《利用二分法求方程的近似解》學(xué)案

《利用二分法求方程的近似解》學(xué)案1教材分析函數(shù)的應(yīng)用是學(xué)習(xí)函數(shù)的一個(gè)重要方面，本章通過學(xué)習(xí)用二分法求方程近似解的方法，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，通過一些函數(shù)模型的實(shí)例，感受建立函數(shù)模型的過程和方法，體會(huì)函數(shù)在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中的廣泛應(yīng)用，進(jìn)一步認(rèn)識到函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型．而本節(jié)課是從學(xué)生已有的基礎(chǔ)(一元二次方程及其根的求法，一元二次函數(shù)及其圖象與性質(zhì))出發(fā)，從具體(一元二次方程的根與對應(yīng)的一元二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系)到一般，揭示方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的關(guān)系．在此基礎(chǔ)上，再介紹求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的“二分法”，并在總結(jié)“用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟”中滲透算法的思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)算法內(nèi)容埋下伏筆．2學(xué)情分析通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在知識上學(xué)會(huì)用“二分法”求方程的近似解，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；在求解的過程中，由于數(shù)值計(jì)算較為復(fù)雜，因此對獲得給定精確度的近似解增加了困難，所以希望學(xué)生具備恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具解決這一問題的能力．這就要求學(xué)生除了能熟練地運(yùn)用計(jì)算器演算以外，還要能借助幾何畫板4．06中文版中的“繪制新函數(shù)”功能畫出基本初等函數(shù)的圖象，掌握MicrosoftExcel軟件一些基本的操作．3學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能通過學(xué)習(xí)，能說出二分法的概念，會(huì)運(yùn)用二分法求簡單方程近似解的方法，會(huì)判斷連續(xù)函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．過程與方法通過具體實(shí)例的討論與探究，在對函數(shù)與方程的關(guān)系的認(rèn)識中能遵循由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，歸納概括出所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，初步接觸算法思想，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過程．情感態(tài)度與價(jià)值觀體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一，在自我解決問題的過程中，體驗(yàn)成功的喜悅．4學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn)學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用二分法求相應(yīng)方程的近似解的方法與具體步驟．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解．5學(xué)習(xí)方法為更好地把握學(xué)習(xí)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)中應(yīng)以動(dòng)手操作、分組討論、合作交流、總結(jié)反思、課后實(shí)踐相結(jié)合．6學(xué)習(xí)過程6．1學(xué)習(xí)活動(dòng)活動(dòng)1幸運(yùn)52曾經(jīng)現(xiàn)場直播，進(jìn)行一個(gè)猜數(shù)字游戲：給定1～100這100個(gè)自然數(shù)，計(jì)算機(jī)隨機(jī)出一個(gè)1～100之間的整數(shù)，通過操作鍵盤讓同學(xué)們?nèi)ゲ逻@個(gè)數(shù)，對于大家每次猜測的結(jié)果，計(jì)算機(jī)的提示是“對了”或“大了”或“小了”．討論：（1）任給一個(gè)1～100的整數(shù)，我都可以在7次以內(nèi)猜出，你們能做到嗎？（2）為什么采用正確的方法，7次以內(nèi)一定可以猜中？（第一次猜50，若“大了”，則猜1與50中間的整數(shù)25，依次類推，由于每猜一次，就排除一半，范圍不斷縮小，7次以內(nèi)一定可以猜中）（3）這種猜測的思想是什么？設(shè)計(jì)意圖：上述游戲，每次都將所給區(qū)間一分為二，進(jìn)行比較后得到新的區(qū)間，再一分為二，如此下去，使得所猜數(shù)字逐步逼近計(jì)算機(jī)所給的數(shù)字，這種思想就是二分法．通過做游戲，來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，讓他們在玩的過程中初步體會(huì)二分法的思想和作用，并進(jìn)行有意義學(xué)習(xí)．活動(dòng)2根據(jù)課本P117例4求方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解，精確到．探究：（1）求函數(shù)的零點(diǎn)近似值第一步應(yīng)做什么？（2）為了縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的范圍，接下來應(yīng)做什么？（3）精確到0．01，算幾次就可以了？若精確到0．001呢？設(shè)計(jì)意圖：此活動(dòng)在于通過討論，讓學(xué)生知道用二分法求方程近似解的具體過程和解題步驟，以及用二分法求近似值的過程到何時(shí)結(jié)束．活動(dòng)3課本P119頁練習(xí)：用二分法求方程的近似解，精確到．