c第四章彎曲正應(yīng)力

§4.1對(duì)稱彎曲的概念及梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖§4.2剪力彎矩、剪力圖彎矩圖§4.3平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§4.5切應(yīng)力、切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§4.6梁的合理設(shè)計(jì)第四章彎曲應(yīng)力M內(nèi)力剪力：彎矩：橫截面上τσ純彎曲概念xzyOFS梁橫截面上剪力等于零，而彎矩為常量的彎曲。純彎曲梁橫截面上只存在正應(yīng)力，不存在切應(yīng)力。§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算橫截面內(nèi)分布力系的合力垂直于橫截面的分布力系的合力偶矩純彎曲：FFFSAC、DB段：CD段：純彎曲橫力彎曲（剪切彎曲）§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算ABCDFFaaFaMFaI純彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力試驗(yàn)現(xiàn)象：⑴橫向線mm、nn保持為直線轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度伸長(zhǎng)短縮§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算(2)縱向線aa、bb變成圓弧曲線，且仍與橫向線垂直aabboomnmnMeMe試驗(yàn)推斷與假設(shè)①平截面假設(shè)：②縱向纖維間無(wú)正應(yīng)力平截面假設(shè)同一層纖維變形相同受力相同連續(xù)性中間有一層既不伸長(zhǎng)也不縮短假設(shè)下部纖維伸長(zhǎng)上部纖維縮短中性層中性軸中性層z中性軸§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算橫截面變形后仍為平面，且與變形后的軸線垂直(中性層與橫截面的交線)§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算結(jié)論：1、純彎曲時(shí)，橫截面只有正應(yīng)力。2、中性軸上應(yīng)力為零。3、距中性軸等距處應(yīng)力均布Mzyoy求：距中性軸為y處應(yīng)力正應(yīng)力公式1、幾何方面微段：dx截面mm、nn相對(duì)相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)結(jié)論：中性層為零距中性層最遠(yuǎn)的上、下纖維應(yīng)變最大變形前：變形后：§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算aabboomnmnMeMedxρy2、物理方面橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律1沿高度方向（橫向力方向）線性分布2以中性軸為界，一側(cè)為拉應(yīng)力，一側(cè)為壓應(yīng)力3中性軸上的點(diǎn)（y=0）正應(yīng)力為零4距離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上有最大的應(yīng)力值§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算變形幾何關(guān)系:M軸力：彎矩：3、靜力學(xué)方面⑴式：中性軸z軸過(guò)截面形心§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算MσdAzyo(y,z)⑵式：⑶式：MσdAzyo§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算中性軸z軸為主慣性軸中性軸z軸過(guò)截面形心中性軸z軸為形心主軸沿y方向，線性分布中性軸上中性軸兩側(cè)離中線軸最遠(yuǎn)點(diǎn)使用時(shí)：M、y絕對(duì)值代入，由變形判斷符號(hào)(M＜0)(M>0)§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例：鑄鐵桿M=3kN·m,E=175GPa①最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力②曲率半徑ρ解：①中性軸ⅠⅡ90302040M=3kN·m§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算②慣性矩yz’90302040M=3kN·m3822§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算曲率半徑：MMABzyC§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算正應(yīng)力的極值令：則：（抗彎截面系數(shù)）ozybhozydozydD（1）橫力彎曲時(shí)，l/h>5，正應(yīng)力公式仍然適用；§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算II純彎曲理論的推廣（2）適用于橫截面有縱向?qū)ΨQ面的任何形狀梁；（3）適用于荷載作用在通過(guò)形心主慣性平面的非對(duì)稱實(shí)體截面梁。對(duì)梁的某一截面，最大正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的位置：§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算III梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件對(duì)于全梁(等截面)，最大正應(yīng)力發(fā)生在彎矩極值截面：梁的強(qiáng)度條件公式：強(qiáng)度條件公式的三個(gè)方面應(yīng)用：（1）校核強(qiáng)度：（2）尺寸選擇：（3）設(shè)計(jì)載荷：§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例：矩形截面簡(jiǎn)支木梁如圖所示,荷載q＝2kN/m，l=4m，b=140mm，h=210mm，木梁許用應(yīng)力[σ]=10MPa，試校核梁的強(qiáng)度。lABqbhql2/8Mmax∴滿足強(qiáng)度要求§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算例：矩形截面簡(jiǎn)支木梁如圖所示,l=4m，b=140mm，h=210mm，木梁許用應(yīng)力[σ]=10MPa，試求梁能承受的最大荷載qmax。lABqbhql2/8§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算aaaABCD例：簡(jiǎn)支梁如圖所示,荷載P1＝15kN，P2=21kN，a=2m，梁采用熱軋普通工字鋼，許用應(yīng)力[σ]=170MPa，試選擇工字鋼的型號(hào)。解：①支座反力34kNm38kNm選擇20a號(hào)工字鋼：Wz＝237cm3例：T字形截面梁,荷載P1＝8kN，P2=20kN，a=0.6m，Iz=5.33×10-6m4，[σc]=150MPa，[σt]=60MPa，試校核梁的強(qiáng)度。解：①支座反力§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算aaaABCD4080CM圖(kN·m)②內(nèi)力圖③強(qiáng)度校核∴滿足強(qiáng)度要求4.83.6§4.4梁的正應(yīng)力、正應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算ABCD2268204080最大拉應(yīng)力強(qiáng)度最大壓應(yīng)力強(qiáng)度(2)切應(yīng)力沿寬度方向均勻分布bhFS1、兩個(gè)假設(shè)橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力方向皆平行于剪力FS梁橫截面上的切應(yīng)力§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件一、矩形截面梁q(x)ABx§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件q(x)ABxdxdxbyozyFSFSM(x)M(x+dx)dxF1§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件F2§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件式中：FS—橫截面上剪力

