬棵,計劃3年后全年植樹萬棵.若植樹的棵數(shù)每年的增長率均為a,則a=________.

答案:25%解析：由題意可知(1+a)3=,所以(1+a)3=,所以1+a=,故a==25%.7．在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質量M千克、火箭(除燃料外)的質量m千克的函數(shù)關系式是v＝2000lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m))).當燃料質量是火箭質量的________倍時，火箭的最大速度可達12千米/秒．答案：e6－1解析：當v＝12000時，2000×lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝12000，∴l(xiāng)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq\f(M,m)＝e6－1.]8．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0℃的保鮮時間是192小時，在22℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33℃的保鮮時間是________小時．答案24解析由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(192＝e0＋b＝eb，①,48＝e22k＋b，②))②÷①，得e22k＝(e11k)2＝eq\f(1,4)，故e11k＝eq\f(1,2).故食品在33℃的保鮮時間是y＝e33k＋b＝(e11k)3×eb＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×192＝24(小時)．三、解答題9．某人對東北一種松樹的生長進行了研究，收集了其高度h(米)與生長時間t(年)的相關數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關系，你認為哪個符合？并預測第8年的松樹高度．t(年)123456h(米)1[解]據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖如圖：由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對數(shù)型函數(shù)比較合理．不妨將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.故可用函數(shù)h＝log3(t＋1)來擬合這個實際問題．當t＝8時，求得h＝log3(8＋1)＝2，故可預測第8年松樹的高度為2米．10.為落實國家“精準扶貧”政策,讓市民吃上放心蔬菜,某企業(yè)于2017年在其扶貧基地投入100萬元研發(fā)資金,用于蔬菜的種植及開發(fā),并計劃今后十年內(nèi)在此基礎上,每年投入的資金比上一年增長10%. (1)寫出第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關系式,并指出函數(shù)的定義域;(2)該企業(yè)從第幾年開始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過200萬元?(參考數(shù)據(jù)lg≈,lg≈,lg11≈,lg2≈【解】(1)第一年投入的資金數(shù)為100(1+10%)萬元,第二年投入的資金數(shù)為100(1+10%)+100(1+10%)10%=100(1+10%)2萬元,第x年(2018年為第一年)該企業(yè)投入的資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關系式y(tǒng)=100(1+10%)x萬元,其定義域為{x∈N*|x≤10}.(2)由100(1+10%)x>200可得>2,即x>≈≈,即企業(yè)從第8年開始(2018年為第一年),每年投入的資金數(shù)將超過200萬元.[等級過關練]1．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴重，最近三年測得沙漠增加值分別為萬公頃、萬公頃和萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關于年數(shù)x的函數(shù)關系較為近似的是()A．y＝ B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝＋log16x答案C解析：A選項是一次函數(shù)，而沙漠增加值無這種倍數(shù)關系，顯然不適合；B選項將三點代入，函數(shù)值與實際值差的太大，不適合；C選項將x＝1,2,3分別代入得y＝,,，與實際增加值比較接近；D選項將x＝2代入得y＝，將x＝3代入得y≈，與實際值相差太多．2.根據(jù)有關資料,圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3≈ () 答案：D解析：因為=1,而lg=lgM-lgN=lg3361-lg1080=361lg3-80lg10,又lg3≈,所以lg≈361×≈93.故≈1093.3.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的話費(單位：元)由函數(shù)f(m)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1，0＜m≤4，,×（[m]＋1），m＞4))給出，其中[m]是不小于m的最小整數(shù)，例如[2]＝2，[]＝2，那么從甲地到乙地通話分鐘的話費為元答案：解析：由[m]是大于或等于m的最小整數(shù)可得[]＝6.所以f＝××6＋1)＝×4＝.故從甲地到乙地通話分鐘的話費為元．4.汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時會緊急剎車,這一過程中,由于人的反應需要時間,汽車在慣性的作用下有一個剎車距離,設停車安全距離為S,駕駛員反應時間內(nèi)汽車所行距離為S1,剎車距離為S2,則S=S1+S2.而S1與反應時間t有關,S1=10ln(t+1),S2與車速v有關,S2=bv2.某人剎車反應時間為-1秒,當車速為60km/h時,緊急剎車后滑行的距離為20米,若在限速100km/h的高速公路上,則該汽車的安全距離為________.(精確到米) 答案:61解析：因為剎車反應時間為(-1)s,所以S1=10ln(-1+1)=10ln=5,當車速為60km/h時緊急剎車后滑行的距離為20m,則S2=b·(60)2=20,解得b=,即S2=v2,若v=100,則S2=×1002≈56,S1=5,則該汽車的安全距離S=S1+S2=56+5=61(m).答案:615.某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(mg)與時間t(h)之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(t)；(2)據(jù)進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于mg時，對治療疾病有效，求服藥一次治療疾病有效的時間．解(1)當0≤t<1時，y＝4t；當t≥1時，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，此時M(1,4)在曲線上，故4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a，解得a＝3，即y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3.故y＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\