探究：（1）與活動(dòng)2進(jìn)行比較，過程有什么不同？（2）根據(jù)這些活動(dòng)，二分法求方程近似解的具體步驟是什么？設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1中的方程雖然沒有給出初始區(qū)間，但是根據(jù)方程的形式容易知道為，而活動(dòng)3中的方程的初始區(qū)間未給定，卻需要自己找，這是一個(gè)質(zhì)的變化．通過自主探究，討論，來體會(huì)、歸納確定出初始區(qū)間的一般方法：估算或利用圖象（估算：由方程有意義及移項(xiàng)左右兩邊相等，可知；或作圖：考察函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可知），以及得出利用二分法求方程近似解的具體步驟．活動(dòng)4利用計(jì)算器，求方程的近似解（精確到0．1）．（注：可以2人為一組，互相配合，一人按計(jì)算器，一人記錄過程）不同組之間探討交流，從中能得出什么樣的結(jié)論？設(shè)計(jì)意圖：（1）通過學(xué)生合作探究，進(jìn)一步來體會(huì)、歸納確定出初始區(qū)間的一般方法．（估算：由方程有意義及左右兩邊相等，可知；作圖：考察函數(shù)與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可知）（2）由于計(jì)算量較大，而且是重復(fù)相同的步驟，因此，我們可以借助計(jì)算器來完成計(jì)算，計(jì)算器來完成．同進(jìn)，通過共同學(xué)習(xí)交流探討，感知初始區(qū)間選擇的不同對結(jié)果無影響，只是計(jì)算次數(shù)多少而已．活動(dòng)5如圖，一條電纜上有15個(gè)接點(diǎn)，現(xiàn)某一接點(diǎn)發(fā)生故障，如何盡快找到故障接點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)二分法在實(shí)際生活中的用處．6．2自我診斷例1下列函數(shù)均有零點(diǎn)，其中不能用二分法求近似解的是（）A.B.C.D.設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確初始區(qū)間并非任意選取，必須滿足，加深學(xué)生對利用二分法求方程近似解原理的理解．答案：C．例2用二分法求方程內(nèi)近似解的過程中取區(qū)間中點(diǎn)，那么下一個(gè)有根區(qū)間為()A．（1，2）B．（2，3）C．（1，2）或（2，3）都可以D．不能確定設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生明確利用二分法求方程近似解取新區(qū)間方法，一個(gè)端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一個(gè)是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個(gè)，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號．答案：A．例3方程的根的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步明確通過函數(shù)圖象與性質(zhì)來分析零點(diǎn)的方法．答案：B．例4下表是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)的圖象和對應(yīng)值，則從下表可以看出方程的一個(gè)正的近似解是（精確到0．01）次數(shù)左端點(diǎn)左端點(diǎn)函數(shù)值右端點(diǎn)右端點(diǎn)函數(shù)值第1次2．00000-1．306853．000001．09861第2次2．50000-0．083713．000001．09861第3次2．50000-0．083712．750000．51160第4次2．50000-0．083712．625000．21508第5次2．50000-0．083712．562500．06598第6次2．53125-0．008792．562500．06598第7次2．53125-0．008792．546880．02862第8次2．53125-0．008792．539060．00992設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生進(jìn)一步鞏固利用二分法求方程近似解的具體步驟，提高學(xué)生閱讀理解能力．答案：2．53.例5在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障．這是一條10km長的線路，大約有200多根電線桿子．如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多，每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子.請你幫工作人員設(shè)計(jì)一個(gè)維修方案來迅速查出故障所在設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感悟二分法在實(shí)際中的應(yīng)用，同時(shí)體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)成功的喜悅．答案：如圖，設(shè)閘門和指揮部的所在處為點(diǎn)A，B，（1）首先從中點(diǎn)C查；（2）用隨身帶的話機(jī)向兩端測試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段；（3）再到BC段中點(diǎn)D；（4）這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見故障在CD段；（5）再到CD中點(diǎn)E來看；（6）這樣每查一次，就可以把待查的線路長度縮減一半.6、請感興趣的同學(xué)思考:當(dāng)時(shí)，方程的解只有一個(gè)嗎?設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)有余力的學(xué)生更能發(fā)揮其個(gè)性品質(zhì)，提高學(xué)科素養(yǎng)．6．3總結(jié)提煉（1）二分法的基本思想是；（2）初始區(qū)間的選定的方法有；（3）利用二分法求方程的近似解的具本步驟是：．（4）把學(xué)案中有疑惑的知識點(diǎn)作上記號，并在空白處寫出疑惑原因．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)過程，進(jìn)行總結(jié)和反思，并提出自己還存在的疑問，以便在教師或同學(xué)的幫助下得到解決．