—所求切應(yīng)力處，水平線以下(或以上)部分面積對(duì)中性軸的靜矩。Iz—整個(gè)橫截面對(duì)中性軸的慣性矩。b—所求切應(yīng)力處橫截面寬度。bh對(duì)于矩形截面，F(xiàn)S、Iz

、b均為常量。切應(yīng)力隨靜矩而變化又：§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件ozyy切應(yīng)力沿截面分布規(guī)律帶入切應(yīng)力沿梁的高度按拋物線規(guī)律分布.在處，在處，切應(yīng)力最大最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的1.5倍。二、工字型截面梁主要考慮工字型截面梁腹板上的切應(yīng)力計(jì)算。可按照矩形截面梁的切應(yīng)力公式計(jì)算：式中：d—腹板寬度—圖中陰影部分面積對(duì)中性軸之靜矩。§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件ozy上翼緣下翼緣腹板y當(dāng)時(shí)，最小；時(shí)，最大。（按拋物線規(guī)律分布）§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件靜矩計(jì)算如下：代入切應(yīng)力公式得：§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處：最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的2倍。三、薄壁圓環(huán)截面四、圓截面梁最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處最大切應(yīng)力是平均切應(yīng)力的倍。oyzoyz4.切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁內(nèi)最大切應(yīng)力一般發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上，若以表示中性軸以下（或以上）部分面積對(duì)中性軸的靜矩，則梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為：在校核梁的強(qiáng)度或進(jìn)行截面設(shè)計(jì)時(shí)，必須同時(shí)滿足梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。在工程中，通常先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)出截面尺寸，然后進(jìn)行切應(yīng)力強(qiáng)度校核?！?.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件三種需要校核剪應(yīng)力強(qiáng)度的情況①短梁或載荷很靠近支座（M小，F(xiàn)S大）②薄壁截面梁,τmax大③焊接、復(fù)合梁，木梁，抗剪能力差§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件解：畫(huà)內(nèi)力圖FS例

矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應(yīng)力和最大剪應(yīng)力之比,并校核梁的強(qiáng)度?！?.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件Bq=3.6kN/mAL=3mM+M+求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件應(yīng)力之比FS§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件例：一外伸工字型鋼梁，型號(hào)為22a，荷載如圖。已知：F＝30kN，q=6kN/m，材料的許用應(yīng)力[σ]=170MPa，[τ]=100MPa，試校核梁的強(qiáng)度。3m2m3mABCDFq12kN17kN13kN12kNm39kNm解：作梁的內(nèi)力圖。求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度例2：一簡(jiǎn)支梁由兩個(gè)槽鋼組成，受四個(gè)集中荷載作用，如圖示。已知：P1=120kN，P2=30kN，P3=40kN，P4=12kN，容許應(yīng)力[σ]=170MPa，[τ]＝100MPa。試選擇槽鋼的型號(hào)?！?.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件（二）按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼的型號(hào)最大彎矩：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件：解（一）繪梁的FS、M圖，如圖示§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件此時(shí)梁內(nèi)最大正應(yīng)力為：超過(guò)容許正應(yīng)力約3%，此差異在一般規(guī)定的5%范圍內(nèi)，故允許。一個(gè)槽鋼的抗彎截面模量為：查型鋼表，選用20a號(hào)槽鋼；§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件最大剪力：20號(hào)槽鋼截面簡(jiǎn)化后，中性軸以下面積的靜矩為：查型鋼表：選用二根20號(hào)槽鋼能滿足剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。（三）梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度校核§4.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件三、彎曲中心平面彎曲的特點(diǎn)1.彎曲中心如外力作用在非對(duì)稱軸的平面內(nèi)，梁除了發(fā)生彎曲外，還會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)。要使梁在外荷載作用下只產(chǎn)生彎曲而沒(méi)有扭轉(zhuǎn)變形，就必須使荷載作用平面或作用線通過(guò)截面的彎曲中心。對(duì)于一般常見(jiàn)的薄壁截面，為了找到它們的彎曲中心?？烧莆找韵聨讞l規(guī)律：工程實(shí)際中采用的某些薄壁梁的截面往往只有一個(gè)對(duì)稱軸，如槽形截面。T型截面等?！?.5梁橫截面上的切應(yīng)力?梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件①具有兩個(gè)對(duì)稱軸或反對(duì)稱軸的截面彎曲中心與形心重合。②具有一個(gè)對(duì)稱軸