6．4閱讀拓展在人類用智慧架設(shè)的無數(shù)座從未知通向已知的金橋中，方程的求解是其中璀璨的一座．雖然今天我們可以從教科書中了解各式各樣方程的解法，但這一切卻經(jīng)歷了相當(dāng)漫長的歲月．由于實(shí)際問題的需要，我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(diǎn)（即的根），對于為一次或二次函數(shù)，我們有熟知的公式解法（二次時(shí)，稱為求根公式）．我國古代數(shù)學(xué)家已比較系統(tǒng)地解決了部分方程求解的問題，在《九章算術(shù)》、北宋數(shù)學(xué)家賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》、南宋數(shù)學(xué)家秦九韶的《數(shù)書九章》中均有記載．在十六世紀(jì)，已找到了三次和四次函數(shù)的求根公式，人們曾經(jīng)希望得到一般的五次以上代數(shù)方程的根式解，但經(jīng)過長期的努力仍無結(jié)果．1824年，挪威年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾（N．H．Abel，1802-1829）成功地證明了五次以上一般方程沒有根式解．1828年，法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（E．Galois，1811-1832）巧妙而簡潔地證明了存在不能用開方運(yùn)算求解的具體方程．人們認(rèn)識到高于四次的代數(shù)方程不存在求根公式，因此對于高次多項(xiàng)式函數(shù)及其他的一些函數(shù)，有必要尋求其零點(diǎn)的近似解的方法，這是一個(gè)在計(jì)算數(shù)學(xué)中十分重要的課題．設(shè)計(jì)意圖：介紹中外歷史上的方程求解問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化方面的熏陶，最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，提高學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性．同時(shí)，從高次代數(shù)方程解的探索歷程使學(xué)生認(rèn)識引入二分法的意義．7案例反思7．１倡導(dǎo)新課程理念，進(jìn)行有效設(shè)計(jì)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》明確指出：由于不同的學(xué)生所處的社會(huì)環(huán)境不盡相同，所具備的數(shù)學(xué)知識背景與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也各異，所以，教科書的定位應(yīng)當(dāng)是“學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要線索”，它并不能滿足所有學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的需要．本學(xué)案設(shè)計(jì)，以倡導(dǎo)新課程理念：自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式為出發(fā)點(diǎn)，根據(jù)自己學(xué)生的社會(huì)環(huán)境特征、思維活動(dòng)水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)條件去創(chuàng)造最適合自己學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，在知識的形成過程中突出數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程．在設(shè)計(jì)實(shí)踐中，更多地關(guān)注學(xué)生的學(xué)，堅(jiān)持實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“有效”和“高效”，并使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)從“有效學(xué)習(xí)”、“高效學(xué)習(xí)”到“魅力學(xué)習(xí)”的飛越.（1）為充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)興趣，以猜數(shù)字游戲?yàn)榍榫?，在玩的過程中來體驗(yàn)二分法的這一算法思想，突出了學(xué)習(xí)的主題，進(jìn)行了有效情景的設(shè)計(jì)．（2）為讓學(xué)生順利地進(jìn)行有效學(xué)習(xí)，以問拓思，因問造勢，學(xué)案設(shè)計(jì)了4個(gè)活動(dòng)，一環(huán)扣一環(huán)，讓學(xué)生身臨其境，合作交流，共同探究，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解決問題，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立地將課本上的知識進(jìn)行分析綜合，整理歸納，自我診斷，通過解題鞏固知識，最終形成了一個(gè)完整的科學(xué)體系，達(dá)到學(xué)習(xí)目的，突出理性思維，優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)創(chuàng)新能力．（3）為符合社會(huì)的需要，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)與我有關(guān)，我要學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)，密切聯(lián)系實(shí)際生活，在生活情景學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，充分挖掘課本知識的生活背景，設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用問題．（4）為開闊學(xué)生視野，感悟文化，激發(fā)興趣，使個(gè)性品質(zhì)得到培養(yǎng)，有意義地進(jìn)行學(xué)習(xí)，注重選取可讀性強(qiáng)的閱讀材料——介紹中外歷史上的方程求解問題．7．2對學(xué)案的挖掘“學(xué)案”是建立在